Tài liệu Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) tổng hợp từ đề thi môn Toán 11 của các trường THPT trên cả nước đã được biên soạn đáp án chi tiết giúp học sinh ôn luyện để đạt điểm cao trong bài thi  học kì 2 Toán lớp 11. Mời các bạn cùng đón xem:

Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) - Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2 - Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 1)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

Câu 1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{ - 2x + 3}}\) bằng?

  A. 0                           B. \( + \infty \)

C. \( - \frac{1}{2}\)           D. \( - \infty \)

Câu 2. Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng 2

A. \(\lim \sqrt {\frac{{2n + 1}}{{n - 2}}} \)                

B. \(\lim \frac{{2n + 1}}{{\sqrt n  + 2}}\)                  

C. \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{n + 2}}\)          

D. \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt n  + 2}}\)

Câu 3. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 3\) và \({u_6} = 27.\) Công sai của cấp số cộng đó là?

A. 5                             B. 6

C. 7                             D. 8

Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) tại điểm \[A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\] có hệ số góc k bằng

  A. \(k = 0\)                   B. \(k = 6\)

C. \(k =  - 3\)                   D. \(k =  - 6\)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}2x\) bằng:

A. \(\sin 4x\)                  B. \( - \sin 4x\)

C. \({\sin ^2}2x\)             D. \( - 2\sin 4x\)

Câu 6. Vi phân của hàm số \(y = {\left( { - x + 1} \right)^2}\) bằng:

A. \(dy = 2\left( { - x + 1} \right)dx\)                      

B. \(dy =  - 2\left( { - x + 1} \right)\)

C. \(dy = {\left( { - x + 1} \right)^2}dx\)                   

D. \(dy =  - 2\left( { - x + 1} \right)dx\)

Câu 7. Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy ABCD là hình thoi tâm O, \[SA \bot \left( {ABCD} \right).\] Khẳng định nào sau đây sai?

A. \[SA \bot BD\]             B. \[AD \bot SC\]

C. \[SC \bot BD\]             D. \[SO \bot BD\]

Câu 8. Chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng.

A. \(\frac{a}{2}\)              B. \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

C. a                              D. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

II. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)

Câu 9. (2 điểm) Tìm giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{9 - {x^2}}}\) 

Câu 10. (1 điểm) Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :3x - y + 2 = 0\)

Câu 11. (1 điểm) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 12}}{{x + 4}}{\rm{     khi      x}} \ne  - {\rm{4}}\\mx + 1{\rm{             khi      x}} =  - 4\end{array} \right..\) Xác định m để hàm số đã cho liên tục tại \(x =  - 4\)

Câu 12. (3 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 .\] Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.

a) Chứng minh \[AE \bot \left( {SBC} \right)\] và \[AF \bot \left( {SDC} \right)\]

b) Tính góc giữa mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng đáy.

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {AEF} \right).\] Tính diện tích của thiết diện theo a.

Câu 13. (1 điểm) Cho hình vuông \({C_1}\) có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\) (tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông \({C_2}\)tiếp tục làm như vậy để được hình vuông \({C_3},...\) Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},..,{C_n}.\) Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n}...\) tương ứng là diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},..,{C_n}...\)  Tính tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)

 

 

-------------HẾT-------------

Đáp án và hướng dẫn giải

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

8 câu x 0,25 = 2 điểm

 

Câu 1: Đáp án A

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho x

Cách giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{ - 2x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{ - 2 + \frac{3}{x}}} = 0\)

Câu 2: Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất của tử và mẫu

Cách giải:

Đáp án A: \(\lim \sqrt {\frac{{2n + 1}}{{n - 2}}}  = \lim \sqrt {\frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{1 - \frac{2}{n}}}}  = \sqrt 2 \)

Đáp án B: \(\lim \frac{{2n + 1}}{{\sqrt n  + 2}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{2}{n}}} =  + \infty \)

Đáp án C: \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{n + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{n}}} = \sqrt 4  = 2\)

Đáp án D: \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt n  + 2}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{\frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{2}{n}}} =  + \infty \)

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Cách giải:

Ta có \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 =  - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\)

Câu 4: Đáp án A

Phương pháp:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\) Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) tại điểm \[A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\] có hệ số góc \(k = y'\left( { - 1} \right) = 3{\left( { - 1} \right)^2} - 3 = 0\)

Câu 5: Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng các công thức đạo hàm của hàm hợp: \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u';\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u\)

Cách giải:

\(\left( {{{\cos }^2}2x} \right)' = 2\cos 2x\left( {\cos 2x} \right)' = 2\cos 2x\left( { - 2\sin 2x} \right) =  - 4\sin 2x\cos 2x =  - 2\sin 4x\)

Câu 6: Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức vi phân: \(y = f\left( x \right) \Rightarrow dy = f\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx\)

Cách giải:

Ta có \(y' = 2\left( { - x + 1} \right)\left( { - x + 1} \right)' =  - 2\left( { - x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow dy = y'dx =  - 2\left( { - x + 1} \right)dx\)

Câu 7: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\\forall b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

Cách giải:

Ta có:

 \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD\)

=> Đáp án A đúng

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}SC \subset \left( {SAC} \right)\\SO \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\BD \bot SO\end{array} \right.\)

=> Đáp án C, D đúng

Câu 8: Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi \[O = AC \cap BD.\] Do chóp \[S{\rm{.}}ABCD\] đều

 \[\begin{array}{l} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\end{array}\]

+) Sử dụng định lí Pytago tính SO

Cách giải:

Gọi \[O = AC \cap BD.\] Do chóp \[S{\rm{.}}ABCD\] đều \[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\]

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\] vuông tại O

Xét tam giác vuông SOA: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 9:

Phương pháp:

a) Đặt \({x^3}\) ra ngoài

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử để khử dạng \(\frac{0}{0}\)

Cách giải:

a)

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\end{array}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 1 + \frac{3}{x} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x + 1} \right) =  - \infty \)

b)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{9 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 1 - 4}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{\left( {3 + x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{24}}\end{array}\)

Câu 10:

Phương pháp:

+) Cho đường thẳng \[ax + by + c = 0\left( \Delta  \right).\] Đường thẳng song song với \(\left( \Delta  \right)\)  có dạng \[ax + by + c' = 0.\]

+) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right).\) Tìm \({x_0}\)

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\) Ta có: \(y' = \frac{{2.2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\)

Vì \(\left( d \right){\rm{//}}\left( \Delta  \right):3x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = 3x + 2 \Rightarrow k = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 1\\{x_0} + 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 1\\{x_0} =  - 3 \Rightarrow {y_0} = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 1\) là:

\(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2 \equiv \Delta \left( {ktm} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 3\) là: \(y = 3\left( {x + 3} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 3x + 14\left( {tm} \right)\)

Câu 11:

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{{x^2} + x - 12}}{{x + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \left( {x - 3} \right) =  - 7\end{array}\)

\(f\left( { - 4} \right) =  - 4m + 1\)

Để hàm số liên tục tại \(x =  - 4 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow  - 4m + 1 =  - 7 \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy \(m = 2\)

Câu 12:

Phương pháp:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\)

b) Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó

c) Xác định thiết diện, chứng minh thiết diện có 2 đường chéo vuông góc. Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc \(S = \frac{1}{2}ab\) trong đó a, b là độ dài hai đường chéo.

Cách giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \[AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\left( {gt} \right)\\AE \bot BC\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\)

Hoàn toàn tương tự ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\left( {gt} \right)\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\end{array}\)

Mà \[AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AF\]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot SD\left( {gt} \right)\\AF \bot CD\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {SCD} \right)\)

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\left( {cmt} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB;AB} \right) = \widehat {SBA{\rm{ }}}\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAB \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right)\) ta có: \(\tan SBA{\rm{ }} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \)

Vậy \(\widehat {SBA} = arctan\sqrt 2 \)

c) Gọi \[O = AC \cap BD,I = SO \cap EF.\] Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi \[K = AI \cap SC\]

Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {AEF} \right)\] là tứ giác AEKF

Ta dễ dàng chứng minh được \[\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {ASD}\] và \[SB = SD\]

\( \Rightarrow \Delta SAE = \Delta SAF\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow SE = SF\)

\( \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} \Rightarrow EF{\rm{//}}BD.\)

 Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow EF \bot \left( {SAC} \right) \supset AK \Rightarrow EF \bot AK.\)

Do đó tứ giác AEKF có hai đường chéo vuông góc

Xét tam giác vuông SAB có \(\frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + {a^2}}} = \frac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} = \frac{{EF}}{{BD}}\\ \Rightarrow EF = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}a\sqrt 2 \end{array}\)

Xét tam giác SAC có I là trọng tâm tam giác \[SAC \Rightarrow K\] là trung điểm của SC

Tam giác SAC có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\SA = AC = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A

\( \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\)

Vậy \({S_{AEKF}} = \frac{1}{2}EF.AK = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) với \({u_1}\)là số hạng đầu tiên, q là công bội của cấp số nhân.

Cách giải:

Xét dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) là độ dài cạnh của của dãy hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},..,{C_n}...\) với \({a_1} = 4\)

Ta có \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_1}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_1}\)

…

\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}\)

Vậy dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\frac{{\sqrt {10} }}{4}\)

Ta có \({S_{n + 1}} = {\left( {{a_{n + 1}}} \right)^2} = {\left( {{a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {\left( {{a_n}} \right)^2}.\frac{5}{8} = {S_n}.\frac{5}{8}\)

Suy ra dãy \[\left( {{S_n}} \right)\] lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{5}{8}\) và \({S_1} = 16\)

Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{16}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{128}}{3}\) .

Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) - Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2 - Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 2)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm).

Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

  A. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song

  B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

  C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

  D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song

Câu 2. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là

A. \(k = 2\)                     B. \(k =  - 2\)

C. \(k = 1\)                     D. \(k =  - 1\)

Câu 3. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và \[AA'\] bằng

A. \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)

B. \(a\sqrt 3 \)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

Câu 4. Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng \[CD'\]  và \[A'C'\] bằng

A. \({45^o}\)                   B. \({30^o}\)

C. \({60^o}\)                   D. \({90^o}\)

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \[B,\,B = a,\,BC = a\sqrt 2 ,\] đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng \({30^o}.\) Gọi h là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right).\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. \(h = \frac{a}{2}\)         B. \(h = a\sqrt 3 \)

C.\[h = 3a\]                    D. \(h = a\)

Câu 6. Cho hình chóp \[S{\rm{.}}ABCD\] có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SAC} \right)\] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, \[SA = 1.\] Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)    B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. 1                             D. \(\frac{1}{2}\)

Câu 7. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là \( + \infty ?\)

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}}\)  

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 2x + 3} \right)\)           

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\)  

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}}\)

Câu 8. Số các ước nguyên dương của 540 là

A. 24                           B. 23

C. 12                           D. 36

Câu 9. \(\lim \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\) bằng

  A. \( + \infty \)              B. 1

C. \( - 2\)                       D. 2

Câu 10. Giá trị của tổng \[7 + 77 + 777...{\rm{ }}77...7\] (tổng đó có 2018 số hạng) bằng

A. \(\frac{{70}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\)

B. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2018}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)                

 C. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)

D. \(\frac{7}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Câu 11. Một chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3\) (trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 2s\) là

A. \(6\left( {m/s} \right)\) B. \(4\left( {m/s} \right)\)

C. \(8\left( {m/s} \right)\) D. \(2\left( {m/s} \right)\)

Câu 12. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình. Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là

A. \(\frac{{41}}{{55}}\)      B. \(\frac{{28}}{{55}}\)

C. \(\frac{{42}}{{55}}\)      D. \(\frac{{14}}{{55}}\)

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \[x\] để ba số \[1;\,\,x;\,\,x + 2\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

A. 2                             B. 3

C. 1                             D. 0

Câu 14. Cho hàm số  \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\m - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right..\] Tìm m để hàm số \[f(x)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\)

A. \(m = 4\)                    B. \(m =  - 4\)

C. \(m = 1\)                    D. \(m = 2\)

Câu 15. Cho \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{a}{b}\] với \[a\],\[b\] là các số nguyên dương và \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính tổng \[S = a + b\].

