Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chương 3: Tứ giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 8.

Lý thuyết Toán lớp 8 Chương 3: Tứ giác

A. Lý thuyết Chương 3: Tứ giác

1. Tứ giác lồi

+ Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC , CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đoạn thẳng.

Ví dụ: Hình a, b, c là tứ giác, hình d không phải là tứ giác.

Trong tứ giác ABCD, các điểm A, B, C, D là các đỉnh, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh.

+ Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại (Hình a ở ví dụ 1 là tứ giác lồi, hình b, c không phải tứ giác lồi).

+ Trong tứ giác lồi, các góc ABC, BCD, CDA, DAB gọi là các góc của tứ giác và kí hiệu đơn giản lần lượt là $\hat{B},\hat{C},\hat{D},\hat{A}.$

Chú ý:

+ Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không giải thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

+ Tứ giác ABCD trong hình a còn được gọi tên là tứ giác BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

2. Tổng các góc của một tứ giác

+ Định lí: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°.

3. Hình thang. Hình thang cân

3.1. Khái niệm hình thang, hình thang cân

+ Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Xét các hình dưới đây:

+ Hình a là hình thang ABCD (AB // CD). Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên, đường vuông góc AH kẻ từ A đến CD gọi là một đường cao của hình thang ABCD.

+ Hình b là hình thang cân MNPQ  (MN // PQ)

Hai góc M, N kề đáy nhỏ MN,$\hat{M}=\hat{N}$

Hai góc C, D kề đáy lớn CD, $\hat{C}=\hat{D}$ .

Chú ý: Trong hình thang, hai góc kề một đáy bằng nhau thì hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.

3.2. Tính chất của hình thang cân

+ Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+ Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

3.3.Dấu hiệu nhận biết

+ Định lí 3 (Dấu hiệu nhận biết hình thang cân): Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình thang cân.

Chú ý: Định lí 3 là định lí đảo của định lí 2. Giả thiết của định lí này là kết luận của định lí kia.

4. Hình bình hành

4.1. Khái niệm hình bình hành và tính chất

+ Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Tứ giác ABCD là hình bình hành có AB // CD và AD // BC.

+ Định lí 1 (Tính chất của hình bình hành)

Trong hình bình hành:

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì thì bù nhau.

4.2. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

+ Định lí 2 (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh):

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

+ Định lí 3 (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo):

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

5. Hình chữ nhật

5.1. Khái niệm và tính chất của hình chữ nhật

+ Định nghĩa:Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tứ giác ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$ , nó là hình chữ nhật.

Chú ý: Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông và tứ giác đó là hình chữ nhật.

+ Định lí 1: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chú ý: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và của hình thang cân.

+ Nhận xét: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

5.2. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

+ Định lí 2 (Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật):

a) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Nhận xét: Nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông.

6. Hình thoi

6.1. Khái niệm và tính chất của hình thoi

+ Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD có AB = BC = CD = DA, nó là một hình thoi.

Chú ý: Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

+ Định lí 1: Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

6.2. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Định lí 2:

a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

c) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

7. Hình vuông

7.1. Khái niệm hình vuông và tính chất của nó

+ Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$  và AB = BC = CD = DA, nó là hình vuông.

+ Định lí 3: Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

Chú ý: Hình vuông cũng là hình chữ nhật, hình thoi nên nó có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

7.2. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Định lí 4:

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý:

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính góc chưa biết của các tứ giác trong hình sau:

Hướng dẫn giải

+ Tứ giác ABCD có 3 góc vuông nên $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=90°$. Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $\hat{D}=360°-(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C})=360°-(90°+90°+90°)=90°.$

+ Vì $\widehat{MNx}+\widehat{MNP}=180°$(hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{MNP}=180°-85°=95°.$

$\widehat{NPy}+\widehat{NPQ}=180°$(hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{NPQ}=180°-100°=80°.$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có: $\hat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{NPQ}+\hat{Q}=360°$

Suy ra $\hat{Q}=360°-(\hat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{NPQ})=360°-130°-95°-80°=55°$.

