Trả lời nhanh
Từ đồ thị (C): y = f(x), đồ thị y = |f(x)| có được bằng cách giữ phần (C) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần nằm dưới Ox qua Ox. Đồ thị y = f(|x|) có được bằng cách giữ phần (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái rồi lấy đối xứng phần giữ lại qua Oy.
Vì sao hai cách vẽ này đúng?
Tất cả đều xuất phát từ định nghĩa |A| = A nếu A ≥ 0 và |A| = −A nếu A < 0. Điểm khác nhau là dấu giá trị tuyệt đối đặt ở ngoài (giá trị hàm số) hay ở trong (biến x).
| Dạng | Dấu | | nằm ở đâu | Phép biến đổi đồ thị | Tính chất |
|---|---|---|---|
| y = |f(x)| | Bao ngoài f(x) | Lật phần dưới Ox lên trên | Đồ thị luôn nằm trên hoặc chạm Ox |
| y = f(|x|) | Bao biến x | Bỏ nửa trái, lấy đối xứng nửa phải qua Oy | Hàm số chẵn, nhận Oy làm trục đối xứng |
Mẹo nhớ: dấu | | ngoài thì “lật lên”, dấu | | trong thì “soi gương qua trục tung”.
Dạng 1: Vẽ y = |f(x)| từ đồ thị y = f(x)
Ta có y = |f(x)| = f(x) khi f(x) ≥ 0 và y = −f(x) khi f(x) < 0. Các bước làm:
- Vẽ (C): y = f(x) (hoặc quan sát đồ thị đề cho).
- Giữ nguyên phần (C) nằm trên và trên trục hoành (f(x) ≥ 0).
- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox, rồi xoá phần gốc phía dưới.
Ví dụ. Với f(x) = x2 − 1 (parabol cắt Ox tại x = ±1, đỉnh (0; −1)), phần parabol ứng với −1 < x < 1 nằm dưới Ox. Ta lật phần này lên thành một “vòm” có đỉnh (0; 1). Đồ thị y = |x2 − 1| gồm hai nhánh parabol ngoài đoạn [−1; 1] và vòm y = 1 − x2 trong đoạn đó.
Nhận xét quan trọng: tại các giao điểm với Ox (x = ±1), đồ thị mới có điểm nhọn (không trơn), vì hai phía có đạo hàm khác nhau. Đây chính là các điểm cực tiểu mới xuất hiện (giá trị 0).
Dạng 2: Vẽ y = f(|x|) từ đồ thị y = f(x)
Ta có f(|x|) = f(x) khi x ≥ 0 và f(|x|) = f(−x) khi x < 0. Các bước làm:
- Giữ phần (C) ứng với x ≥ 0 (nằm bên phải hoặc trên trục tung).
- Bỏ hoàn toàn phần (C) bên trái trục tung.
- Lấy đối xứng phần đã giữ qua trục Oy.
Ví dụ. Với f(x) = x2 − 2x − 3, ta có y = x2 − 2|x| − 3. Nửa phải là parabol gốc (đỉnh (1; −4), cắt Ox tại x = 3, cắt Oy tại (0; −3)). Nửa trái đối xứng với nửa phải: đỉnh (−1; −4), cắt Ox tại x = −3. Đồ thị có dạng chữ “W”: hai điểm cực tiểu (±1; −4), một điểm cực đại (0; −3) và cắt Ox tại hai điểm x = ±3.
Dạng kết hợp: y = |f(|x|)| và |f(x)| theo từng bước
Với y = |f(|x|)|, hãy làm từ trong ra ngoài: vẽ f(|x|) trước (dạng 2), sau đó lật phần dưới Ox lên (dạng 1). Làm ngược thứ tự dễ cho kết quả sai, vì hai phép biến đổi nói chung không hoán đổi được.
Ứng dụng: số nghiệm, số cực trị
- Số nghiệm của |f(x)| = m: số giao điểm của đường thẳng y = m (m ≥ 0) với đồ thị y = |f(x)|. Nếu m < 0 thì vô nghiệm.
- Số cực trị của y = |f(x)| = số cực trị của f(x) nằm ở các điểm mà f(x) ≠ 0 + số nghiệm đơn (bội lẻ) của f(x) = 0 mà ở đó f'(x) ≠ 0, vì mỗi điểm như vậy thành điểm nhọn cực tiểu. Cách gọn khi đề ghi nghiệm rõ: đếm cực trị gốc, cộng thêm số giao điểm với Ox.
- Số cực trị của y = f(|x|) = 2a + 1, trong đó a là số điểm cực trị của f(x) có hoành độ dương (nếu f xác định và liên tục tại x = 0).
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm hai dạng: gặp f(|x|) mà lại lật phần dưới Ox lên.
- Với f(|x|), vẫn giữ lại phần đồ thị bên trái trục tung của (C) gốc. Phần này phải bị bỏ.
- Vẽ điểm giao Ox thành điểm “trơn” ở |f(x)|, trong khi đó là điểm nhọn.
- Quên điều kiện m ≥ 0 khi đếm nghiệm của phương trình |f(x)| = m.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = |x3 − 3x|.
Giải. f(x) = x3 − 3x có hai cực trị tại x = ±1 (giá trị 2 và −2); phần lật làm cả hai thành cực đại có giá trị 2. Phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm đơn x = 0, ±√3, mỗi nghiệm thành một điểm cực tiểu (giá trị 0). Tổng cộng: 2 + 3 = 5 điểm cực trị.
Bài 2. Tìm m để phương trình |x2 − 4x + 3| = m có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Giải. f(x) = x2 − 4x + 3 cắt Ox tại x = 1 và x = 3, đỉnh (2; −1). Sau khi lật, đồ thị |f| có hai điểm cực tiểu (1; 0), (3; 0) và điểm cực đại (2; 1). Đường thẳng y = m cắt tại 4 điểm khi 0 < m < 1. Với m = 1 chỉ có 3 nghiệm, với m > 1 có 2 nghiệm. Đáp án: 0 < m < 1.
Bài 3. Vẽ đồ thị y = 2|x| − 4 và tìm giao điểm với hai trục toạ độ.
Giải. Với x ≥ 0, y = 2x − 4. Đối xứng qua Oy được nửa trái y = −2x − 4. Đồ thị hình chữ V có đỉnh (0; −4), cắt Oy tại (0; −4), cắt Ox tại (2; 0) và (−2; 0).
Xem thêm các tài liệu liên quan
- Phương pháp giải đồ thị hàm số
- Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
- 50 bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị y = |f(x)| và y = f(|x|) khác nhau thế nào?
y = |f(x)| lật phần đồ thị nằm dưới trục hoành lên trên nên đồ thị không bao giờ xuống dưới Ox. y = f(|x|) bỏ phần bên trái trục tung rồi lấy đối xứng phần bên phải qua Oy nên là hàm số chẵn.
Vì sao đồ thị y = |f(x)| có điểm nhọn?
Tại nghiệm đơn của f(x) = 0, đồ thị gốc cắt Ox với hệ số góc tiếp tuyến khác 0. Sau khi lật, hai phía có hệ số góc đối nhau nên đồ thị gấp khúc, tạo điểm nhọn và là điểm cực tiểu.
Đếm số nghiệm của phương trình |f(x)| = m bằng cách nào?
Vẽ đồ thị y = |f(x)| rồi đếm số giao điểm với đường thẳng ngang y = m. Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm vì |f(x)| luôn không âm.
Cách tìm số cực trị của y = f(|x|)?
Gọi a là số điểm cực trị dương của f(x). Khi hàm số liên tục tại x = 0, số cực trị của f(|x|) là 2a + 1 vì mỗi cực trị dương có một điểm đối xứng và x = 0 cũng là điểm cực trị.