A. 10                           B. 5

C. 3                             D. 4

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \[2a,\,\,SA = SB = SC = SD = 2a.\] Gọi \(\varphi \)  là góc giữa mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right).\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. \(\tan \varphi  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)                  B. \(\tan \varphi  = \sqrt 3 \)

C. \(\tan \varphi  = 2\)      D. \(\tan \varphi  = \sqrt 2 \)

Câu 17. Đạo hàm của hàm số \(y = {\rm{cos}}2x + 1\) là

A. \(y' =  - \sin 2x\)          

B. \(y' = 2\sin 2x\)           

C. \(y' =  - 2\sin 2x + 1\)    

D. \(y' =  - 2\sin 2x\)

Câu 18. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}}\]bằng

A. \( - 1\)                       B. 1

C. \( - \infty \)                 D. \( - 2018\)

Câu 19. Cho hàm số \[f(x) = \sqrt {{x^2} + 3} \]. Tính giá trị của biểu thức \[f(1) + 4f'(1)\].

A. \(S = 2\)                     B. \(S = 4\)

C. \(S = 6\)                     D. \(S = 8\)

Câu 20. Cho hàm số \[f(x) =  - {x^3} + 3m{x^2} - 12x + 3\] với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để \[f'(x) \le 0\] với \(\forall x \in \mathbb{R}\) là

A. 1                             B. 5

C. 4                             D. 3

B. PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm).

Câu 1. (3,5 điểm)

1) Tính các giới hạn

a) \[\lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}}\].

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5}  - 3}}{{2 - x}}\].

2) Tìm m để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x >  - 1\\mx - 2{m^2}\,\,\,\,khi\,\,x \le  - 1\end{array} \right.\] liên tục tại điểm \[x =  - 1\].

Câu 2 (1,5 điểm) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

1) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng BC.

2) Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right).\] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma \].

-------------HẾT-------------

Đáp án và hướng dẫn giải

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm).

20 câu x 0,25 = 5 điểm

1. B	2. C	3. B	4. C	5. D	6. A	7. A	8. A	9. D	10. C
11. D	12. C	13. C	14. A	15. B	16. D	17. D	18. A	19. B	20. B

 

Câu 1: Đáp án B

Câu 2: Đáp án C

Phương pháp:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f(x)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[k = f'({x_0}).\]

Cách giải:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hoành độ \(x = 0\)

Ta có \(y' = \frac{{2.1 - 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(k = y'\left( 0 \right) = \frac{1}{1} = 1\).

Câu 3: Đáp án B

Phương pháp:

\(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right)\left( {a//\left( P \right) \supset b} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\left( {M \in a} \right)\)

Cách giải:

Vì \[AA'{\rm{//}}BB' \Rightarrow AA'{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right) \supset BC\]

\( \Rightarrow d\left( {BC;AA'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)

Gọi H là trung điểm của BC ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\left( {BB' \bot (ABC)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\)

Tam giác ABC đều cạnh \[2a \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\]

Vậy \[d(BC;{\rm{AA')}} = a\sqrt 3 .\]

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp:

\(\widehat {\left( {a;b} \right)} = \widehat {\left( {a;b'} \right)\,}\,\,\,\,\left( {b{\rm{//}}b'} \right)\)

Cách giải:

Ta có: \[CD'{\rm{//}}A'B \Rightarrow \left( {\widehat {CD';A'C'}} \right) = \left( {\widehat {A'B;A'C}'} \right)\]

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(A'B = A'C' = BC' = a\sqrt 2  \Rightarrow \Delta A'BC'\) đều

\[ \Rightarrow \left( {\widehat {A'B;A'C'}} \right) = \widehat {BA'C'} = {60^o}\]

Vậy \[\left( {\widehat {CD';A'C'}} \right) = {60^o}\]

Câu 5: Đáp án D

Phương pháp:

\[h = d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SA\]

Cách giải:

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A\] là hình chiếu của S trên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu vuông góc của SC trên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {SC;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC;AC}} \right) = \widehat {SCA} = {30^o}\)

Ta có \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \] (Định lí Pytago)

Xét tam giác vuông SAC có \(SA = AC\tan {30^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = a\)

Vậy \[h = d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SA = a\]

Câu 6: Đáp án A

Phương pháp:

\[d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\]

Cách giải:

Ta có

 \[\begin{array}{l}MD \cap \left( {SBC} \right) = S\\ \Rightarrow \frac{{d\left( {M{\rm{;}}\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {D{\rm{;}}\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{DS}} = \frac{1}{2}\end{array}\]

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Mà

 \[\begin{array}{l}DA{\rm{//}}BC \Rightarrow DA{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d{\rm{ }}\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\end{array}\]

Trong \[\left( {SAB} \right)\] kẻ \[AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\] ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\end{array}\)

Lại có

 \[\begin{array}{l}AH \bot SB \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\end{array}\]

Tam giác SAB vuông cân tại S có \[SA = AB = 1 \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy \[d\left( {M{\rm{;}}\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

Câu 7: Đáp án A

Phương pháp:

Khi \(x \to \infty ,\) chia cả tử và mẫu cho x với số mũ là số mũ cao nhất của tử và mẫu.

Khi x tiến ra hữu hạn, xét dấu tử và mẫu sau đó kết luận.

Cách giải:

Xét đáp án A ta có \(x \to {4^ - } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {4 - x} \right) = 0\\x < 4 \Rightarrow 4 - x > 0\end{array} \right.\)

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 7 > 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}} =  + \infty \)

Câu 8: Đáp án A

Phương pháp:

Phân tích 540 thành thừa số nguyên tố và xác định các ước nguyên dương của 540.

Số \(A = {x^m}{y^n}\) có \(\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) ước nguyên dương

Cách giải:

Ta có \[540 = {2^2}{.3^3}.5,\] do đó 540 có \[3.4.2 = 24\] ước nguyên dương

Câu 9: Đáp án D

Phương pháp:

Khi \(x \to \infty ,\) chia cả tử và mẫu cho x với số mũ là số mũ cao nhất của tử và mẫu.

Cách giải:

Ta có \(\lim \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{2}{1} = 2\)

Câu 10: Đáp án C

Phương pháp:

Tính \[P = 9 + 99 + ... + 99...9,\] tách \(P = 10 - 1 + {10^2} - 1 + ... + {10^{2018}} - 1.\) Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q là \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Cách giải:

Trước hết ta tính tổng\[P = 9 + 99 + ... + 99...9\] (2018 số hạng).

Ta có

\(\begin{array}{l}P = 10 - 1 + {10^2} - 1 + ... + {10^{2018}} - 1\\P = 10\left( {1 + 10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{2017}}} \right) - 2018\\P = 10.\frac{{{{10}^{2018}} - 1}}{9} - 2018 = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{P}{9} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...1\) (2018 số hạng)

\( \Rightarrow 7 + 77 + 777...{\rm{ }}77...7 = \frac{{7P}}{9} = \frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)

Câu 11: Đáp án D

Phương pháp:

Vận tốc tức thời của chuyển động \[s\left( t \right)\] tại thời điểm \(t = {t_0}\) là \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)\)

Cách giải:

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t - 2 \Rightarrow v\left( 2 \right) = 2.2 - 2 = 2\left( {m/s} \right)\)

Câu 12: Đáp án C

Phương pháp:

Tính xác suất của biến cố đối: Có ít hơn 2 viên bi xanh

Cách giải:

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi có \(C_{12}^3 = 220 \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 220\)

Gọi A là biến cố: “có được ít nhất hai viên bi xanh”, khi đó ta có biến cố đối \[\overline A :\] “có được ít hơn hai viên bi xanh”, tức là lấy được 1 viên bi xanh hoặc 0 viên bi xanh.

TH1: Lấy được 1 bi xanh và 2 bi đỏ \( \Rightarrow \)  có \(C_8^1.C_4^2 = 48\) cách.

TH2: Lấy được 3 bi đỏ \( \Rightarrow \) có \(C_4^3 = 4\) cách

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 48 + 4 = 52\\ \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{52}}{{220}} = \frac{{13}}{{55}} \Rightarrow n\left( A \right) = \frac{{42}}{{55}}\end{array}\)

Câu 13: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: \({u_{n - 1}}.{u_{n + 1}} = u_n^2\)

Cách giải:

Để ba số \(1;x;x + 2\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì \(1\left( {x + 2} \right) = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Mà x là số nguyên dương \( \Rightarrow x = 2\)

Câu 14: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\\f\left( 1 \right) = m - 2.\end{array}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \)  Hàm số liên tục tại \(x = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4\)

Câu 15: Đáp án B

Phương pháp:

Rút gọn phân số cần tính giới hạn để khử dạng \(\frac{0}{0}\)

Cách giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{3}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 3;b = 2 \Rightarrow S = a + b = 3 + 2 = 5\)

Câu 16: Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

+) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. Xác định góc giữa \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\]

+) Tính tan của góc xác định được

Cách giải:

Gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Gọi M là trung điểm của CD ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\\ \Rightarrow CD \bot SM\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM;OM} \right) = \widehat {SMO} = \varphi \end{array}\)

Ta có \(OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a = a\)

Tam giác SCD đều cạnh \(2a \Rightarrow SM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

\(SO = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \) (Định lí Pytago)

\(\tan \varphi  = \tan SMO = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \)

Câu 17: Đáp án D

Phương pháp:

\[\left( {\cos kx} \right)' =  - k\sin kx\]

Cách giải:

\(y' = \left( {{\rm{cos}}2x + 1} \right)' =  - 2\sin 2x\)

Chú ý:

\(C' = 0\) với C là hằng số và chú ý tính đạo hàm của hàm hợp.

Câu 18: Đáp án A

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho x

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2018} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{{2018}}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} =  - 1\end{array}\)

Chú ý:

Khi \(x \to  - \infty \) thì \(\sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| =  - x\)

Câu 19: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f'(x) = \frac{{({x^2} + 3)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Rightarrow f'(1) = \frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }} = \frac{1}{2}\end{array}\]

Ta có: \[f(1) = \sqrt {{1^2} + 3}  = 2.\]

\[S = f(1) + 4f'(1) = 2 + 4.\frac{1}{2} = 2 + 2 = 4\]

Câu 20: Đáp án B

Phương pháp:

Tam thức bậc hai \[f(x) = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\] có \[\Delta  < 0\,\]thì luôn cùng dấu với hệ số \[a\].

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f'(x) =  - 3{x^2} + 6mx - 12.\\f'(x) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {(3m)^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\end{array}\]

Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\].

B. PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm).

Câu 1.

Phương pháp:

1) a) Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\)

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử để khử dạng \(\frac{0}{0}\)

2) Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0}).\]

Cách giải:

1) a) \(\lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}} = \lim \frac{{3 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{3}{1} = 3\)

b)

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5}  - 3}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  + 3} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  + 3} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5}  + 3}} = \frac{{ - 4}}{{3 + 3}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array}\)

2) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x >  - 1\\mx - 2{m^2}\,\,\,\,khi\,\,x \le  - 1\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} (x - 2) =  - 3.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = f( - 1) =  - m - 2{m^2}\end{array}\]

Để hàm số liên tục tại \[x =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = f( - 1)\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - m - 2{m^2} =  - 3\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\end{array}\]

Câu 2.

Phương pháp:

1) Chứng minh \[OA \bot \left( {OBC} \right)\]

2) +) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh \[OH \bot \left( {ABC} \right).\] Từ đó xác định các góc \(\alpha ,\beta ,\gamma \)

+) Chứng minh \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) từ đó chứng minh\({\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = 1\)

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)

Cách giải:

1) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right).\) Mà \[BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\]

2) Trong \[\left( {OBC} \right)\] kẻ \[OM \bot BC,\] trong \[\left( {OAM} \right)\] kẻ \[OH \bot AM\] ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BC{\rm{ }} \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)

Lại có: \[OH \bot AM \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {OA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {OA;HA} \right) = \widehat {OAH} = \alpha \\\,\,\,\,\,\,\left( {OB{\rm{;}}\left( {ABC} \right)} \right)\,\, = \,\,\left( {OB{\rm{;}}\,HB} \right)\,\, = \widehat {OBH} = \,\,\beta \\\,\,\,\,\,\,\left( {OC{\rm{;}}\left( {ABC} \right)} \right)\,\, = \,\,\left( {OC{\rm{;}}\,HC} \right)\,\, = \widehat {OCH} = \gamma \end{array}\]

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{{OH}}{{OA}};\sin \beta  = \frac{{OH}}{{OB}};\sin \gamma  = \frac{{OH}}{{OC}};\)

\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = O{H^2}\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có \[\frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}}\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có:

\[\begin{array}{l}\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\end{array}\]

\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = O{H^2}\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right) = O{H^2}.\frac{1}{{O{H^2}}} = 1\]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\[\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\beta  + {{\cos }^2}\gamma } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le 3\left[ {3 - \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\beta  + {{\sin }^2}\gamma } \right)} \right] = 3\left[ {3 - 1} \right] = 6\\ \Leftrightarrow  - \sqrt 6  \le P \le \sqrt 6 \end{array}\]

Vậy \({P_{max}} = \sqrt 6 .\) Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \cos \alpha  = \cos \beta  = \cos \gamma  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) - Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2 - Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 3)

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right) = b\), \(f\left( b \right) = a\), với 0 < a <  b. Khi đó phương trình nào trong các phương trình sau đây luôn có nghiệm trên khoảng (a, b).

A. f(x) + x2 = 0

B. f(x) + a= 0.          

C. f(x) – x = 0      

D. f(x) + x =0.

Câu 2. Kết quả \(L = \lim \left( {5n - 7{n^5}} \right)\) là

A. \( + \infty \).                   B. \( - \infty \).

C. 5                                 D. \( - 7\)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Biết SA = SB = SC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A.600                           B. 300

C. 450                          D. 900

Câu 4. Một cấp số cộng gồm 8 số hạng với số hạng đầu bằng \( - 15\) và số hạng cuối là 69. Tìm công sai của cấp số cộng.

A. \( - 12\)                         B. 10

C. 12                               D. \(10,5\)

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và tam giác ABC vuông ở B. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. \[SA \bot BC\].         

B. \[AH \bot AC\].        

C. \[AH \bot {\rm{S}}C\].

D. \[AH \bot BC\]

Câu 6. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 3}}{{{x^2} - x + 1}} = 0\).            

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} = \frac{1}{2}\).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} =  - \frac{1}{2}\).   

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2}}}{{ - x + 1}} =  - 1\).

 

Câu 7. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + x}} = 6\). Tìm tích của a.b.

 A. ab = 20                             B. ab = 15

C. ab = 10                             D. ab = 5

Câu 8. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}};x \ne 2\\m;\,\,x = 2\end{array} \right.\). Với giá trị nào của tham số m thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 2?

 

A. m = 3

B. m = \( - 3\)                                          

C. m = \( - 1\)

D. m = 1

Câu 9. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng A. Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa CC’ và mặt phẳng (MNP)?

A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)                    B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).                  

C. \(a\sqrt 2 \).                                           D. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Câu 10. Một người muốn thuê khoan một giếng sâu 20m lấy nước tưới cho vườn cây của gia đình. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở một cơ sở nọ, họ tính theo cách sau đây: giá của mét khoan đầu tiên là 10.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai trở đi, giá của mỗi mét sau tăng lên 7% giá của mét khoan ngay trước nó. Hỏi người ấy cần phải trả số tiền bao nhiêu cho cơ sở khoan giếng?

A. 373790 đồng.   

B. 455950 đồng.    

C. 409955 đồng.   

D. 448652 đồng.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\], tứ giác ABCD là hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC và cạnh bên AB = BC. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với SD và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Khi đó ta có thể kết luận gì về tứ giác AMNP?

A. AMNP là một tứ giác nội tiếp (không có cặp cạnh đối nào song song).     

B. AMNP là một hình thang vuông.

C. AMNP là một hình thang. 

D. AMNP là một hình chữ nhật.

Câu 12. Cho cấp số cộng (un) có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n – n2. Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng. Khi đó:

A. M = \( - 1\)                         B. M = 1

C. M = 4                                D. M = 7

Câu 13. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại.

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3{x^4}} }}{{5x}}\).             

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{x\left| {x + 2} \right|}}{{{x^2} + 3x + 2}}\).   

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 10}}{{9 - 3{x^3}}}\).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{x + 2}}\)

Câu 14. Gọi S là tập các số nguyên của a sao cho \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 2017n - 2018}  - an} \right)\) có giá trị hữu hạn. Tính tổng các phần tử của S.

A. S = 4                                 B. S = 0

C. S = 2                                 D. S = 1

Câu 15. Cho hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x - 1}&{khi}&{x <  - 1}\\{1 + 2x - {x^2}}&{khi}&{ - 1 \le x \le 2}\\1&{khi}&{x > 2}\end{array}} \right.\). Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).                  

B. Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

C. Hàm số liên tục tại điểm x0 = 2.                       

D. Hàm số liên tục tại điểm x0 = \( - 1\).

Câu 16. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 – 3t2 – 9t + 2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là v = 15 m/s.             

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = 18 m/s.             

C. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là v = 12 m/s.             

D. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2.

Câu 17. Cho dãy số (un) có \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{{n^2} + 1}}\) . Số hạng bằng \(\frac{1}{5}\) là số hạng thứ mấy?

A. 10                  B. 6

C. 12                  D.11

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SA = x.\) Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 600.

A. x = 2a.                        B. \(x = \frac{{3a}}{2}\).

C. \(x = \frac{a}{2}\).                         D. x = a.

Câu 19. Giới hạn (nếu tồn tại và hữu hạn) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\) .            

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\). 

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).      

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\).

Câu 21. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 = 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng 3003.

A. n = 79               B. n = 78

C. n = 77              D. n = 80

Câu 22. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. Hàm số có giới hạn tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

B. Hàm số có đạo hàm tại điểm x = a thì liên tục tại điểm x = a.          

C. Hàm số có giới hạn trái tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

D. Hàm số có liên tục tại điểm x = a thì có đạo hàm tại điểm x = a.

Câu 23. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 3x sao cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

A. y = \( - 7x + 2\)   

B. y = \( - 7x - 2\)             

C. y = \( - 6x - 1\)    

D. y = \( - 6x - 3\)

Câu 24. Một cấp số nhân có bảy số hạng với số hạng đầu và công bội là các số âm. Biết tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 5184; tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746496. Khi đó số hạng thứ năm là

A. \( - 144\).                   B. \(144\)

C. \(144\sqrt 3 \).            D. \( - 144\sqrt 3 \).

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các đẳng thức véc tơ sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = 0\).                

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \).     

C. \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} \).    

D. \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \).

Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB, cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác M PQ là hình gì?

A. Hình thang vuông.           

B. Hình chữ nhật.                  

C. Hình thang cân.                

D. Hình bình hành.

Câu 27. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\). Để tính đạo hàm f’(x), hai học sinh lập luận theo hai cách như sau:

(I): \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( x \right)}^\prime }\sqrt {x - 1}  - {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^\prime }.x}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}} = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\).

(II): \(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }} = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\).

Hỏi cách nào đúng trong hai các giải trên?

A. Cả hai đều đúng.              

B. Chỉ (I) đúng.                    

C. Chỉ (II) đúng.

D. Cả hai đều sai.

Câu 28. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 5 và un+1 = 3 + un. Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = 8 + n\).

B. \({u_n} = 2 + 3n\).

C. \({u_n} = 5 + 3n\).

D. \({u_n} = {5.3^n}\).

Câu 29. Công thức tổng quát của dãy số (un) xác định bởi u1 = 1; un+1 = 2un + 3 là:

A. un = 2n+1 – 1               B.un = 2n+1 – 2

C. un =2n+1 – 3.                D. un = 2n+1 – 4

Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’, có cạnh bên AA’ = 21 cm, tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 42 cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC).

A. \[\frac{{21}}{2}cm\].      

B. \[\frac{{21\sqrt 2 }}{2}cm\].                

C. \[21\sqrt 2 \]cm           

D. \[\frac{{21\sqrt 2 }}{4}cm\]

Câu 31. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c.

C. Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng c thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Câu 32. Cho biết tổng \(S = x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^n}\). Tìm điều kiện của x để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } S = \frac{x}{{1 - x}}\).

A. \[\left| x \right| < 1\].            B. \[x \ne 0\]

C. x > 0 D. \[x \ne 1\].

Câu 33. Cho tứ diện ABCD, biết hai tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. \[BC \bot (ADI)\].    

B. \(AB \bot \left( {ADI} \right)\).                      

C. \(AI \bot \left( {BCD} \right)\).                     

D. \[AC \bot (ADI)\].

Câu 34. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây.

A. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn thẳng MN với N là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).

C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm N bất kỳ trên b đến một điểm M bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.

Câu 35. Trong các giới hạn sau đây giới hạn nào có kết quả bằng \( + \infty \).

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\).        

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{ - x + 1}}\).      

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right)\).      

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{ - x + 1}}\)

Câu 36. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Câu 37.  Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\). Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng

A. \(\frac{3}{2}\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).                        

B. \(\frac{3}{2}\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).

C. \(x\sqrt x  - 3\sqrt x  + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }}\).                                                  

D. \(\frac{3}{2}\left( { - \sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).

Câu 38. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân.

A. \(1;\, - 2;\,4;\, - 8;\, - 16;\, - 32\).                                                          

B. \(1;\,\,3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;\,243\).                           

C. \(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,12;\,\,16;\,\,32;\,\,63\).                                          

D. \[4;\,\,2;\,\,1;\,\,\frac{1}{2};\,\, - \frac{1}{4};\,\,\frac{1}{8}\].

Câu 39. Cho hàm số f(x) = sin4x.cos4x. Tính \(f'{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)_{}}\).

A. 4                               B. –1     

C. 2                               D. –2

Câu 40. Cho hàm số f(x). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. Nếu hàm số liên tục trên (a, b) thì f(a).f(b) < 0.

B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì hàm số liên tục trên (a, b).

C. Nếu hàm số liên tục trên (a, b) và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên [a, b].

D. Nếu hàm số liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0  có ít nhất một nghiệm trên (a, b).

Câu 41. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2x - 2009\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\) là

A. \(\emptyset \) .                    B. \(\left[ { - 2;2} \right]\).

C. \(\left( {0; + \infty } \right)\).    D. R

Câu 42. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. 

B. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.                                            

C. Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.                                            

D. Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên  SC; SD. Dựng KN // CD, với \(N \in SC\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC); (SAD) là góc HAK.                      

B. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD); (SAD) là góc AKN.                      

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC); (ABCD) là góc BSA.                    

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SCB.

Câu 44. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A. Ba véc-tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi \(\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \) với m, n là duy nhất.      

B. Ba véc-tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng thì với mỗi véc-tơ \(\overrightarrow d \) ta có \(\overrightarrow d  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \) với m, n, p là duy nhất.           

C. Ba véc-tơ đồng phẳng là ba véc-tơ nằm trong một mặt phẳng.        

D. Nếu giá của ba véc-tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng quy thì ba véc-tơ đó đồng phẳng.

Câu 45. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.               

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.               

C. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.               

D. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACD.

Câu 46. Các giá trị của x để \(1 + \sin x;{\sin ^2}x;1 + \sin 3x\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng

A. \(x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;x =  - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}\)

B. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)

C. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)      

D. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Câu 47. Tính tổng \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{18}} + ... + \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} + ...\)

A. \(\frac{1}{3}\)                                            B. \(\frac{3}{8}\)      

C. \(\frac{2}{3}\)                       D. \(\frac{3}{4}\)

Câu 48. Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\) . Đạo hàm của hàm số là

A. \(y' = \frac{{{x^2} + 6x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)         

B. \(y' = \frac{{{x^2} + 8x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)    

C. \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)    

D. \(y' = \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Câu 49. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này sẽ thuộc mặt phẳng kia.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc nhau.

Câu 50. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\quad khi\;x \ne 2\\3\quad \quad \quad \quad khi\;x = 2\end{array} \right.\] . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?

A. Hàm số liện tục trên R.        

B. Hàm số liện tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

C. Hàm số gián đoạn tại x = 2.

D. Hàm số liện tục trên khoảng\(\left( {2; + \infty } \right)\).

-------------HẾT-------------

Đáp án và hướng dẫn giải

Câu 1.

Đáp án C

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

\(g\left( a \right)g\left( b \right) = \left[ {f\left( a \right) - a} \right]\left[ {f\left( b \right) - b} \right]\)\( = \left( {b - a} \right)\left( {a - b} \right)\)\( =  - {\left( {b - a} \right)^2} < 0\).

Suy ra: phương trình f(x) – x = 0 luôn có nghiệm trên khoảng (a, b).

Câu 2.

Đáp án B

\(L = \lim \left( {5n - 7{n^5}} \right)\)\( = \lim \left[ {{n^5}\left( {\frac{5}{{{n^4}}} - 7} \right)} \right]\)\( =  - \infty \).

Vì \[\lim {n^5} =  + \infty ;\lim \left( {\frac{5}{{{n^4}}} - 7} \right) =  - 7 < 0\]

Câu 3.

Đáp án D

 

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên \[SG \bot \left( {ABC} \right)\].

\[AC \bot {\rm{S}}G\], \[AC \bot B{\rm{D}}\] \[ \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\] \[ \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\].

Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 900.

Câu 4.

Đáp án C

Theo đầu bài ta có :

\[{u_1} =  - 15\], \[{u_8} = 69\].

Ta có \[{u_8} = {u_1} + 7d\] \[ \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7}\] \[ = \frac{{69 + 15}}{7} = 12\].

Câu 5.

Đáp án B

 

+) Vì tam giác ABC vuông tại B nên \[BC \bot AB\]

Lại có: \[BC \bot SA\] \[ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\],

         \[AH \subset \left( {SAB} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].

+) Theo gt \[AH \bot SB\] vậy \[AH \bot \left( {{\rm{S}}BC} \right)\] \[ \Rightarrow AH \bot HC\] vì \[HC \subset \left( {SBC} \right)\]

Do đó AH không thể vuông góc với AC. (Một tam giác không thể có đồng thời hai góc vuông)

Câu 6.

Đáp án B

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Câu 7.

Đáp án A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + x}} = 6\)

Nên x = –1  là 1 nghiệm của x2 + ax + b = 0

 

\( \Rightarrow 1 - a + b = 0\)

 

HOOCNE	\(1\)	\(a\)	\(b\)
\( - 1\)	\(1\)	\(a - 1\)	\(1 - a + b\)

 

 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)(x + \,a - 1)}}{{x(x + \,1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + \,a - 1}}{x}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + b = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + a - 1}}{x} = \frac{{a - 2}}{{ - 1}} = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow a.b = 20\end{array}\).

Câu 8.

Đáp án A

Ta có: f(2) = m 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 3\end{array}\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow m = 3\).

Câu 9.

Đáp án A

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MP{\rm{//}}CC'\\MP \subset \left( {MNP} \right)\\CC' \not\subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CC'{\rm{//}}\left( {MNP} \right)\\ \Rightarrow d\left( {CC';\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {MNP} \right)} \right)\end{array}\].

Gọi \(MN \cap BC = I;\,CH \bot MI\,\left( {H \in MI} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot MN\\CH \bot MP\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {MNP} \right)\)

\[CN = ND = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2};\widehat {CNI} = \widehat {DNM} = {45^0}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {C;\left( {MNP} \right)} \right) = CH\\ = CN.c{\rm{os4}}{{\rm{5}}^0} = \frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\end{array}\].

Câu 10.

Đáp án C

\(\)\(S = 10000 + 10000\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right) + 10000{\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^2} + ... + 10000{\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^{19}}\)

\(\begin{array}{l} = 10000 + 10000\left[ {1,07 + 1,{{07}^2} + ... + 1,{{07}^{19}}} \right]\\ = 10000 + 10000\left[ {\frac{{1,07\left( {1 - 1,{{07}^{19}}} \right)}}{{1 - 1,07}}} \right]\end{array}\)

\( \approx 409954,9232\)

Câu 11.

Đáp án A

Dựng \[AP \bot SD{\rm{ }}\left( {P \in SD} \right)\].

Trong mp(SCD) dựng \[PN \bot SD\] \[\left( {N \in SC} \right)\]

Khi đó mặt phẳng \[\left( P \right) \equiv \left( {APN} \right)\].

Trong mặt phẳng (ABCD) dựng \[AK \bot AD\] \[\left( {K \in BC} \right)\]

Mà \[AK \bot SA\]\[ \Rightarrow AK \bot SD\]\[ \Rightarrow K \in \left( {APN} \right)\].

Trong (SBC), gọi \[M = NK \cap SB\]. Khi đó tứ giác AMNP là thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD suy ra tứ giác AMNP nội tiếp đường tròn.

Cách khác

Dựng \[AP \bot SD{\rm{ }}\left( {P \in SD} \right)\].

Trong (SCD) dựng \[PN \bot SD\] \[\left( {N \in SC} \right)\]

Khi đó mặt phẳng \[\left( P \right) \equiv \left( {APN} \right)\].

Trong (ABCD), gọi \[O = AC \cap BD\].

Trong (SAC), gọi \[I = AC \cap SO\].

Trong (SBD), gọi \[M = PI \cap SB\].

Khi đó mặt phẳng \[\left( P \right) \equiv \left( {AMNP} \right)\].

Ta có \[IA.IN = IP.IM\]\[ \Rightarrow \]\[AMNP\] nội tiếp đường tròn.

Câu 12.

Đáp án B

Ta có: u1 = S1 = 3.

\[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{n\left[ {6 + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = 4n - {n^2}\\ \Leftrightarrow n\left[ {6 + \,(n - 1)d} \right] = 2.n(4 - n)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 6 + \left( {n - 1} \right)d = 8 - 2n\]

\[ \Rightarrow d = \frac{{2 - 2n}}{{n - 1}} =  - 2\].

Vậy M = u1 + d = 3 – 2= 1.

 Câu 13.

Đáp án B

Xét phương án B: 

Ta có

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x\left| {x + 2} \right|}}{{{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = 2\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x\left| {x + 2} \right|}}{{{x^2} + 3x + 2}} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{x}{{x + 1}} =  - 2\end{array}\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \)nên \(f(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{x\left| {x + 2} \right|}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) không tồn tại.

Câu 14.

Đáp án C

Ta có \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 2017n - 2018}  - an} \right) = \lim n\left( {\sqrt {4 + \frac{{2017}}{n} - \frac{{2018}}{{{n^2}}}}  - a} \right)\).

Vì \[\lim n =  + \infty ;\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{{2017}}{n} - \frac{{2018}}{{{n^2}}}}  - a} \right) = \sqrt 4  - a = 2 - a\]

Suy ra \(\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + 2017n - 2018}  - an} \right)\) có giá trị hữu hạn nếu 2 – a = 0 hay a = 2.

Vậy S = 2.

Câu 15.

Đáp án D

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( { - 2x - 1} \right) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {1 + 2x - {x^2}} \right) =  - 2\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số gián đoạn tại điểm x0 = –1.

Câu 16.

Đáp án A

Ta có, phương trình vận tốc của chuyển động là:

       \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\).

Do đó v(4) =  15 (m/s).

Câu 17.

Đáp án C

Ta có: \(\frac{{2n + 5}}{{{n^2} + 1}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 5(2n + \,5) = 1({n^2} + 1)\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\\n =  - 2(L)\end{array} \right. \Rightarrow n = 12\).

Câu 18.

Đáp án D

Kẻ \(BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC\) (hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}.\)

Có 2 trường hợp xảy ra

TH1: \(\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}.\)

\(OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \sqrt {\frac{3}{2}} .\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 2{a^2}} \right) = {x^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt 3 \)(không có đáp án nào thỏa mãn).

TH2: \(\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}.\)

\(OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}.\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2} \Rightarrow x = a.\end{array}\)

Câu 19.

Đáp án C

Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm x = x0.

Câu 20.

Đáp án B

Theo tính chất giới hạn của hàm số.

Câu 21.

Đáp án C

Do công sai và số hạng đầu là d = 1, u1 = 1 nên đây là tổng của n số tự nhiên đầu tiên là: 

\({S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 3003\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n =  - 78\end{array} \right. \Rightarrow n = 77.\)

Câu 22.

Đáp án B

Một hàm số có giới hạn tại điểm x = a thì nó liên tục tại x = a nhưng liên tục thì chưa chắc có đạo hàm ví dụ như hàm số:

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 0\\x\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\end{array} \right.\,\] có giới hạn và liên tục tại x = 0, nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0,\,f'\left( {{0^ - }} \right) = 1 \ne 0 = f'\left( {{0^ + }} \right)\).

Nên cả ba phương án A, C, D đều sai.

Câu 23.

Đáp án C

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x - 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 6 \ge  - 6.\)

Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3x\) là một giá trị của y’, nên hệ số góc nhỏ nhất là k = –6, ứng với hoành độ tiếp điểm là x = –1 => y = 5.

Phương trình tiếp tuyến là:

y = –6(x + 1) + 5 hay y = –6x – 1.

Câu 24.

Đáp án D

Gọi \({u_1};{u_2};...{u_7}\) là cấp số nhân cần tìm và q là công bội của cấp số nhân đó.

Giả thiết ta có

 \[\left\{ \begin{array}{l}{u_3}.{u_5} = 5184\\{u_5}.{u_7} = 746496\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^2}.{u_1}.{q^4} = 5184\\{u_1}.{q^4}.{u_1}.{q^6} = 746496\,\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}^2.{q^6} = 5184\\{u_1}^2.{q^{10}} = 746496\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}^2 = 3\\{q^2} = 12\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - \sqrt 3 \\q =  - 2\sqrt 3 \end{array} \right..\]

(vì u1 < 0;  q < 0)

\( \Rightarrow {u_5} = {u_1}.{q^4} =  - \sqrt 3 .{\left( {12} \right)^2} =  - 144\sqrt 3 .\)

Câu 25.

Đáp án D

Gọi \(O = AC \cap BD\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của AC và BD

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \); \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \)

Do đó \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \).

Câu 26.

Đáp án A

Trong (SAB), từ M kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại Q

Trong (SBC) từ Q kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SC tại P.

Vì \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\) .

Do đó BC// QP, trong (ABC) từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N

Xét tứ giác MNPQ, ta có BC// QP nên tứ giác là là hình thang.

Mặt khác \(BC \bot MQ \Rightarrow MQ \bot QP,MQ \bot MN\) nên tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

Câu 27.

Đáp án A

Xét cách (I): \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1 + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( x \right)}^\prime }\sqrt {x - 1}  - {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^\prime }.x}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{\sqrt {x - 1}  - \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}.x}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - x}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\end{array}\)

Vậy cách (I) đúng.

Xét cách (II):

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^\prime }\\ = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^\prime }}}{{x - 1}}\\ = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\\ = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\end{array}\)

Vậy cách (II) đúng.

Do đó cả hai cách đều đúng.

Câu 28.

Đáp án B

Ta có, u1 = 5 và un+1 = 3 + un nên dãy số là cấp số cộng với công sai d = 3, số hạng đầu u1 = 5.

 Do đó số hạng tổng quát của dãy số này là: \({u_n} = 5 + \left( {n - 1} \right).3\)\( \Leftrightarrow {u_n} = 2 + 3n\).

Câu 29.

Đáp án C

Cách 1: Ta có u1 = 1; u2 = 2.1 + 3 = 5 nên sử dụng phương pháp thử từng đáp án ta Chọn un = 2n+1 – 3 

Cách 2: Xét dãy số (vn) : vn = un +3.

 Ta có vn+1 = un+1 + 3 = 2un +  6

Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2{u_n} + 6}}{{{u_n} + 3}} = 2\).

Do đó (vn) là cấp số nhân có số hạng đầu v1 = 4, công bội q = 2

Vậy vn = 4.2n-1 = 2n+1 nên un = 2n+1 – 3.

Câu 30.

Đáp án B

Tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 42 cm \[ \Rightarrow AB = AC = 21\sqrt 2 cm\].

Tứ diện AA’BC là tứ diện vuông tại A. Gọi h =  d( A, (A’BC)), ta có:

\[\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{{{{21}^2}}} + \frac{2}{{{{(21\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{2}{{441}}\\ \Rightarrow {h^2} = \frac{{441}}{2} \Rightarrow h = \frac{{21\sqrt 2 }}{2}\end{array}\]

Câu 31.

Đáp án C

Phương án A sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể là góc vuông.

Phương án B sai vì đường thẳng b có thể trùng với đường thẳng C.

Phương án D sai vì góc giữa hai vectơ có thể là góc tù.

Phương án C đúng (theo định nghĩa sách giáo khoa).

Câu 32.

Đáp án A

Ta có, S là tổng của n số hạng của một cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x\\q = x\end{array} \right.\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } S = \frac{x}{{1 - x}}\) khi đó là cấp số nhân lùi vô hạn.

Do đó \(\left| q \right| < 1\) hay \(\left| x \right| < 1\).

Câu 33.

Đáp án A

+) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:  \[AI \bot BC\]  (1)

+) Tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:  \[DI \bot BC\]  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {ADI} \right)\).

Câu 34.

Đáp án D

Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm N bất kỳ trên b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.

Câu 35.

Đáp án C

Ta có

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + 1}} =  + \infty \end{array}\)

Câu 36.

Đáp án C

Theo lý thuyết

Câu 37. 

Đáp án A

Ta có

 \[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}{\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime }\\ = 3\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\end{array}\]

 \[\begin{array}{l} = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x }} - \frac{2}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\\ = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x  - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right).\end{array}\]

Câu 38.

Đáp án B

Theo tính chất của cấp số nhân \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\,\,\,\,\,\,\left( {k \ge 2,\,k \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

Đáp án A: \[{\left( { - 8} \right)^2} \ne  - 4.16\] nên A sai.

Đáp án C: \[{6^2} \ne 4.8\] nên C sai.

Đáp án D: \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \ne 1.\left( { - \frac{1}{4}} \right)\] nên D sai.

Câu 39.

Đáp án D

             \[f\left( x \right) = \,\sin \,4x\,\cos \,4x\]\( = \,\frac{1}{2}\,\sin \,8x\)

             \( \Rightarrow \,f'\left( x \right) = \,4.\,\cos \,8x\).

             Do đó \(f'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \,4.\,\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3}} \right)\) = –2

Câu 40.

Đáp án D

Theo lý thuyết.

Câu 41.

Đáp án A

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 \le 0\)

Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Câu 42.

Đáp án D

Câu 43.

Đáp án B

Ta có \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD,AK \subset \left( {SAD} \right),AK \bot SD\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD,AD \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\)

Do \(KN\,\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow KN \bot SD\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAD} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {AKN}\).

Câu 44.

Đáp án A

Câu 45.

Đáp án A

Ta có \(\left. \begin{array}{l}CB \bot BD\\CB \bot BA\end{array} \right\} \Rightarrow CB \bot \left( {ABD} \right)\)

 Suy ra AB là hình chiếu của AC lên (ABD).

Do đó \(\left( {\widehat {\;AC;\left( {ABD} \right)}} \right) = \widehat {CAB}\).

Câu 46.

Đáp án A

Để \(1 + \sin x;{\sin ^2}x;1 + \sin 3x\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì:

\[1 + \sin x + 1 + \sin 3x = 2{\sin ^2}x\]

\[ \Leftrightarrow \sin x + \sin 3x = 2{\sin ^2}x - 2\]\[ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x =  - 2{\cos ^2}x\]

\[ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\]\[ \Leftrightarrow \cos x\left( {\sin 2x + \cos x} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x\cos x + \cos x} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Với \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

Với \[\sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Biểu diễn 3 họ nghiệm đó trên đường tròn lượng giác thì vị trí các điểm xuất hiện là: \( \pm \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}\) . Do đó loại Đáp án B, C.

Đáp án D. Thiếu nghiệm

Đáp án A. Đầy đủ nhất

Với \(x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\) thì vị trí điểm biểu diễn là:\( - \frac{\pi }{2}\)ứng với k = 0

Với \(x =  - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}\) thì vị trí điểm biểu diễn là:\( - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{6}\) ứng với k= 0, 1, 2.

Câu 47.

Đáp án D

 

Dãy số: \(\frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{{18}};...;\frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}};...\) là cấp số nhân lùi vô hạn có: \({u_1} = \frac{1}{2};q = \frac{1}{3}\) .

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}\)

Câu 48.

Đáp án C

Ta có: \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\]

\[ \Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - {{\left( {x + 2} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]

\[ \Leftrightarrow y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow y' = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]

Câu 49.

Đáp án B

+) Đáp án A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

+) Đáp án C. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này sẽ thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng kia.

+) Đáp án D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì: song song hoặc cắt nhau.

Câu 50.

Đáp án A

Với mọi \(x \ne 2\) thì hàm số liên tục.

Tại điểm x = 2 ta có f(2) = 3 

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} =  - \infty ;\]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} =  + \infty \].

Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.

Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) - Đề 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2 - Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 4)

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (30 câu; 6,0 điểm)

Câu 1. Đạo hàm của hàm số \(y = \tan 3x\) bằng

  A. \(\frac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}3x}}\)                        B. \(\frac{{ - 3}}{{{{\cos }^2}3x}}\)

C. \(\frac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\)                              D. \(\frac{1}{{{{\cos }^2}3x}}\)

Câu 2. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng: \(3{x^2} - 2x\)

A. \(y = {x^2}\left( {3x + 2} \right) + 2018\)

B. \(y = 3{x^3} - 2{x^2} + 2018\)

C. \(y = 3{x^3} - 2{x^2}\)   

D. \(y = {x^3} - {x^2} + 2018\)

Câu 3. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng \[\left( P \right).\] Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu \[a \bot b\] thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau                       

B. Nếu \[a \bot c\] và \[mp\left( P \right) \bot c\] thì \[a\,{\rm{//}}\,mp\left( P \right)\]

C. Nếu \[a \bot c\]và \[b \bot c\] thì\[a\,{\rm{//}}\,b\]                             

D. Nếu \[a \bot b\] và \[b \bot c\] thì \[a \bot c\]

Câu 4. Tính giới hạn \[\lim \left( {n - \sqrt {{n^2} - 4n} } \right)\] ta được kết quả là:

A. 4                             B. 2

C. 3                             D. 1

Câu 5. Trong không gian, cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Mệnh đề nào sai đây SAI?

  A. Tồn tại một mặt phẳng chứa a và song song với b.

  B. Khoảng cách giữa a và b bằng độ dài đường vuông góc chung của a và b.

  C. Tồn tại duy nhất một cặp mặt phẳng lần lượt chứa 2 đường thẳng a, b và song song với nhau.

  D. Tồn tại một mặt phẳng chứa b và song song với a.

Câu 6. Trong không gian, cho đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( P \right).\] Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right).\]

A. Có duy nhất một      B. Có vô số

C. Có một hoặc vô số   D. Không có

Câu 7. Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 3\]. Tìm x để \[f'\left( x \right) > 0?\]

  A. \(x > 0\)                   B. \(x < 0\)

C. \(x <  - 1\)                   D. \( - 1 < x < 0\)

Câu 8. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) ta được kết quả là:

A. 1                             B. 2

C. 3                             D. 4

Câu 9. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\) bằng

A. \( + \infty \)                B. \( - \infty \)

C. 0                             D. 1

Câu 10. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\) ta được kết quả là:

A. 4                             B. \( + \infty \)

C. 0                             D. 2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, \[SA = a\sqrt 3 ;\] gọi M là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ M đến \[mp\left( {SBC} \right).\]

A. \[d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]                   

B. \[d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

C. \[d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]                   

D. \[d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Câu 12. Cho các hàm sốu \[u = u(x),v = v(x)\] có đạo hàm trên khoảng J và \[v(x) \ne 0\] với mọi\[x \in J\].Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. \[{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}' = u'(x).v(x) + v'(x).u(x)\]

B. \[\left[ {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right]' = \frac{{u'(x).v(x) - v'(x).u(x)}}{{{v^2}(x)}}\]

C. \[{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}' = u'(x) + v'(x)\]

D. \[\left[ {\frac{1}{{v(x)}}} \right]' = \frac{{v'(x)}}{{{v^2}(x)}}\]

Câu 13.  Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy \[\left( {ABC} \right).\] Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Mệnh đề nào sau đây SAI?

  A. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

  B. \(AH//BC\)

  C. \(AH \bot SC\)

  D. \(\Delta SBC\) vuông

Câu 14. Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\)  có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \[A\left( {m;1} \right).\] Gọi \[S\] là tập các giá trị của \[m\] để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)đi qua A. Tính tổng bình phương các phần tử của tập \[S.\]

A. \(\frac{{25}}{4}\)          B. \(\frac{9}{4}\)

C. \(\frac{5}{2}\)              D. \(\frac{{13}}{4}\)

Câu 15. Biết hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx - 5\\2ax - 3b\end{array} \right.\] \[\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\] \[\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 1}\\{x > 1}\end{array}\] liên tục tại \[x = 1\]. Tính giá trị của biểu thức \[P = a - 4b\]

A. \(P = 4\)                     B. \(P =  - 4\)

C. \(P =  - 5\)                  D. \(P = 5\)

Câu 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đều. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. Lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng                

B. Các mặt bên của lăng trụ là hình chữ nhật

C. Hai mặt đáy của lăng trụ là các đa giác đều

D. Tam giác B’AC đều

Câu 17. Phương trình\[3{x^5} + 5{x^3} + 10 = 0\] có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\)                                  B. \(\left( { - 1;0} \right)\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)     D. \(\left( { - 10; - 2} \right)\)

Câu 18. Cho hàm số \[f(x) = \frac{{2x + a}}{{x - b}}(a,b \in R,b \ne 1)\] Ta có \[f'(1)\] bằng 

A. \[\frac{{ - a - 2b}}{{{{(b - 1)}^2}}}\]  

B. \[\frac{{a + 2b}}{{{{(1 - b)}^2}}}\]

C.\[\frac{{ - a + 2b}}{{{{(b - 1)}^2}}}\]     

D. \[\frac{{a - 2b}}{{{{(b - 1)}^2}}}\]

Câu 19. Cho hàm số \[f(x) = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\]. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?

A. Hàm số liên tục tại \[x = 1\]                        

B. Hàm số không liên tục tại các điểm \[x =  \pm 1\]

C. Hàm số liên tục tại mọi \[x \in \mathbb{R}\]  

D. Hàm số liên tục tại \[x =  - 1\]

Câu 20. Cho hàm số \[f(x) = {x^2} + 1\], tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \[A(1;2)\] có phương trình là:

A. \(y = 2x\)                 

B. \(y = x + 1\)              

C. \(y = 4x - 2\)             

D. \(y =  - 2x + 4\)

Câu 21. Cho hàm số \[f(x) = {x^3} - 3{x^2}\], tiếp tuyến song song với đường thẳng \[y = 9x + 5\] của đồ thị hàm số là:

A. \(y = 9x + 5\) và \(y = 9\left( {x - 3} \right)\)

B. \(y = 9x + 5\)

C. \(y = 9\left( {x - 3} \right)\)                              

D. \(y = 9\left( {x + 3} \right)\)

Câu 22. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. \(\lim \frac{{n + 3}}{{{n^2} + 1}} = 0\)                 

B. \(\lim \frac{{n + 1}}{{n - 1}} = 1\)                       

C. \(\lim \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{1}{2}\)                

D. \(\lim \left( {2n + 1} \right) =  + \infty \)

Câu 23. Trong không gian, mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?

  A. Côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian có thể là một số âm.

  B. Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng \[\left( {{0^o};{{90}^o}} \right).\]

  C. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

  D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Câu 24. Tìm m để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1\end{array} \right.\,\,\] liên tục tại \[x = 1\]

A. \(m = 0\)                    B. \(m =  - 1\)

C. \(m = 2\)                    D. \(m = 1\)

Câu 25. Trong không gian cho \[mp\left( P \right)\] và điểm M không thuộc \[mp\left( P \right).\] Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?

  A. Qua M kẻ được vô số đường thẳng vuông góc với \[mp\left( P \right)\].

  B. Qua M có vô số đường thẳng song song với \[mp\left( P \right)\] và các đường thẳng đó cùng thuộc mặt phẳng \[\left( Q \right)\] qua M và song song với \[\left( P \right)\].

  C. Qua M có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với \[mp\left( P \right)\].

  D. Có duy nhất một đường thẳng đi qua M tạo với \[mp\left( P \right)\] một góc bằng \[{60^o}\].

Câu 26. Cho tứ diện ABCD đều, gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. \[\cos \widehat {ABG} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]       

B. \(AB \bot CD\)            

C. \(AG \bot \left( {BCD} \right)\)                         

D. \(\widehat {ABG} = {60^o}\)

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, \[SA = 2a.\] Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. \[AC \bot SD\]            

B. Tam giác SBD cân

C. \[\left( {SB{\rm{,}}CD} \right){\rm{ =  }}\widehat {SBA}\]                          

D. \[SC \bot BD{\rm{ }}\]

 

Câu 28. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}}\) bằng

A. \( + \infty \)                B. 0

C. \(\frac{{ - 1}}{{2a}}\)      D. \( - \infty \)

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \[SA = AB = a.\] Gọi \[\varphi \]  là góc giữa SB và \[mp\left( {SAC} \right),\] tính \[\varphi ?\]

A. \[\varphi  = {60^o}\]    

B. \[\varphi  = {30^o}\]     

C. \[\varphi  = {45^o}\]    

D. Đáp án khác

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại \[A,AB = a\sqrt 2 ;\] tam giác SBC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB ta được kết quả là:

A. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)                                B. \(\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\)

C. \(\frac{{2a\sqrt {21} }}{3}\)                               D. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)

II. PHẦN TỰ LUẬN (2 câu; 4,0 điểm)

Bài 1.  (2,5 điểm)

1. Cho hàm số \[y = {x^3} - 4{x^2} + 1\] có đồ thị \(\left( C \right)\)

a) Tính \[y''(1)\].

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \[\left( C \right)\] tại điểm M có hoành độ \[x = 1\].

2. Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\,\,\,\,khi\,\,x \ne 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right..\]

Xét tính liên tục của hàm số tại \[x = 2\].

Bài 2.  (1,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt đáy bằng \[{45^o}\].

1. Chứng minh \[BD \bot SC\].

2. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\].

------------HẾT-----------

Đáp án và hướng dẫn giải

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (30 câu x 0,2 = 6,0 điểm)

1. C	2. D	3. A	4. B	5. B	6. C	7. A	8. D	9. A	10. A
11. B	12. D	13. B	14. D	15. C	16. D	17. A	18. A	19. B	20. A
21. C	22. C	23. C	24. C	25. B	26. D	27. A	28. D	29. B	30. B

 

Câu 1: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Cách giải:

\(y' = \left( {\tan 3x} \right)' = \frac{{\left( {3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}} = \frac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\).

Câu 2: Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Cách giải:

Xét đáp án A: \(y = {x^2}\left( {3x + 2} \right) + 2018 = 3{x^3} + 2{x^2} + 2018 \Rightarrow y' = 9{x^2} + 4x\).

Xét đáp án B: \(y = 3{x^3} - 2{x^2} + 2018 \Rightarrow y' = 9{x^2} - 4x\).

Xét đáp án C: \(y = 3{x^3} - 2{x^2} \Rightarrow y' = 9{x^2} - 4x\).

Xét đáp án D: \(y = {x^3} - {x^2} + 2018 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2x\).

Câu 3: Đáp án A

Cách giải:

Mệnh đề A đúng

Câu 4: Đáp án B

Phương pháp

Nhân và chia với biểu thức liên hợp của \[n - \sqrt {{n^2} - 4n} \]

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\lim \left( {n - \sqrt {{n^2} - 4n} } \right) = \lim \frac{{{n^2} - {n^2} + 4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }}\\ = \lim \frac{{4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }}\\ = \lim \frac{4}{{1 + \sqrt {1 - \frac{4}{n}} }} = 2\end{array}\]

Câu 5: Đáp án B

Cách giải:

Câu B sai. Mệnh đề đúng phải là “Khoảng cách giữa a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung của a và b”

Câu 6: Đáp án C

Cách giải:

Nếu \[a \subset \left( P \right) \Rightarrow \] có duy nhất một mặt phẳng chứa a và vuông góc với \[(P)\].

Nếu \[a \not\subset \left( P \right) \Rightarrow \] có vô số mặt phẳng chứa a và vuông góc với \[(P)\].

Câu 7: Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản tính \[f'(x)\] và giải bất phương trình \[f'(x) > 0\].

Cách giải:

Ta có:

 \[\begin{array}{l}f'(x) = 4{x^3} + 4x\\ \Rightarrow f'(x) > 0\\ \Leftrightarrow 4x({x^2} + 1) > 0\\ \Leftrightarrow 4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\end{array}\].

Câu 8: Đáp án D

Phương pháp

Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại \[x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = f({x_0})\].

Cách giải:

TXD: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Do hàm số xác định tại \[x = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{2 + 2}}{{2 - 1}} = 4\].

Câu 9: Đáp án A

Phương pháp

Chia cả tử và mẫu cho\[{x^2}\].

Cách giải:

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}} =  + \infty \]

Câu 10: Đáp án A

Phương pháp

Rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn để khử dạng \(\frac{0}{0}\) .

Cách giải:

Ta có

 \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\end{array}\]

Câu 11: Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng phương pháp đổi điểm: \(MA \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{MC}}{{AC}}\).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}MA \cap \left( {SBC} \right) = C\\ \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(AE \bot BC;\,\,AH \bot SE\) ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow BC \bot AH.\) Lại có

 \(\begin{array}{l}AH \bot SE \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Tam giác ABC đều cạnh \(2a \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác vuông SAE:

 \(\begin{array}{l}AH = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }}\\ = \frac{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\\ = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)

Câu 12: Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương.

Cách giải:

Đáp án D sai, mệnh đề đúng phải là \[\left[ {\frac{1}{{v(x)}}} \right]' =  - \frac{{v'(x)}}{{{v^2}(x)}}.\]

Câu 13: Đáp án B

Phương pháp

+) Chứng minh đường vuông góc với mặt, từ đó chỉ ra những mặt bên là tam giác vuông.

+) Chứng minh \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

Cách giải:

Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\] và \[SA \bot AC \Rightarrow \] Các tam giác SAB, SAC là các tam giác vuông.

Ta có

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\,(gt)\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow BC \bot SB\end{array}\]

 vuông tại B.

Do đó đáp án A, D đúng.

Vì \[BC \bot \left( {SAB} \right){\rm{ }}\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot AH.\]

Lại có

 \[\begin{array}{l}AH \bot SB\\ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow AH \bot SC\end{array}\]

=> Đáp án C đúng.

Câu 14: Đáp án D

Phương pháp

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến, rút ra phương trình bậc hai ẩn \({x_0}\).

+) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x0 có 1 nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ.

Cách giải:

TXD: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\) Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\,\,\,\,\left( d \right)\).

Vì \(A \in d \Rightarrow 1 = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {m - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} =  - m + {x_0} - x_0^2 + 3{x_0} - 2\\ \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} + m + 3 = 0\left( * \right)\end{array}\)

Để có đúng một tiếp tuyến của \[(C)\] qua A thì:

TH1: Phương trình \[\left( * \right)\] có nghiệm kép \(\Delta ' = 9 - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

TH2: Phương trình \[\left( * \right)\] có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \[x = 1\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - 2m - 6 > 0\\2 - 6 + m + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\end{array}\)

\(S = \left\{ {\frac{3}{2};1} \right\} \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + {1^2} = \frac{{13}}{4}\)

Chú ý: Nhiều HS thiếu trường hợp 2: Phương trình \[\left( * \right)\]  có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 1\)

Câu 15: Đáp án C

Phương pháp

Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f({x_0}).\]

Cách giải:

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2ax - 3b) = 2a - 3b\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (a{x^2} + bx - 5) = a + b - 5\]

\[f(1) = a + b - 5\]

Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại \[x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2a - 3a = a + b - 5\\ \Leftrightarrow a - 4b =  - 5 \Rightarrow P =  - 5.\end{array}\]

 

Câu 16: Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng khái niệm lăng trụ đều: Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Cách giải:

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều do đó các đáp án A, C đúng.

Vì lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình bình hành trở thành hình chữ nhất do đó đáp án B đúng.

Câu 17: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số \[y = f(x)\] liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và có \[f(a).f(b) < 0\]. Phương trình \[f(x) = 0\] có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {a;b} \right)\).

Cách giải:

Xét hàm số \[y = 3{x^5} + 5{x^3} + 10\], ta có hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}f( - 2) =  - 126\\f( - 1) = 2\end{array} \right. \Rightarrow f( - 2).f(1) < 0 \Rightarrow \] Phương trình \[{x^5} + 5{x^3} + 10 = 0\] có ít nhất một nghiệm \[{x_0} \in ( - 2; - 1)\].

Câu 18: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nhanh \[\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}\]

Cách giải:

Ta có:

 \[\begin{array}{l}f'(x) = \frac{{2( - b) - a.1}}{{{{(x - b)}^2}}} = \frac{{ - 2b - a}}{{{{(x - b)}^2}}}\\ \Rightarrow f'(1) = \frac{{ - 2b - a}}{{{{(1 - b)}^2}}} = \frac{{ - a - 2b}}{{{{(b - 1)}^2}}}\end{array}\]

Câu 19: Đáp án B

Phương pháp:

Hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Cách giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\} \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( { - 1;1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right).\] Hàm số gián đoạn tại các điểm \( \pm 1\).

Câu 20: Đáp án A

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f(x)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}\]

Cách giải:

Ta có \[f'(x) = 2x \Rightarrow f'(1) = 2\].

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \[A(1;2)\] là \[y = 2(x - 1) + 2 = 2x\].

Câu 21: Đáp án C

Phương pháp:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f(x)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] song song với đường thẳng\[y = ax + b \Leftrightarrow f'({x_0}) = a\].

Cách giải:

Ta có \[f'(x) = 3{x^2} - 6x.\]

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

 \[\begin{array}{l}y = 9x + 5 \Leftrightarrow f'(x) = 9\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right..\end{array}\]

Với \[x =  - 1 \Rightarrow y =  - 4 \Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến \[y = 9(x + 1) - 4 = 9x + 5(ktm).\]

Với \[x = 3 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến \[y = 9(x - 3).\]

Câu 22: Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho \[n\] với số mũ cao nhất.

Cách giải:

Xét đáp án C ta có: \(\lim \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{1}{2} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{0}{2} = 0 \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Câu 23: Đáp án C

Phương pháp:

+) Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

+) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Cách giải:

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn nên cosin của góc giữa hai đường thẳng không thể là một số âm suy ra đáp án A sai.

Góc giữa hai đường thẳng có thể bằng \({90^o}\)  suy ra đáp án B sai.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó suy ra đáp án D sai.

Câu 24: Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f({x_0}).\]

Cách giải:

Ta có

 \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x(x - 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1;\,\,\\\,f(1) = m - 1.\end{array}\]

Để hàm số liên tục tại \[x = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 1 = m - 1 \Leftrightarrow m = 2\].

Câu 25: Đáp án B

Cách giải:

Qua M có vô số đường thẳng song song với \[mp\left( P \right)\] và các đường thẳng đó cùng thuộc mặt phẳng \[\left( Q \right)\] qua M và song song với \[\left( P \right)\] là mệnh đề đúng

Câu 26: Đáp án D

Phương pháp:

+) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+) Chứng minh \[CD \bot \left( {ABE} \right)\] với E là trung điểm của CD.

+) Xét tam giác vuông ABG. Tính \[cos\widehat {ABG}\]

Cách giải:

Do \[AB = AC = AD \Rightarrow \] Hình chiếu của A trên \[\left( {BCD} \right)\] trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD.\]

\[\Delta BCD\] đều \( \Rightarrow \) G là trọng tâm đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD.\]

 \[ \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \] Đáp án C đúng.

Gọi E là trung điểm của CD ta có

\[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AG\left( {AG \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB\] nên đáp án B đúng.

Giả sử tứ diện ABCD đều cạnh \[a\]. Tam giác BCD đều cạnh a \[ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]\[ \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

Xét tam giác vuông ABG ta có \[\cos \widehat {ABG} = \frac{{BG}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Do đó đáp án A đúng, đáp án D sai.

Câu 27: Đáp án A

Phương pháp:

+) Chứng minh \[\Delta SAB = \Delta SAD \Rightarrow SB = SD{\rm{ }}\]

+) \[(a;b) = (a;c)(c//b).\]

+) Chứng minh \[BD \bot \left( {SAC} \right)\]

Cách giải:

+) Xét tam giác SAB và SAD có:

SA chung;

 \[\widehat {SAB} = \widehat {SAD} = {90^o}\]

\[AB = AD\] (ABCD là hình vuông)

Do đó: \[\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SD\]

\( \Rightarrow \Delta SBD\) cân tại S \[ \Rightarrow \] B đúng.

+) Ta có \[AB{\rm{//}}CD \Rightarrow \left( {SB;CD} \right) = \left( {SB;AB} \right) = \widehat {SBA}\] (do \(\widehat {SBA} < {90^o}),\) suy ra đáp án C đúng.

+) Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BD \bot SC\end{array}\)

=> D đúng.

Câu 28: Đáp án D

Phương pháp:

Xét giới hạn dạng \(\frac{L}{0}\)

Cách giải:

Khi \[x \to {a^ - }\] ta có \[x < a \Rightarrow x - a < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty .\]

Câu 29: Đáp án B

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Cách giải:

Gọi \[O = AC \cap BD\] ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow O\) là hình chiếu của B trên \[\left( {SAC} \right)\].

\[ \Rightarrow \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB;SO} \right) = \widehat {BSO}\]

ABCD là hình vuông cạnh \[a \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Xét tam giác vuông SAB có \[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 2 .\]

Ta có \[BO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BO \bot SO \Rightarrow \Delta SOB\] vuông tại O.

\[ \Rightarrow \sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BSO} = {30^o}.\]

Vậy \[\varphi  = {30^o}.\]

Câu 30: Đáp án B

Phương pháp:

+) Dựng hình bình hành ABDC. Chứng minh \[d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\]

+) Sử dụng phương pháp đổi điểm tính khoảng cách.

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của \[BC \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\].

Dựng hình bình hành ABDC ta có

\[BD{\rm{//}}AC \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\].

Ta có \[CH \cap \left( {SBD} \right) = B \Rightarrow \frac{{d\left( {C{\rm{;}}\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H{\rm{;}}\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CB}}{{HC}} = 2\]

\[ \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\]

Gọi E là trung điểm của BD ta có EH là đường trung bình của tam giác BCD.

\[ \Rightarrow EH{\rm{//}}CD{\rm{//}}AB \Rightarrow EH \bot AC \Rightarrow EH \bot BD\].

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot EH\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SEH} \right)\).

Trong \[\left( {SEH} \right)\] kẻ \[HK \bot SE\] ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).

Ta có \[EH = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Xét tam giác vuông ABC có \[BC = a\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2a \Rightarrow \Delta SBC\] đều cạnh \[2a\].

\[ \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\]

Xét tam giác vuông SHE ta có: \[HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\]

Vậy \[d(SB;AC) = 2HK = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\]

II. PHẦN TỰ LUẬN (2 câu; 4,0 điểm)

Bài 1

Phương pháp:

1. a)   Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản tính \(y',y''\).

    b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm \[y = f(x)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_{0.}}\]

2. Hàm số \[y = f(x)\] liên tục tại \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - }  = f({x_0}).\]

Cách giải:

1. a) Ta có \[y' = 3{x^2} - 8x,\,\,y'' = 6x - 8 \Rightarrow y''(1) = 6 - 8 =  - 2.\]

b) \[y'(1) = 3.1 - 8.1 =  - 5;\,\,y(1) = 1 - 4 + 1 =  - 2.\]

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là \[y =  - 5(x - 1) - 2 =  - 5x + 3.\]

2. Ta có:

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(\sqrt {x + 2}  + 2)}}{{x + 2 - 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (\sqrt {x + 2}  + 2)\\ = \sqrt {2 + 2}  + 2 = 4.\end{array}\]

Lại có: \[f(2) = 4.\]

\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Rightarrow \]Hàm số liên tục tại \[x = 2.\]

Bài 2.

Phương pháp:

a) Chứng minh \[BD \bot \left( {SAC} \right)\].

b) +) Xác định góc giữa \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\].

+) Sử dụng phương pháp đổi điểm tính khoảng cách.

Cách giải:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

b) Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \[HE{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\left( {E \in CD} \right) \Rightarrow HE \bot CD\]

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot SE\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SE \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SE;HE} \right)\\ = \widehat {SEH} = {45^O}\end{array}\)

Trong \[\left( {SHE} \right)\] kẻ \[HK \bot SE\] ta có

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\end{array}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có

 \[\begin{array}{l}\frac{{HE}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow HE = \frac{3}{4}AD = \frac{3}{4}.4a = 3a.\end{array}\]

\[ \Rightarrow HK = HE.\sin 45 = 3a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\]

Ta có

 \[\begin{array}{l}AB{\rm{//}}CD \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}AH \cap \left( {SCD} \right) = C\\ \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{4}{3}\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\\ = \frac{4}{3}HK\end{array}\]

Vậy \[d(B;(SCD)) = \frac{4}{3}HK = \frac{4}{3}\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\]

 

Đề thi học kì 2 Toán lớp 11 có đáp án năm 2022 (15 đề) - Đề 5

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2 - Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề 5)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (5.0 điêm)

Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số \[y = \sin x\]là:

A. \[\cos x\]                   B. \[ - \cos x\]

C. \[\sin x\]                    D. \[ - \sin x\]

Câu 2: Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin 3x}}{x}\] bằng:

A. \[ - 1\]                       B. \[\frac{2}{3}\]

C. \[ - 2\]                       D. \[0\]

Câu 3: Cho lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]. Mệnh đề nào sau đây sai?

  A. \[d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'\]

  B. Các mặt bên của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là các hình chữ nhật.

  C. \[d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\]

  D. \[d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AB\]

Câu 4: Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Hệ thức nào sau đây đúng?

  A. \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} \]  

 B. \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AA'} \]

  C. \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \]  

 D. \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} \]

Câu 5: Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + \frac{1}{3}\]. Tìm điểm \[M\] thuộc đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \[M\] có hệ số góc nhỏ nhất.

  A. \[M\left( {2; - 1} \right)\]                               B. \[M\left( {0;\frac{1}{3}} \right)\]

C. \[M\left( { - 1; - 4} \right)\]                               D. \[M\left( {1;\frac{2}{3}} \right)\]

Câu 6: Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2018\]. Tập nghiệm của bất phương trình \[f'\left( x \right) > 0\] là:

A. \[\left( { - 1;1} \right)\] 

B. \[\left[ { - 1;1} \right]\] 

C.\[\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]                      

D. \[\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\]

Câu 7: Với giá trị nào của \[m\] thì hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}};x \ne 3\\4x - 2m,x = 3\end{array} \right.\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]?

A. \[ - 4\]                       B. \[4\]

C. \[3\]                         D. \[1\]

Câu 8: Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt {8 - 2x} }}{{x - 2}}\] bằng:

A. \[ + \infty \]                B. \[ - \infty \]

C. \[0\]                         D. \[\frac{3}{4}\]

Câu 9: Cho hàm số \[f\left( x \right) = x\sqrt x  + {x^2} + 1\]. Tính \[f'\left( 1 \right).\]

A. 5                             B. 3

C.\[\frac{7}{2}\]              D. 4

Câu 10: Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \[BC \bot SH\]             B. \[BC \bot SC\]

C. \[AC \bot SH\]             D. \[AH \bot SC\]

Câu 11: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáylà hình chữ nhật và SA vuông góc với đáy. Khi đó số mặt bên của hình chóp là tam giác vuông bằng:

A. 4                             B. 1

C. 2                             D. 3

Câu 12: Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 4{x^5} + 2x + 1} \right)\] bằng:

A. \[ + \infty \]                B. \[ - \infty \]

C. 1                             D. \[ - 4\]

Câu 13: Đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2018}}\] là:

A. \[f'\left( x \right) = 2018{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}\left( {\frac{{ - 1}}{{x + 1}}} \right)\]

B. \[f'\left( x \right) = 2018\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2019}}}}\]

C. \[f'\left( x \right) = 2018{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}\]

D. \[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}{\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)^2}\]

Câu 14: Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right)\]. Tính \[f'\left( {\frac{\pi }{8}} \right).\]

A. 1                             B. 2

C. \[ - 1\]                       D. \[ - 2\]

Câu 15: Cho hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \]. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = 0\] là:

A. \[y = x + 2\]                B. \[y = \frac{{ - 1}}{2}x + 2\]

C. \[y = \frac{1}{2}x + 2\]   D. \[y =  - x + 2\]

Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. \[{60^0}\]                   B. \[{90^0}\]

C. \[{45^0}\]                   D. \[{30^0}\]

Câu 17: Tìm khẳng đinh đúng trong các khẳng định sau:

  A. Nếu \[a \bot b\] và \[a \bot \left( P \right)\] thì \[b//\left( P \right).\]

  B. Qua một điểm có vô số đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

  C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

  D. Hai mặt thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

 

Câu 18: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0?

