Gia tốc chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường.

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{1-x}}\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{-{\left(1-x\right)}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^2}}={\displaystyle \frac{-(-1)}{{\left(1-x\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}}\\ \Rightarrow y^{″}=-{\displaystyle \frac{{\left[{\left(1-x\right)}^2\right]}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^4}}\\ =-{\displaystyle \frac{2\left(1-x\right)\left(-1\right)}{{\left(1-x\right)}^4}}={\displaystyle \frac{2}{{\left(1-x\right)}^3}}\end{array}$

b. $\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}}\\ \Rightarrow y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\left(1-x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1-x}}}}{1-x}}\\ =-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}}{1-x}}={\displaystyle \frac{1}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3}}\\ \Rightarrow y^{″}={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{-{\left[{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3\right]}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}}\\ =-{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2.{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}}\\ =-{\displaystyle \frac{3\left(1-x\right).{\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}}={\displaystyle \frac{3}{4{\left(\sqrt{1-x}\right)}^5}}\end{array}$

c.

$\begin{array}{l}y=\tan x\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\\ \Rightarrow y^{″}=-{\displaystyle \frac{{\left({\cos }^{2}x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}}=-{\displaystyle \frac{2\cos x{\left(\cos x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}}\\ ={\displaystyle \frac{2\cos x\sin x}{{\cos }^{4}x}}={\displaystyle \frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}}\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}y=\tan x\\ y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}=1+{\tan }^{2}x\\ y^{″}={\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^{\prime }\\ =2\tan x{\left(\tan x\right)}^{\prime }\\ =2\tan x.{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\\ ={\displaystyle \frac{2\tan x}{{\cos }^{2}x}}\end{array}$

d.  $\begin{array}{l}y={\cos }^{2}x\\ \Rightarrow y^{\prime }=2\cos x{\left(\cos x\right)}^{\prime }\\ =-2\cos x\sin x=-\sin 2x\\ \Rightarrow y^{″}=-(2x{)}^{\prime }\cos 2x=-2\cos 2x\end{array}$

Lý thuyết Bài Đạo hàm cấp 2

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$.

+)  Nếu hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left(x\right)$, kí hiệu là $f^{″}\left(x\right)$.

+) Đạo hàm cấp $n\left(n\in N,n\ge 2\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ là đạo hàm của hàm số $f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)$.

Kí hiệu: $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ hay $y^{\left(n\right)}$: 

Tức là $f^{\left(n\right)}\left(x\right)={\left[f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right]}^{\prime }$

Đặc biệt: $f^{(0)}\left(x\right)=f\left(x\right)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S=s\left(t\right)$.

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0$ là: $v\left(t_0\right)=S^{\prime }\left(t_0\right)$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0$ là: $a\left(t_0\right)=S^{″}\left(t_0\right)$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản