Giải Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Nguyễn Lê Thục Nhi Ngày: 31-05-2022 Lớp 11

5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Quy tắc tính đạo hàm lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

y = x^{3}

tại điểm

x

tùy ý. Dự đoán đạo hàm của hàm số

y = x^{100}

tại điểm

x

Phương pháp giải:

- Tính $Δ y$ .

- Tính $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ suy ra đạo hàm.

Lời giải:

- Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại \(\x_0) bất kỳ. Ta có:

$\begin{aligned} Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \\ = (x_{0} + Δ x)^{3} - {x_{0}}^{3} = 3 {x_{0}}^{2} Δ x + 3 x_{0} (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3} \\ \Rightarrow y^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (3 {x_{0}}^{2} + 3 x_{0} Δ x + (Δ x)^{2}) = 3 {x_{0}}^{2} \end{aligned}$

- Dự đoán đạo hàm của $y = x^{100}$ tại điểm $x$ là $y = 100 x^{99}$

Trả lời hoạt động 2 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh khẳng định trong nhận xét trên.

a. Đạo hàm của hàm hằng bằng $0 : c^{'} = 0.$

b. Đạo hàm của hàm số $y = x$ bằng 1: x' = 1

Lời giải:

Hàm hằng $\Rightarrow Δ y = 0$

$\Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = 0$

Theo định lí 1

$y = x$ hay $y = x^{1} \Rightarrow y^{'} = (x^{1})^{'} = 1. x^{1 - 1} = 1. x^{0} = 1.1 = 1$

Trả lời hoạt động 3 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số

f (x) = \sqrt{x}

tại

x = - 3; x = 4 ?

Lời giải:

$x = - 3 < 0$ nên $f (x)$ không có đạo hàm tại $x = - 3$

$x = 4$ , đạo hàm của $f (x)$ là:

$\frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

Trả lời hoạt động 4 trang 159 sgk Đại số và Giải tích 11: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số

y = 5 x^{3} - 2 x^{5}

;

y = - x^{3} \sqrt{x}

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm $y = x^{n}$ và hàm $y = \sqrt{x}$

Lời giải:

$(1) y^{'} = (5 x^{3} - 2 x^{5})^{'} = (5 x^{3})^{'} - (2 x^{5})^{'}$

$= (5^{'} . x^{3} + 5 (x^{3})^{'}) - (2^{'} . x^{5} + 2. (x^{5})^{'})$

$= (0. x^{3} + 5.3 x^{2}) - (0. x^{5} + 2.5 x^{4})$

$= (0 + 15 x^{2}) - (0 + 10 x^{4})$

$= 15 x^{2} - 10 x^{4}$

$(2) y^{'} = (- x^{3} \sqrt{x})^{'}$

$= (- x^{3})^{'} . \sqrt{x} + (- x^{3}) . {(\sqrt{x})}^{'}$

$= - 3 x^{2} . \sqrt{x} - x^{3} . \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Trả lời hoạt động 5 trang 160 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.

Lời giải:

- Nếu $k$ là một hằng số thì $(k u)^{'} = k u^{'}$

Thật vậy, ta có: $(k u)^{'} = k^{'} u + k u^{'} = 0. u + k u^{'} = k u^{'}$ (do đạo hàm của hàm hằng bằng $0$ )

Ví dụ: ${(3 x^{2})}^{'} = 3. {(x^{2})}^{'} = 3.2 x = 6 x$

${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0)$

Thật vậy, ta có:

${(\frac{1}{v})}^{'} = \frac{1^{'} v - 1. v^{'}}{v^{2}} = \frac{0. v - v^{'}}{v^{2}} = - \frac{v^{'}}{v^{2}}$

Ví dụ: ${(\frac{1}{2 x + 1})}^{'} = - \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{{(2 x + 1)}^{2}} = - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Trả lời hoạt động 6 trang 161 sgk Đại số và Giải tích 11: Hàm số

y = \sqrt{x^{2} + x + 1}

là hàm hợp của hàm số nào?

Lời giải:

Hàm số $y = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ là hàm hợp của hàm số $y = \sqrt{u} (u = x^{2} + x + 1)$

Bài tập (trang 162, 163 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 162 sgk Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = 7 + x - x^{2}$ tại $x_{0} = 1$

b. $y = x^{3} - 2 x + 1$ tại $x_{0} = 2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0}$ , tính $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ .

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x}$ .

Bước 3: Tìm $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Kết luận $f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Lời giải:

Giả sử $∆ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1$ . Ta có:

$\begin{array}{l} Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) \\ Δ y = 7 + (1 + Δ x) - {(1 + Δ x)}^{2} - 7 \\ Δ y = 1 + Δ x - 1 - 2 Δ x - {(Δ x)}^{2} \\ Δ y = - {(Δ x)}^{2} - Δ x \\ \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = - Δ x - 1 \\ \Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (- Δ x - 1) = - 1 \end{array}$

Vậy $f^{'} (1) = - 1$ .

Giả sử $∆ x$ là số gia của số đối tại $x_{0} = 2$ . Ta có:

$\begin{array}{l} Δ y = f (2 + Δ x) - f (2) \\ Δ y = {(2 + Δ x)}^{3} - 2 (2 + Δ x) + 1 - 5 \\ Δ y = 8 + 12 Δ x + 6 {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - 4 - 2 Δ x - 4 \\ Δ y = {(Δ x)}^{3} + 6 {(Δ x)}^{2} + 10 Δ x \\ \Rightarrow \frac{Δ y}{Δ x} = {(Δ x)}^{2} + 6 Δ x + 10 \\ \Rightarrow lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} + 6 Δ x + 10) = 10 \end{array}$

Vậy $f^{'} (2) = 10$ .

