Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R.

+) Xét hàm số: y = -x³ + 2x² – x – 1

\( \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 4x - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + 1} \right)\)

+) Xét hàm số: \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{1}{3}{x^3}--{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\]

\( \Rightarrow y' = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

+) Xét hàm số: \[y{\rm{ }} = {\rm{ }} - \frac{1}{3}{x^3}{\rm{ +  }}{x^2} - x{\rm{ }}\]

\[ \Rightarrow y' =  - {x^2}{\rm{ +  2}}x - 1 =  - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

+) Xét hàm số y = - x³ + 3x + 1

\( \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 3 =  - 3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Chọn C

Phương pháp giải

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Khi đó:

Hàm số nghịch biến trên K ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K

Hàm số đồng biến trên K ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K.

Chú ý:

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên dưới Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) < 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) nghịch biến trên K.

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên trên Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) > 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) đồng biến trên K.

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Kết nối tri thức) | Lý thuyết Toán 12

50 Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số (có đáp án)- Toán 12