Cho ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle \frac{1}{7^2}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \frac{2}{7^3}}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle ...}$${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \frac{69}{7^{70}}}$ Chứng tỏ ${\displaystyle S<\frac{1}{36}}$

 

 

Ta có:

${\displaystyle S=\frac{1}{7^2}+\frac{2}{7^3}+...+\frac{69}{7^{70}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 7S=\frac{1}{7}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{69}{7^{69}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 7S-S=(\frac{1}{7}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{69}{7^{69}})-(\frac{1}{7^2}+\frac{2}{7^3}+...+\frac{69}{7^{70}})}$

${\displaystyle \Rightarrow 6S=\frac{1}{7}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{69}{7^{69}}-\frac{1}{7^2}-\frac{2}{7^3}-...-\frac{69}{7^{70}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 6S=\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{7^{69}}-\frac{69}{7^{70}}}$

Đặt ${\displaystyle A=\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{7^{69}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 7A=1+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{7^{68}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 7A-A=(1+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{7^{68}})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{7^{69}})}$

${\displaystyle \Rightarrow 6A=1+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{7^{68}}-\frac{1}{7}-\frac{1}{7^2}-...-\frac{1}{7^{69}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 6A=1-\frac{1}{7^{69}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 6A<1}$

${\displaystyle \Rightarrow A<\frac{1}{6}}$

Lại có:

${\displaystyle 6S=A-\frac{69}{7^{70}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 6S<A<\frac{1}{6}}$

Hay ${\displaystyle 6S<\frac{1}{6}}$

${\displaystyle \Rightarrow S<\frac{1}{36}(đpcm)}$

Phương pháp giải:

Phân tích tổng $S$:

Tổng $S$ có dạng: $$S = \frac{1}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \frac{3}{7^4} + \dots + \frac{69}{7^{70}}.$$

Đây là một tổng vô hạn với các số hạng được biểu diễn dưới dạng $\frac{n}{7^{n+1}}$​ (với $n = 1, 2, 3, \dots, 69$).

Nhận xét về từng số hạng:

Mỗi số hạng $\frac{n}{7^{n+1}}$ giảm dần rất nhanh do $7^{n+1}$ tăng rất lớn khi $n$ tăng.

Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá $S$:

Ta đánh giá tổng $S$ bằng cách so sánh với một chuỗi hình học hoặc sử dụng bất đẳng thức lớn nhất của từng số hạng: $$\frac{n}{7^{n+1}} \leq \frac{n}{7^n}.$$.

Tổng này sẽ được đánh giá bằng cách so sánh với các chuỗi đã biết để tìm ra cận trên của $S$.

Tính cận trên cho $S$:

Sử dụng tính chất của chuỗi hình học hoặc công thức tổng quát để đánh giá: $$S < \frac{1}{36}.$$

Kết luận:

Từ các bất đẳng thức và tính chất chuỗi, chứng minh rằng $S < \frac{1}{36}$​.