Bài 2 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y = x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 3

y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} x + x^{2} - 0, 5 x^{4}

c. $y = \frac{x^{4}}{2}$ - $\frac{2 x^{3}}{3}$ + $\frac{4 x^{2}}{5} - 1$

d. $y = 3 x^{5} (8 - 3 x^{2})$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 3)}^{'} \\ = {(x^{5})}^{'} - {(4 x^{3})}^{'} + {(2 x)}^{'} - {(3)}^{'} \\ = {(x^{5})}^{'} - 4. {(x^{3})}^{'} + 2. {(x)}^{'} - 0 \\ = 5 x^{4} - 4.3 x^{2} + 2 \\ = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} y = 3 x^{5} (8 - 3 x^{2}) \\ = 24 x^{5} - 9 x^{7} \\ \Rightarrow y^{'} = {(24 x^{5} - 9 x^{7})}^{'} \\ = 24. {(x^{5})}^{'} - 9. {(x^{7})}^{'} \\ = 24.5 x^{4} - 9.7 x^{6} \\ = 120 x^{4} - 63 x^{6} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y^{'} = {[3 x^{5} (8 - 3 x^{2})]}^{'} \\ = {(3 x^{5})}^{'} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} {(8 - 3 x^{2})}^{'} \\ = 3. {(x^{5})}^{'} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} [{(8)}^{'} - {(3 x^{2})}^{'}] \\ = 3.5 x^{4} (8 - 3 x^{2}) + 3 x^{5} (0 - 3.2 x) \\ = 120 x^{4} - 45 x^{6} - 18 x^{6} \\ = 120 x^{4} - 63 x^{6} \end{array}$

Bài 3 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = (x^{7} - 5 x^{2})^{3}$

b. $y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2})$

c. $y = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

d. $y = \frac{3 - 5 x}{x^{2} - x + 1}$

e. $y = {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{3}$ ( $m, n$ là các hằng số)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ , đạo hàm của hàm hợp ${[f (u)]}^{'} = u^{'} . f^{'} (u)$ , các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

$\begin{array}{l} {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'} \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} \end{array}$

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $y = u^{3}, u = x^{7} - 5 x^{2}$

$\begin{array}{l} y = {(x^{7} - 5 x^{2})}^{3} \\ \Rightarrow y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} {(x^{7} - 5 x^{2})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} [{(x^{7})}^{'} - {(5 x^{2})}^{'}] \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} . (7 x^{6} - 5.2 x) \\ y^{'} = 3 {(x^{7} - 5 x^{2})}^{2} . (7 x^{6} - 10 x) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2}) \\ \Rightarrow y = 5 x^{2} - 3 x^{4} + 5 - 3 x^{2} \\ = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5 \\ \Rightarrow y^{'} = {(- 3 x^{4})}^{'} + {(2 x^{2})}^{'} + {(5)}^{'} \\ \Rightarrow y^{'} = - 3.4 x^{3} + 2.2 x + 0 \\ \Rightarrow y^{'} = - 12 x^{3} + 4 x \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{2} + 1)}^{'} (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) {(5 - 3 x^{2})}^{'} \\ = [{(x^{2})}^{'} + {(1)}^{'}] (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) [{(5)}^{'} - {(3 x^{2})}^{'}] \\ = (2 x + 0) (5 - 3 x^{2}) + (x^{2} + 1) (0 - 3.2 x) \\ = 10 x - 6 x^{3} - 6 x^{3} - 6 x \\ = 4 x - 12 x^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{'} \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} [{(m)}^{'} + {(\frac{n}{x^{2}})}^{'}] \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} [0 + \frac{{(n)}^{'} . x^{2} - n . {(x^{2})}^{'}}{x^{4}}] \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{0 x^{2} - n .2 x}{x^{4}} \\ = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{- 2 n}{x^{3}} \\ = - 6 n {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{1}{x^{3}} \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} y = {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{3} \\ \Rightarrow y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . {(m + n . x^{- 2})}^{'} \\ y^{'} = 3 {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . n . (- 2) . x^{- 3} \\ y^{'} = - 6 n {(m + \frac{n}{x^{2}})}^{2} . \frac{1}{x^{3}} \end{array}$

Bài 4 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y = x^{2} - x \sqrt{x} + 1$

b. $y = \sqrt{(2 - 5 x - x^{2})}$

c. $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ ( $a$ là hằng số)

d. $y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: ${(x^{n})}^{'} = n . x^{n - 1}; {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải:

$\begin{array}{l} y = x^{2} - x \sqrt{x} + 1 \\ y^{'} = {(x^{2})}^{'} - {(x \sqrt{x})}^{'} + {(1)}^{'} \\ y^{'} = 2 x - [{(x)}^{'} \sqrt{x} + x {(\sqrt{x})}^{'}] + 0 \\ y^{'} = 2 x - (\sqrt{x} + x . \frac{1}{2 \sqrt{x}}) \\ y^{'} = 2 x - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{2} \\ y^{'} = 2 x - \frac{3 \sqrt{x}}{2} \end{array}$

Bài 5 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

. Tìm

x

để :

a. $y^{'} > 0$

b. y' < 3

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(x^{3} - 3 x^{2} + 2)}^{'} \\ = {(x^{3})}^{'} - {(3 x^{2})}^{'} + {(2)}^{'} \\ = 3 x^{2} - 3.2 x + 0 \\ = 3 x^{2} - 6 x \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} > 0 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x > 0 \\ \Leftrightarrow 3 x (x - 2) > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array} \\ \Rightarrow S = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty) \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} < 3 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x < 3 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 3 < 0 \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \\ \Rightarrow S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \end{array}$