Bài 2. Tính góc chưa biết của tứ giác trong hình dưới đây, biết $\hat{I}+\hat{K}=180°$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{I}+\hat{K}=180°$mà $\hat{K}=60°\Rightarrow \hat{I}=120°$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác ta có:

$\hat{I}+\hat{K}+\hat{M}+\hat{L}=360°\Rightarrow \hat{M}=360°-(\hat{I}+\hat{K}+\hat{L})=360°-(120°+60°+135°)=45°$.

Bài 3. Tứ giác MNEF có MN = MF, NE = FE, được gọi là hình cái diều.

a) Chứng minh ME là đường trung trực của đoạn thẳng NF.

b) Tính các góc E, F biết $\hat{M}=100°,\hat{N}=105°.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta MNE$và $\Delta MFE$  có:

MN = MF (giả thiết)

NE = FE (giả thiết)

ME chung

Do đó $\Delta MNE$  = $\Delta MFE$  (cạnh - cạnh - cạnh)$\Rightarrow \widehat{FME}=\widehat{NME}$

Gọi H là giao điểm của ME và NF

Xét $\Delta MNH$ và $\Delta MFH$ có:

MN = MF ( giả thiết)

 $\widehat{FME}=\widehat{NME}$(chứng minh trên)

MH chung

Do đó $\Delta MNH$ = $\Delta MFH$  (cạnh - góc - cạnh)

$\Rightarrow NH=FH$(1)

Và $\widehat{MHN}=\widehat{MHF}$  mà $\widehat{MHN}+\widehat{MHF}=180°\Rightarrow \widehat{MHN}=\widehat{MHF}=90°$

$\Rightarrow ME\perp NF$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ME là đường trung trực của đoạn thẳng NF.

b) Vì $\Delta MNE=\Delta MFE\Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{MFE}=105°$

Theo định lí về tổng các góc trong một tứ giác suy ra $\widehat{NEF}=50°$.

Bài 4. Hình thang ABCD (AB // CD) trong hình bên dưới có phải hình thang cân không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Giả sử ABCD (AB // CD) là hình thang cân.

Khi đó, ta có: $\hat{A}=\hat{B}=140°,\hat{C}=\hat{D}=60°$.

Tổng 4 góc trong hình thang ABCD là $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=400°>360°$ .

Suy ra ABCD không phải là hình thang cân.

Bài 5. Cho hình thang MNPQ (MN // PQ) có $\widehat{NMP}=\widehat{MNQ},$  E là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh hình thang MNPQ là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

Vì MN // QP nên $\widehat{NMP}=\widehat{MPQ}$  và $\widehat{NQP}=\widehat{MNQ}$(các cặp góc so le trong)

Mà $\widehat{NMP}=\widehat{MNQ}\Rightarrow \widehat{NMP}=\widehat{MPQ}=\widehat{NQP}=\widehat{MNQ}$.

$\Delta MNE$ có $\widehat{NMP}=\widehat{MNQ}$ nên $\Delta MNE$cân tại E

Suy ra ME = NE (1)

$\Delta QEP$ có $\widehat{MPQ}=\widehat{NQP}$  nên $\Delta QEP$  cân tại E

Suy ra EQ = EP (2)

Từ (1) và (2) ta có: ME + EP = NE +  EQ hay MP = NQ

Suy ra MNPQ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết).

Bài 6. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có các đường cao AE, BF. Chứng minh DE = CF.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD (AB // CD) là hình thang cân nên  và AD = BC.

Xét $\Delta AED$  và $\Delta BFC$  có:

$\widehat{AED}=\widehat{BFC}=90°(AE\perp DC,BF\perp DC)$

 $\hat{D}=\hat{C}$(chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó $\Delta AED=\Delta BFC$  (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra DE = CF (cạnh tương ứng bằng nhau).

