Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi.

Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: A.

Lời giải

+ Hình thoi và hình vuông đều có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Trong các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi thì hình thoi là hình có hai đường chéo không bằng nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH hay DG = CF = EB = AH

Từ đó suy ra ΔAHE = ΔDGH = ΔCFG = ΔEBF (c-g-c) nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

+ Vì ΔAHE = ΔBEF (cmt)

Hình thoi EFGH có  nên EFGH là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Ta có EH; EF lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD; BAC nên  (1)

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi  (2)

Từ (1); (2) ⇒  thì hình bình hành EFGH là hình vuông

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Tứ giác AFME có:  nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác 

Mà ta lại có: AC là phân giác  (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra M Є AC.

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a.

Vì ABCD là hình vuông là M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = a/2 

Từ đó: ΔAQM = ΔBMN = ΔCPN = ΔDQP (c – g – c)

Lại có S_ABCD = a².

Nên S_MNPQ = S_ABCD – S_AMQ – S_MBN – S_CPN – S_DPQ = 

Vậy S_MNPQ = (1/2)S_ABCD.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CA nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = 8/2 = 4 cm

Từ đó: ΔAQM = ΔBMN = ΔCPN = ΔDQP (c – g – c)

Suy ra  

Lại có S_ABCD = 8² = 64.

Nên S_MNPQ = S_ABCD – S_AMQ – S_MBN – S_CPN – S_DPQ = 

Vậy S_MNPQ = 32 cm².

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Hình chữ nhật AMNP là hình vuông ⇔ AM = AP

Mà  (gt) nên AM = AP ⇔ AB = AC

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì hình chữ nhật AMNP là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 11: Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 4cm

B. 7 cm           

C. 14 cm         

D. 8 cm

Lời giải

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a. (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 28 ⇔ a = 7cm.

Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm

Đáp án cần chọn là: B

Bài 12: Cho hình vuông có chu vi 32 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 10cm         

B. 15 cm         

C. 5 cm           

D. 8 cm

Lời giải

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a. (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 32 ⇔ a = 8cm.

Vậy cạnh hình vuông là a = 8cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 13: Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là:

A. 32              

B. 16              

C. 24              

D. 18

Lời giải

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16cm. Khi đó 4.AB = 16cm

⇒ AB = 4cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

AB² + BC² = AC² ⇒ AC² = 4² + 4² ⇔ AC² = 32

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là: 32

Đáp án cần chọn là: A

Bài 14: Cho hình vuông có chu vi 20 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là:

A. 32              

B. 50              

C. 25              

D. 30

Lời giải

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 20cm. Khi đó 4.AB = 20cm

⇒ AB = 5cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

AB² + BC² = AC² ⇒ AC² = 5² + 5² ⇔ AC² = 50

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là: 50

Đáp án cần chọn là: B

Bài 15: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để hình bình hành EFGH là hình vuông.

A. BD ⊥ AC; BD = AC                     

B. BD ⊥ AC

C. BD = AC                                       

D. AC = BD và AB // CD

Lời giải

Ta có EH; EF lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD; BAC nên  (1)

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi  (2)

Từ (1); (2) ⇒  thì hình bình hành EFGH là hình vuông

Đáp án cần chọn là: A

Bài 16: Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi.

A. M trên đường chéo AC     

B. M thuộc cạnh DC

C. M thuộc đường chéo BD  

D. M tùy ý nằm trong hình vuông ABCD

Lời giải

Tứ giác AFME có:  nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác 

Mà ta lại có: AC là phân giác  (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra M Є AC.

Đáp án cần chọn là: A

Bài 17: Cho hình vuông ABCD. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy chọn câu đúng.

Lời giải

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a.

Vì ABCD là hình vuông là M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = a/2 

Từ đó: ΔAQM = ΔBMN = ΔCPN = ΔDQP (c – g – c)

Lại có S_ABCD = a².

Nên S_MNPQ = S_ABCD – S_AMQ – S_MBN – S_CPN – S_DPQ = 

Vậy S_MNPQ = (1/2)S_ABCD.

Đáp án cần chọn là: C

Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

A. S_MNPQ = 28 cm²

B. S_MNPQ = 30cm²

C. S_MNPQ = 16cm²

D. S_MNPQ = 32cm²

Lời giải

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CA nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = 8/2 = 4 cm

Từ đó: ΔAQM = ΔBMN = ΔCPN = ΔDQP (c – g – c)

Suy ra  

Lại có S_ABCD = 8² = 64.

Nên S_MNPQ = S_ABCD – S_AMQ – S_MBN – S_CPN – S_DPQ = 

Vậy S_MNPQ = 32 cm².

Đáp án cần chọn là: D

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của AB, BC, AC. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để hình chữ nhật AMNP là hình vuông?

Lời giải

Hình chữ nhật AMNP là hình vuông ⇔ AM = AP

Mà  (gt) nên AM = AP ⇔ AB = AC

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì hình chữ nhật AMNP là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.

1. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình thoi   

C. Hình bình hành

D. Hình vuông

Lời giải

Suy ra ΔFGC là tam giác vuông cân tại G ⇒ FG = GC

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông EHB có:

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H ⇒ EH = HB

Mà BH = HG = GC (gt) nên FG = EH = HG

Lại có:  ⇒ EFGH là hình bình hành (dhnb)

Mà  = 90⁰ (do EH ⊥ BC) nên hình bình hành EFGH là hình chứ nhật

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

2. Cho BC = 9 cm. Tính chu vi của tứ giác EFGH.

A. 12 cm        

B. 9 cm           

C. 16 cm         

D. 20 cm

Lời giải

Vì FG = EH = HG nên 

Do đó chu vi hình vuông EFGH là 4.HG = 4.3 = 12 cm

Đáp án cần chọn là: A

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.

1. Chọn câu đúng nhất

A. EG =HF    

B. EG ⊥ HF   

C. FG = EG    

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

Suy ra ΔFGC là tam giác vuông cân tại G ⇒ FG = GC

Chứng minh tương tự:

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H ⇒ EH = HB

Mà BH = HG = GC (gt) nên FG = EH = HG

Lại có:  ⇒ EH // FG (định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác EFGH có  ⇒ Tứ giác EFGH là hình bình hành (dhnb)

Mà  = 90⁰ (do EH ⊥ BC) nên hình bình hành EFGH là hình chứ nhật

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Suy ra EG = HF; EG ⊥ HF.

Đáp án cần chọn là: D

2. Cho BC = 12 cm. Tính chu vi của tứ giác EFGH.

A. 12 cm        

B. 9 cm           

C. 16 cm         

D. 20 cm

Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. K là điểm đối xứng với M qua điểm I.

1. Tứ giác AKMB là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình thoi   

C. Hình bình hành

D. Hình vuông

Lời giải

+ Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao.

Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb)

Lại có  (cmt) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.

+ Ta có: AK // MC (do AMCK là hình chữ nhật), M Є BC (gt) ⇒ AK // BM

Mà BM = MC (do AM là trung tuyến), AK = MC (do AMCK là hình chữ nhật) nên AK – BM (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác ABMK có:  

Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.

Đáp án cần chọn là: C

2. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông

A. Tam giác ABC vuông cân tại A

B. Tam giác ABC vuông cân tại B

C. Tam giác ABC đều           

D. Tam giác ABC vuông cân tại C

Lời giải

Hình chữ nhật AMCK là hình vuông ⇔ AM = MC

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM =  ½BC

⇔ tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cận tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông

Đáp án cần chọn là: A

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D. Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

1. Tứ giác ADME là hình gì?

A. Hình chữ nhật

B. Hình thoi   

C. Hình bình hành

D. Hình vuông

Lời giải

Vì MD //AB; ME // AC mà AB ⊥ AC nên MD ⊥  AC; ME ⊥  AB.

Suy ra  nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

2. Tìm vị trí điểm M để tứ giác ADME là hình vuông.

A. M là chân đường phân giác của  xuống cạnh BC.

B. M là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.

C. M là chân đường trung tuyến từ đỉnh A xuống cạnh BC.

D. Đáp án khác.

Lời giải

Hình chữ nhật ADME là hình vuông ⇔ AM là phân giác 

Hay AM là phân giác góc BAC.

Đáp án cần chọn là: A

Bài 24: Cho hình cuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.

A. AK + CE = BE                              

B. AK + CE = 2BE    

C. AK + CE = ½BE                

D. AK + CE > BE

Lời giải

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK.

Ta có AK + CE = CM + CE = EM.

Ta cần chứng minh EM = BE

Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).

⇒ BE = EM

⇒ AK + CE = CM +CE = EM = BE

⇒ AK + CE = BE

Đáp án cần chọn là: A

Bài giảng Toán 8 Bài 12: Hình vuông