Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Cánh diều 2024) hay, chi tiết

Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Admin Vietjack Ngày: 30-12-2023 Lớp 11

1.7 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = 0$ .

- Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .

* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$

2. Một số giới hạn cơ bản

+ $lim \frac{1}{n} = 0, lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k \in Z .$

+ $lim \frac{c}{n} = 0, lim \frac{c}{n^{k}} = 0, k \in Z$ , c là hằng số.

+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$

+ $lim {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$

$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$

$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$

b, Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn $u_{1}, u_{1} q, . . ., u_{1} q^{n - 1}, . . .$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

*Nhận xét:

$\begin{array}{l} lim n^{k} = + \infty, k \in Z^{+} \\ lim q^{n} = + \infty; q \in R, q > 1. \end{array}$
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, \forall n$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty$