Đồ thị hàm số lớp 12: lý thuyết, cách nhận dạng và bài tập có đáp án

1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Mọi bài khảo sát đều dùng một “khung” gồm sáu bước. Em học thuộc khung này thì dù gặp hàm nào cũng không bị lạc.

1. Tập xác định. Với hàm phân thức, loại các giá trị làm mẫu bằng 0; với hàm chứa căn, đặt điều kiện biểu thức trong căn không âm.
2. Đạo hàm y′. Giải y′ = 0, đồng thời tìm các điểm y′ không xác định.
3. Xét dấu y′ để suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
4. Giới hạn và tiệm cận. Tính giới hạn khi x tiến tới ±∞ và tại các điểm mà hàm không xác định.
5. Bảng biến thiên. Ghi dấu y′, chiều mũi tên, giá trị cực trị và các giới hạn.
6. Vẽ đồ thị. Đánh dấu cực trị, tiệm cận, giao điểm với Ox, Oy rồi nối thành đường cong trơn.

Muốn luyện sâu từng bước, em xem thêm các bài giải trong chuyên mục: Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số và bộ 50 bài tập khảo sát và vẽ đồ thị có đáp án.

2. Ví dụ khảo sát hàm bậc ba y = x³ − 3x + 1

Đây là hàm “kinh điển” xuất hiện rất nhiều trong đề. Ta làm lần lượt theo khung ở trên.

• Tập xác định: ℝ.
• y′ = 3x² − 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.
• y′ > 0 khi x < −1 hoặc x > 1; y′ < 0 khi −1 < x < 1. Vậy hàm đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1).
• Cực đại tại x = −1, y = 3. Cực tiểu tại x = 1, y = −1.
• Giới hạn: x → +∞ thì y → +∞; x → −∞ thì y → −∞ (vì hệ số a = 1 > 0).
• Giao Oy: điểm (0; 1).

x	−∞	−1	1	+∞
y′		0 (dấu + sang −)	0 (dấu − sang +)
y	−∞ (đi lên)	3 (cực đại)	−1 (cực tiểu)	+∞ (đi lên)

Nhìn đồ thị, em thấy đường thẳng nằm ngang y = m cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi −1 < m < 3, tức m nằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại. Mẹo này dùng được cho mọi hàm bậc ba có hai cực trị.

3. Nhận dạng nhanh đồ thị: bậc ba, trùng phương, phân thức

Trong đề trắc nghiệm, phần “đồ thị hình bên là của hàm số nào” chỉ cần ba đến bốn quan sát là loại hết phương án sai. Bảng dưới đây gom các dấu hiệu chính.

Dạng hàm	Dấu hiệu hình dạng	Điều cần đọc
Bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d	Hai đầu đi về hai phía ngược nhau	a > 0: bên phải đi lên; a < 0: bên phải đi xuống. d là tung độ giao điểm với Oy. Có hai cực trị khi b² − 3ac > 0.
Trùng phương y = ax⁴ + bx² + c	Hai đầu cùng đi lên hoặc cùng đi xuống, đối xứng qua Oy	a > 0: dạng chữ W hoặc chữ U; a < 0: dạng chữ M hoặc úp. Ba cực trị khi a và b trái dấu, một cực trị khi a, b cùng dấu hoặc b = 0. c là tung độ giao điểm với Oy.
Phân thức y = (ax + b)/(cx + d), c ≠ 0, ad − bc ≠ 0	Hai nhánh hyperbol, có hai đường tiệm cận	TCĐ: x = −d/c; TCN: y = a/c. y′ = (ad − bc)/(cx + d)²: dấu của ad − bc quyết định đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng.
Hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất	Hai nhánh, có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên	Thường có hai cực trị hoặc không có cực trị tuỳ dấu của y′.

Quy trình loại trừ phương án trong câu “đồ thị nào là của hàm số…”

1. Xác định loại hàm theo số cực trị và hướng hai đầu: bậc ba (hai đầu ngược nhau), trùng phương (hai đầu cùng phía), phân thức (có tiệm cận).
2. Xét dấu hệ số a bằng hướng của nhánh ngoài cùng bên phải.
3. Xét giao điểm với Oy (thay x = 0) để loại phương án có hệ số tự do khác.
4. Xét điểm cực trị hoặc điểm đặc biệt (thay x = 1, x = −1) khi vẫn còn hai phương án.

Lỗi hay gặp: nhìn hình rồi chọn ngay theo “cảm giác” mà quên kiểm tra điểm cắt Oy, nên chọn nhầm hai hàm chỉ khác nhau hệ số tự do (ví dụ y = −x³ + 3x + 1 và y = −x³ + 3x + 2).

4. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: tiệm cận và đồ thị

Xét y = (2x − 1)/(x + 1). Ở đây a = 2, b = −1, c = 1, d = 1 nên ad − bc = 2 + 1 = 3 > 0.

• Tập xác định: ℝ \ {−1}.
• y′ = 3/(x + 1)² > 0 với mọi x ≠ −1: hàm đồng biến trên từng khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞), không có cực trị.
• Tiệm cận đứng x = −1; tiệm cận ngang y = 2.
• Giao Oy: (0; −1). Giao Ox: (1/2; 0).

Lưu ý quan trọng: hàm này đồng biến trên từng khoảng, không được viết “đồng biến trên ℝ \ {−1}”. Đây là chỗ nhiều bạn mất điểm. Tham khảo thêm khảo sát hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất và hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất. Phần tìm tiệm cận có bài riêng: Tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số.

5. Sự tương giao của hai đồ thị

Cho (C₁): y = f(x) và (C₂): y = g(x). Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).

• Phương trình vô nghiệm: hai đồ thị không có điểm chung.
• Phương trình có n nghiệm phân biệt: hai đồ thị cắt nhau tại n điểm phân biệt.
• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi hệ f(x) = g(x) và f′(x) = g′(x) có nghiệm; nghiệm đó là hoành độ tiếp điểm.
• Đường thẳng y = mx + n tiếp xúc parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0) khi phương trình ax² + bx + c = mx + n có nghiệm kép.

Ví dụ 1: đường thẳng cắt hàm phân thức

Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C): y = (2x − 1)/(x + 1) tại hai điểm phân biệt.

Giải. Phương trình hoành độ giao điểm (x ≠ −1): 2x − 1 = (x + m)(x + 1) ⇔ x² + (m − 1)x + m + 1 = 0 (*).

Thay x = −1 vào vế trái của (*): 1 − (m − 1) + m + 1 = 3 ≠ 0, nên (*) không bao giờ nhận nghiệm x = −1, không cần loại thêm.

Cần Δ = (m − 1)² − 4(m + 1) = m² − 6m − 3 > 0. Hai nghiệm của m² − 6m − 3 = 0 là m = 3 ± 2√3. Vậy m < 3 − 2√3 hoặc m > 3 + 2√3.

Ví dụ 2: đường thẳng y = m cắt đồ thị bậc ba

Với hàm y = x³ − 3x + 1, đường thẳng y = m cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi −1 < m < 3; cắt tại hai điểm khi m = −1 hoặc m = 3 (tiếp xúc tại điểm cực trị); cắt tại một điểm khi m < −1 hoặc m > 3.

Chuyên đề riêng về phần này: Phương pháp giải sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và 57 bài trắc nghiệm sự tương giao.

6. Đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối: phép biến đổi đồ thị

Từ đồ thị (C): y = f(x), ta suy ra hai đồ thị thường gặp:

• y = |f(x)|: giữ nguyên phần của (C) nằm trên hoặc chạm trục Ox; lấy đối xứng phần nằm dưới Ox qua Ox rồi xoá phần cũ.
• y = f(|x|): giữ phần của (C) ứng với x ≥ 0; lấy đối xứng phần đó qua trục Oy. Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Ví dụ: với (C): y = x³ − 3x + 1, đồ thị y = |f(x)| có 5 điểm cực trị (hai cực trị cũ giữ lại, cộng thêm các điểm “gấp khúc” tại giao điểm với Ox: 3 điểm, và cực tiểu cũ có tung độ −1 bị lật lên thành cực đại có tung độ 1). Em đếm kỹ: các điểm cực trị gồm cực đại (−1; 3), điểm cực đại mới (1; 1) và ba điểm cực tiểu tại ba giao điểm với Ox, tổng cộng 5. Xem thêm: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

7. Bài luyện tập (có đáp án)

Bài 1. Đồ thị của một hàm số bậc ba có hai đầu đi từ trên xuống dưới (bên phải đi xuống), cắt trục Oy tại điểm tung độ 2 và có hai điểm cực trị hoành độ −1 và 1. Hàm số đó là:

A. y = x³ − 3x + 2   B. y = −x³ + 3x + 2   C. y = −x³ + 3x² + 2   D. y = −x⁴ + 2x² + 2

Đáp án: B. Bên phải đi xuống nên a < 0 → loại A. D là hàm trùng phương → loại. C có y′ = −3x² + 6x, cực trị tại x = 0 và x = 2 → loại. B có y′ = −3x² + 3, cực trị tại x = ±1 và y(0) = 2, thoả đủ điều kiện.

Bài 2. Tìm số giao điểm của đồ thị y = x⁴ − 2x² − 3 với trục hoành.

Đáp án: 2 giao điểm. Đặt t = x² ≥ 0: t² − 2t − 3 = 0 ⇒ t = 3 hoặc t = −1 (loại). Từ t = 3 có x = ±√3, tức hai giao điểm.

Bài 3. Cho hàm số y = (x − 3)/(x + 2). Chỉ ra tiệm cận và khoảng đơn điệu.

Đáp án. TCĐ: x = −2; TCN: y = 1. Vì ad − bc = 1·2 − (−3)·1 = 5 > 0 nên hàm đồng biến trên (−∞; −2) và (−2; +∞).

Bài 4. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị y = −x³ + 3x tại ba điểm phân biệt.

Đáp án: −2 < m < 2. y′ = −3x² + 3 = 0 ⇔ x = ±1; y(−1) = −2 (cực tiểu), y(1) = 2 (cực đại). Ba nghiệm khi m nằm giữa hai giá trị cực trị.

8. Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp

• Mẹo “a và hướng”: a > 0 thì nhánh ngoài cùng bên phải luôn đi lên, đúng cho cả bậc ba lẫn trùng phương.
• Mẹo “d và c”: d (bậc ba) hoặc c (trùng phương) chính là tung độ giao điểm với Oy, chỉ cần thay x = 0.
• Nhầm “hàm đồng biến trên khoảng” với “đồ thị đi lên”: khi đồ thị đi lên từ trái sang phải thì hàm đồng biến.
• Quên điều kiện x ≠ nghiệm của mẫu khi giải phương trình hoành độ giao điểm của hàm phân thức.
• Kết luận cực trị khi y′ = 0 nhưng y′ không đổi dấu (ví dụ y = x³ tại x = 0).

9. Các dạng bài liên quan nên luyện thêm

• Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
• Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng K cho trước
• Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
• Chứng minh về cực trị
• 26 câu trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Các dạng bài tập về đồ thị hàm số có đáp án

Câu hỏi thường gặp

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12 gồm những gì?

Gồm sáu bước: tìm tập xác định; tính y′ và xét dấu; tìm cực trị; tính giới hạn và tiệm cận; lập bảng biến thiên; vẽ đồ thị với các điểm đặc biệt như giao Ox, Oy, cực trị.

Làm sao nhận biết nhanh đồ thị hàm bậc ba và hàm trùng phương?

Hàm bậc ba có hai đầu đi về hai phía ngược nhau; hàm trùng phương có hai đầu cùng phía và đồ thị đối xứng qua trục Oy. Sau đó xét dấu a theo hướng nhánh bên phải.

Khi nào đường thẳng y = m cắt đồ thị bậc ba tại ba điểm phân biệt?

Khi hàm có hai cực trị và m nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại (với a > 0 là yCT < m < yCĐ).

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có cực trị không?

Không. Đạo hàm y′ = (ad − bc)/(cx + d)² luôn cùng dấu với ad − bc nên hàm chỉ đơn điệu trên từng khoảng xác định và không có cực trị.

Bài học liên quan

• Chọn mệnh đề đúng: ln(a/b) = ln a − ln b với a, b > 0
• Nguyên hàm của ln x: ∫ ln x dx bằng bao nhiêu?
• Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng bao nhiêu? Đáp án 8a³
• Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào? {4;3} hay {5;3}
• Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
• Cho hàm số y = f(x), đồ thị y = f'(x) như hình: y = f(2 − x) đồng biến trên khoảng nào?