Lý thuyết Dãy số (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết

Lý thuyết Dãy số (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Admin Vietjack Ngày: 31-12-2023 Lớp 11

3.1 K

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số

A. Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $N^{*}$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là $u = u (n)$ .

Ta thường viết $u_{n}$ thay cho $u (n)$ và kí hiệu dãy số $u = u (n)$ bởi $u (n)$ , do đó dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{n}, . . .$

Số $u_{1}$ là số hạng đầu; $u_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\forall n \in N^{*}, u_{n} = c$ thì $(u_{n})$ được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M = {1; 2; 3; . . .; m}, m \in N^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{m}$ .

Số $u_{1}$ gọi là số hạng đầu, $u_{m}$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

+) Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+) Công thức của số hạng tổng quát.

+) Phương pháp mô tả.

+) Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n + 1} > u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n + 1} < u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho $u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho $u_{n} \geq m,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .

B. Bài tập Dãy số

Bài 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u_n= 4n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ+ 1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 4.100 – 2 = 398.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰ + 1.

Bài 2: Dãy số (u_n) cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u_n = n . u_n-1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Ta thấy u₁=1!, u₂ = 2!, u₃ = 3!, u₄ = 4!, u₅ = 5!.

Vậy công thức số hạng tổng quát là u_n = n!.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 3n – 1;

b) u_n = – 3n + 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u_n+1 – u_n = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n

Suy ra đây là dãy số tăng.

b) Ta có: u_n+1 – u_n = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là u_n+1 < u_n.

Suy ra đây là dãy số giảm.

Bài 4: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = $\frac{2 n + 2}{2 n + 3}$ ;

c) u_n = cos n.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới.

b) Dãy số (u_n) bị chặn trên, vì $u_{n} = \frac{2 n + 2}{2 n + 3} = \frac{2 n + 3 - 1}{2 n + 3} = 1 - \frac{1}{2 n + 3} < 1$ , ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì $u_{n} = \frac{2 n + 2}{2 n + 3} \geq 0$ , ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 2;

b) Khi chia cho 3 dư 1.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n (∀n ∈ ℕ^*).

b) u_n = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ^*).

Bài 6: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_{n}$ = 50 Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số .