A. \[\lim \left( {{n^3} - 3n + 1} \right)\]                  

B. \[\lim \frac{{{n^2} + n}}{{{n^3} + 1}}\]                 

 C. \[\lim \frac{{{2^n} - {3^n}}}{{{3^n} + 2}}\]           

D. \[\lim \frac{{{n^2} + n + 1}}{{4n + 1}}\]

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

  A. \[\sqrt 2 \]               B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]    D. \[\sqrt 3 \]

Câu 20: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 2 và công bội \[\frac{1}{4}\] bằng:

A. \[\frac{4}{5}\]              B. \[\frac{8}{5}\]

C. \[\frac{4}{3}\]              D. \[\frac{8}{3}\]

 

II. PHẦN TỰ LUẬN (5.0 điểm)

Bài 1: (1 điểm) Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x + 8} } \right)\].

Bài 2: (1.5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 2\] biết tiếp tuyến đó đi qua điểm \[A\left( {0;2} \right).\]

Bài 3: (2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \[2a,\]tam giác \[SAB\] cân tại \[S\] và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right),\]\[SB = a\sqrt 5 .\]

a) Chứng minh tam giác \[SBC\] vuông.

b) Tính góc giữa mặt bên \[\left( {SCD} \right)\] và mặt đáy \[\left( {ABCD} \right).\]

c) Tính khoảng cách từ điểm \[B\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right).\]

-------------HẾT-------------

Đáp án và hướng dẫn giải

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

20 câu x 0,25 = 5,0 điểm

1. D	2. C	3. D	4. C	5. A	6. C	7. B	8. D	9. C	10. A
11. A	12. A	13. B	14. D	15. B	16. B	17. C	18. B	19. A	20. D

 

Câu 1: Đáp án D.

Phương pháp:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản:\[\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x.\]

Cách giải:

Ta có:

 

Câu 2: Đáp án C.

Phương pháp:

Sừ dụng giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\].

Cách giải:

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3.\sin 3x}}{{3x}}\\ = 1 - 3 =  - 2.\end{array}\]

Câu 3: Đáp án D.

Phương pháp:

Suy luận từng đáp án và chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Ta có: \[\left( {ABC} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {A'B'C'} \right)} \right)\\ = BB'\left( {Do{\rm{ }}BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right),\end{array}\]

suy ra đáp án A đúng.

Vì \[ABC.A'B'C'\] là lăng trụ đứng nên các mặt bên của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là các hình chữ nhật, suy ra đáp án B đúng.

Ta có:

\[BB'//AA' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BB'//\left( {ACC'A'} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\]

Suy ra đáp án C đúng.

Câu 4: Đáp án C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ba điểm và các vectơ bằng nhau.

Cách giải:

Ta có: \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} .\]

Mà \[\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} .\]

Câu 5: Đáp án A.

Phương pháp:

+) Hệ số góc của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] là \[k = f'\left( {{x_0}} \right)\].

+) Đưa về dạng \[k = {g^2}\left( x \right) + C\left( {C = const} \right)\] và đánh giá.

Cách giải:

Ta có: \[y' = {x^2} - 4x + 2.\]

Gọi hoành độ của điểm \[M\] là \[{x_0}\]\[ \Rightarrow \] Hệ số góc của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm \[M\] là \[k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 - 4{x_0} + 2 = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 2 \ge  - 2.\]

Do đó \[{k_{\min }} =  - 2 \Leftrightarrow {x_0} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2.\]

Ta có \[f\left( 2 \right) =  - 1 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right).\]

Câu 6: Đáp án C.

Phương pháp:

+) Tính \[f'\left( x \right).\]

+) Sử dụng quy tắc trong trái ngoài cùng giải bất phương trình bậc hai.

Cách giải:

Ta có: \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\]

Câu 7: Đáp án B.

Phương pháp:

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\]

Cách giải:

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 1} \right) = 4\end{array}\]

\[f\left( 3 \right) = 12 - 2m.\]

Để hàm số liên tục trên \[\mathbb{R} \Rightarrow \] Hàm số liên tục tại \[x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\]

\[ \Leftrightarrow 12 - 2m = 4 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4.\]

Câu 8: Đáp án D.

Phương pháp:

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử.

Cách giải:

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt {8 - 2x} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 8 + 2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {8 - 2x} } \right)}}\]

\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {8 - 2x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {8 - 2x} }}\end{array}\]

\[ = \frac{3}{{\sqrt {2 + 2}  + \sqrt {8 - 2.2} }} = \frac{3}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\]

Chú ý: HS có thể sử dụng chức năng CALC trên MTCT để tìm giới hạn của hàm số.

Câu 9: Đáp án C.

Phương pháp:

+) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản \[\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\] và quy tắc đạo hàm của một tích \[\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\].

+) Thay \[x = 1\] vào \[f'\left( x \right).\]

 

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 1.\sqrt x  + x.\frac{1}{{2\sqrt x }} + 2x\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 1 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{2}.\end{array}\]

Câu 10: Đáp án A.

Phương pháp:

Sử dụng định lí \[d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\] \[\forall a \in \left( P \right).\]

Cách giải:

Ta có

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA{\rm{ }}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AH\left( {gt} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right).\end{array}\]

Mà \[SH \subset \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH.\]

Câu 11: Đáp án A.

Phương pháp:                              

Sử dụng định lí \[d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\] \[\forall a \in \left( P \right).\]

Cách giải:

Ta có:

\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\] vuông tại \[A.\]

\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \Delta SAD\] vuông tại \[A.\]

Ta có

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow BC \bot SB\end{array}\]

 vuông tại \[B.\]

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\\ \Rightarrow CD \bot SD\end{array}\]

\( \Rightarrow SCD\) vuông tại \[D.\]

Vậy cả bốn mặt của hình chóp đều là tam giác vuông.

Câu 12: Đáp án A.

Phương pháp:

Đặt \[x\]với số mũ cao nhất ra ngoài.

Cách giải:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} - 4{x^5} + 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^5}\left( { - 4 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^5}}}} \right) =  + \infty .\]

Câu 13: Đáp án B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và công thức tính nhanh \[\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.\]

Cách giải:

Ta có:

 \[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2018{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}.{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime }\\ = 2018{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = 2018\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2019}}}}\end{array}\]

Câu 14: Đáp án D.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\]\[\left[ {\cos \left( {kx} \right)} \right]' =  - k\sin kx.\]

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right){\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)^\prime }\\ = 2\cos \left( {2x} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right)\\ =  - 2\sin 4x\end{array}\]

\[ \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{8}} \right) =  - 2\sin \frac{\pi }{2} =  - 2\]

Câu 15: Đáp án B.

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là: \[y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\]

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\]

và \[f\left( 0 \right) = \sqrt 4  = 2.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = 0\]là \[y =  - \frac{1}{2}\left( {x - 0} \right) + 2 = \frac{{ - 1}}{2}x + 2.\]

Câu 16: Đáp án B.

Phương pháp:

Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc.

Cách giải:

Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\] ta có:

\[\Delta BCD\] đều \[ \Rightarrow BM \bot CD\], \[\Delta ACD\] đều \[ \Rightarrow AM \bot CD.\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot BM\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \supset AB\\ \Rightarrow CD \bot AB\\ \Rightarrow \left( {AB;CD} \right) = {90^0}\end{array}\]

Câu 17: Đáp án C.

Phương pháp:

Nhận xét từng đáp án.

Cách giải:

+) Nếu \[a \bot b\] và \[a \bot \left( P \right)\] thì \[\left[ \begin{array}{l}b{\rm{//}}\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \] Đáp án A sai.

+) Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước suy ra đáp án B sai.

+) Hai mặt thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng hoặc song song hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng đó suy ra đáp án D sai.

Câu 18: Đáp án B.

Phương pháp:

\[lim\frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}}\] với \[f\left( n \right),g\left( n \right)\] là các đa thức trong đó \[\deg f\left( n \right) < \deg g\left( n \right) \Rightarrow \lim \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}} = 0.\]

Cách giải:

Ta có: \[\lim \frac{{{n^2} + n}}{{{n^3} + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0.\]

Câu 19: Đáp án A.

Phương pháp:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

+) Tính tan của góc xác định được.

Cách giải:

Gọi \[O = AC \cap BD.\] Do \[S.ABCD\] là chóp đều \[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\]

Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\] ta có: \[OM\] là đường trung bình của tam giác \[BCD \Rightarrow OM{\rm{//}}BC.\]

\[ \Rightarrow OM \bot CD.\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM.\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM;OM} \right) = \widehat {SMO}.\end{array}\]

Ta có \[OM = \frac{a}{2};C\'o \,\,\Delta SCD\] đều cạnh \[a \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \[SOM\] ta có: \[SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

\[ \Rightarrow \tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = \sqrt 2 .\]

Câu 20: Đáp án D.

Phương pháp:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng \[{u_1}\] và công bội \[q\] là \[S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\]

Cách giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 2 và công bội \[\frac{1}{4}\] là: \[S = \frac{2}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{8}{3}.\]

 

II. PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)

Câu 1:

Phương pháp:

Nhân và chia với biểu thức liên hợp của \[x - \sqrt {{x^2} + 2x + 8} .\]

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x + 8} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - {x^2} - 2x - 8}}{{x + \sqrt {{x^2} + 2x + 8} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x - 8}}{{x + \sqrt {{x^2} + 2x + 8} }}\end{array}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2 - \frac{8}{x}}}{{1 + \sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 2}}{{1 + 1}} =  - 1\]

Câu 2:

Phương pháp:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là: \[y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\left( d \right).\]

+) \[A \in \left( d \right) \Rightarrow \] Tìm \[{x_0}.\]

+) Thay ngược lại \[{x_0}\] vào phương trình đường thẳng \[\left( d \right).\]

Cách giải:

Ta có: \[y' = 3{x^2} - 6x.\]

Gọi \[M\left( {{x_0};x_0^3 - 3x_0^2 + 2} \right).\] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại M là:

\[y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2\,\,\,\left( d \right).\]

Ta có

 \[\begin{array}{l}A\left( {0;2} \right) \in \left( d \right)\\ \Rightarrow 2 =  - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 2\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - 3x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \frac{3}{2}\end{array} \right..\end{array}\]

+) Với \[{x_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):y = 2.\]

+) Với \[{x_0} = \frac{3}{2} \Rightarrow \left( d \right):y =  - \frac{9}{4}\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - \frac{{11}}{8} = \frac{{ - 9}}{4}x + 2.\]

Câu 3:      

Phương pháp:

a)     Sử dụng định lí \[d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a{\rm{ }}\forall a \in \left( P \right).\]

b)    Xác định góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

c)     Đổi khoảng cách từ điểm B đến \[\left( {SCD} \right)\] sang \[d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right).\]

Cách giải:

a)     Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\]

Ta có

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow BC \bot SB\end{array}\]

 vuông tại \[B.\]

b)    Gọi \[K\] là trung điểm của \[CD\] ta có \[HK{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC \Rightarrow CD \bot HK.\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK.\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SK;HK} \right) = \widehat {SKH}.\end{array}\]

Xét tam giác vuông \[SBH\] ta có \[SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a.\]

Xét tam giác vuông \[SHK\] ta có: \[\tan \widehat {SKH} = \frac{{SH}}{{HK}} = \frac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \widehat {SKH} = {45^0}.\]

c)     Trong \[\left( {SHK} \right)\] kẻ \[HK \bot SK\left( {M \in SK} \right)\]ta có: \[CD \bot \left( {SHK} \right)\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot HM.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CD\\HM \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM.\]

Do \[AB{\rm{//}}CD \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM.\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SHK\] ta có:

\[HM = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = \frac{{4{a^2}}}{{2\sqrt 2 a}} = a\sqrt 2 .\]

Vậy \[\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 .\]