Tailieumoi.vn xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về Hình thoi là gì? Tính chất hình thoi, dấu hiệu nhận biết hình thoi, chi tiết nhất, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Hình thoi là gì? Tính chất hình thoi, dấu hiệu nhận biết hình thoi, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Hình thoi là gì? Tính chất hình thoi, dấu hiệu nhận biết hình thoi

A. Lý thuyết Hình thoi

1. Định nghĩa:

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.6.1).

2. Tính chất:

Trong hình thoi:

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau;

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi;

3. Dấu hiệu nhận biết:

Nhận biết hình thoi:

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi;

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

B. Bài tập Hình thoi

Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Hướng dẫn:

Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^{\circ }$ (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:

• AM = MB; CP = PD
• AQ = QD; BN = NC
• AB = CD; AD = BC

$\Rightarrow$ MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau

$\Rightarrow$ MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 2 Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE và AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Hướng dẫn:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC $\perp$ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD ta được:

• AB = AD
• $\hat{B}=\hat{D}$
• BE = DF

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$ADF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_4}$ (1)

Điều này chứng tỏ $\mathrm{\Delta }$AGH có đường cao AO đồng thời là đường phân giác nên $\mathrm{\Delta }$AGH cân tại A $\Rightarrow$ HO = OG (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC (3)

Từ (1), (2) và (3) có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của $\widehat{HAG}$ nên nó là hình thoi.

Bài 3 Tìm các hình thoi trên hình 102.

Lời giải:

Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi.

– Hình 102a: ABCD là hình thoi vì có AB = BC = CD = DA

– Hình 102b: EFGH là hình thoi vì:

EF = GH và EH = FG ⇒ EFGH là hình bình hành

Lại có EG là tia phân giác của Ê

⇒ EFGH là hình bình hành. (Dấu hiêu 4).

- Hình 102c: KINM là hình thoi vì:

IKMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ IKMN là hình bình hành

Lại có IM ⊥ KN

⇒ IKMN là hình thoi. (Dấu hiệu 3).

– Hình 102e: ADBC là hình thoi vì:

AC = AD = AB (C, B, D cùng thuộc đường tròn tâm A).

BC = BA = BD (A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B)

⇒ AC = CB = BD = DA

⇒ ACBD là hình thoi.

- Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi vì 4 cạnh không bằng nhau.

Bài 4 Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào?

Lời giải:

- Gọi ABCD là hình thoi, O là giao điểm hai đường chéo.

Bài 5 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Ta có: EB = EA, FB = FA (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

Do đó EF // AC

HD = HA, GD = GC (gt) nên HG là đường trung bình của ΔADC.

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG         (1)

Chứng minh tương tự EH // FG         (2)

Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình bình hành

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH

Hình bình hành EFGH có Ê = 90º nên là hình chữ nhật

Bài 6 Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Lời giải:

a) Hình bình hành nhận giao điểm 2 đường chéo là tâm đối xứng.

Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm của 2 đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình.

b)

Lấy 1 điểm M bất kì thuộc hình thoi.

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua BD

⇒ M’ luôn thuộc hình thoi.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Tương tự như thế ta có AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Bài 7 Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:

Mà AB = DC (ABCD là hình chữ nhật)

=> AE = BE = DG = GC.

Chứng minh tương tự ta có AH = HD = FB = FC

Xét ΔEAH và ΔGDH có:

AE = DG;

=> ΔEAH = ΔGDH => HE = HG.

Chứng minh tương tự ta có: EH = EF = GH = GF

Vậy EFGH là hình thoi (theo định nghĩa)

Bài 8 Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng?

Lời giải:

Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi nên KI là phân giác của góc EKF, KM là phân giác của góc GKH.

Suy ra I, K, M thẳng hàng.

Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên 1 đường thẳng.

Bài 9 Chứng minh rằng tứ giác ABCD trên hình 100 cũng là một hình bình hành.

Lời giải

ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành

Bài  10 Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O (h.101).

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì?

b) Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.

Lời giải

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

b) Xét ΔAOB và ΔCOB

AB = CB

BO chung

OA = OC ( O là trung điểm AC )

⇒ ΔAOB = ΔCOB (c.c.c)

⇒ $\widehat{AOB}=\widehat{COB}$, $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (các cặp góc tương ứng)

$\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ ⇒ BO là phân giác góc $\widehat{ABC}$

$\widehat{AOB}+\widehat{COB}$ = 180^o ⇒$\widehat{AOB}=\widehat{COB}$ = 180^o : 2 = 90^o

Chứng minh tương tự, ta kết luận được:

AC, BD là các đường phân giác của các góc của hình thang

và AC ⊥ BD tại O

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình thoi $ABCD$, độ dài mỗi cạnh là $13cm$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ $OH\perp AD$. Biết $OH=6cm$, tính tỉ số của hai đường chéo $BD$ và $AC$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, hai đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $AH$ cắt $EF$ tại $D$, cắt $BC$ tại $G$. Gọi $M$  và $N$ lần lượt là hình chiếu của $G$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng tứ giác $DNGM$ là hình thoi.

Bài 3. Một hình thoi có góc nhọn bằng $30°$. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường chéo đến mỗi cạnh bằng $h$. Tính độ dài mỗi cạnh của hình thoi.

Bài 4. Cho hình thoi $ABCD$, chu vi bằng $8cm$. Tìm giá trị lớn nhất của tích hai đường chéo.

Bài 5. Cho hình thoi $ABCD$, $\hat{A}=40°$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vẽ $DH\perp CM$. Tính số đo của góc $MHB$.