Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

TXĐ: D = R

+ Hàm số nghịch biến

⇔ y’ < 0

⇔ 1 – x² < 0

⇔ x² > 1

⇔ x ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1; +∞).

+ Hàm số đồng biến

⇔ y’ > 0

⇔ 1 – x² > 0

⇔ x² < 1

⇔ x ∈ (-1; 1).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

Bài tập liên quan:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = \frac{3x + 1}{1 - x}$

Cách giải:

Tập xác định: D = R \ {1}

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Hàm số nghịch biến, hàm số đồng biến và các dạng bài tập

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán 12