Bài 7. Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong hình dưới đây.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên $\hat{B}=\hat{D}=60°$

Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có:

 $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ suy ra $\hat{A}+\hat{C}=240°\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}=120°$ .

Bài 8. Trong mỗi trường hợp sau, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không phải là hình bình hành? Vì sao?

Hướng dẫn giải

+ Tứ giác EFGH có $\hat{F}=360°-(\hat{E}+\hat{H}+\hat{G})=60°$

Suy ra $\hat{F}=\hat{H}$  mà $\hat{G}=\hat{E}$  nên theo dấu hiệu nhận biết của hình bình hành ta có tứ giác EFGH là hình bình hành.

+ Tứ giác MNPQ không là hình bình hành vì ta dễ dàng tính được $\hat{M}=100°\ne \hat{P}$

+ Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau: AB = CD và AD = BC.

Bài 9. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh $\Delta OAM=\Delta OCN.$ Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

+ Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD và AC.

Lại có: AB // CD nên $\widehat{OCN}=\widehat{OAM}$  (hai góc so le trong)

+ Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$  có:

$\widehat{OCN}=\widehat{OAM}$(chứng minh trên)

OA = OC (O là trung điểm AC)

$\widehat{AOM}=\widehat{CON}$(hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM=\Delta OCN$  (góc - cạnh - góc)

Suy ra OM = ON hay O là trung điểm MN.

+ Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, suy ra tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 10. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm cạnh AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

+ Tam giác AHC vuông tại H có đường trung tuyến HI (do I là trung điểm của AC) ứng với cạnh huyền AC nên $HI=\frac{1}{2}AC$  (trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).

+ Vì E đối xứng với H qua I nên IE = $HI=\frac{1}{2}AC$  suy ra IA = IC = IE = HI.

Suy ra HE = AC.

+ Xét tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên tứ giác AHCE là hình bình hành. Mặt khác ta có HE = AC (chứng minh trên) nên AHCE là hình chữ nhật.

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kì trên cạnh AB. Vẽ ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với BC tại F. Chứng minh tứ giác CFME là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Vì ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với BC tại F và tam giác ABC vuông cân tại C nên $\widehat{MEC}=\widehat{MFC}=\hat{C}=90°$  hay tứ giác CEMF có ba góc vuông, suy ra tứ giác CEMF là hình chữ nhật.

Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD nên $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}=90°$.

Xét tam giác vuông CAD vuông tại A có AF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD.

Suy ra $AF=\frac{1}{2}CD\Rightarrow AF=FC=FD=\frac{1}{2}CD$  (1)

Tương tự xét tam giác vuông ACB vuông tại C có CE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB.

$\Rightarrow CE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow EC=AE=EB=\frac{1}{2}AB$ (2)

Lại có: AB = CD (tính chất hình bình hành) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AE = CE = CF = FA

Suy ra tứ giác AECF là hình thoi.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Qua D và E kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB, AC lần lượt ở K và H. Tứ giác KHED là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}=45°$ .

Tam giác DBK vuông tại D có $\hat{B}=45°$  nên tam giác DBK vuông cân tại D.

Suy ra BD = DK (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có tam giác EHC vuông cân tại E.

Suy ra EH = EC (2)

Lại có: BD = DE = EC (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra KD = DE = HE

Tứ giác KHED có KD // HE (cùng vuông góc với BC) và KD = HE nên tứ giác KHED là hình bình hành.

Mặt khác hình bình hành KHED có hai cạnh bên KD = DE nên KHED là hình thoi.

Mà hình thoi KHED có góc KDE là góc vuông (do giả thiết KD vuông góc BC) nên KHED là hình vuông.

Lý thuyết Bài 10: Tứ giác

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 11: Hình thang cân

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 12: Hình bình hành

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 13: Hình chữ nhật

Xem chi tiết

Lý thuyết Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Xem chi tiết

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Lý thuyết Chương 6: Phân thức đại số

Lý thuyết Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất