Phương pháp giải và bài tập về Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm có lời giải

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Lớp 7

Tải xuống 12 10.6 K 22

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm Toán lớp 7, tài liệu bao gồm 12 trang, tuyển chọn bài tập Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

- gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

- gồm 15 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm (ảnh 1)

CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY)

A. Phương pháp giải

Trong các chuyên đề trước ta gặp một số bài toán về chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy.

Phương pháp giải các bài toán này là vận dụng định lí về các đường đồng quy của tam giác:

- Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy;

- Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy;

- Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy;

- Ba đường cao của một tam giác đồng quy.

Nếu ba đường thẳng a, b, c đã cho không phải là các đường chủ yếu của tam giác thì để chứng minh a, b, c đồng quy, ta có thể gọi giao điểm của a và b là O rồi chứng minh đường thẳng c đi qua O hay chứng minh O nằm trên đường thẳng c.

Một số trường hợp có thể đưa bài toán chứng minh ba đường đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, góc A tù. Vẽ các đường thẳng m và n lần lượt là đường trung trực của AB và AC, cắt BC theo thứ tự tại E và F. Vẽ tia phân giác Ax của góc EAF. Chứng minh rằng các đường thẳng m, n và Ax đồng quy

Giải (h.21.1)

* Tìm cách giải.

Gọi O là giao điểm của m và n. Ta phải chứng minh tia Ax đi qua O. Muốn vậy phải chứng minh $\hat{O A E} = \hat{O A F} .$

* Trình bày lời giải.

Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng m và n.

Ta có: $O B = O C = O A .$

$Δ A O E = Δ B O E$ (c.c.c). Suy ra ${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1} .$

$Δ A O F = Δ C O F$ (c.c.c). Suy ra ${\hat{A}}_{2} = {\hat{C}}_{2} .$

Mặt khác, ${\hat{B}}_{1} = {\hat{C}}_{2}$ (vì $Δ B O C$ cân tại O) nên ${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$

Do đó tia AO là tia phân giác của góc EAF.

Suy ra ba đường thẳng m, n và Ax đồng quy tại O.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho $A D = A E .$ Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BE và CD đồng quy

Giải (h.21.2)

* Tìm cách giải.

Gọi O là giao điểm của BE và CD. Ta phải chứng minh AM đi qua O tức là phải chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng.

* Trình bày lời giải.

Ta có $A B = A C, A D = A E,$ suy ra $B D = C E .$

$Δ E B C = Δ D C B$ (c.g.c) $\Rightarrow {\hat{B}}_{1} = {\hat{C}}_{1} .$

Gọi O là giao điểm của BE và CD.

Vì $Δ O B C$ cân tại O nên $O B = O C .$ (1)

Mặt khác, $A B = A C$ (giả thiết) (2) và $M B = M C$ (giả thiết) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, O, M thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường trung trực của BC). Do đó ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C).

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm O.

b) Điểm O có vị trí như thế nào đổi với tam giác DEF?

Xem thêm