* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn chữ số hàng chục là ẩn và đặt điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\le 9$.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .

Bước 2: Giải phương trình nói trên. 

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là $x$; điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\le 9$ thì chữ số hàng đơn vị là $10-x$.

Giá trị của số đó bằng: $10x+10-x=9x+10$

Tích của hai chữ số nhỏ hơn số đã cho là $12$, ta có phương trình:

$\begin{array}{rl}& x\left(10-x\right)=9x+10-12\\ & \iff 10x-x^2=9x-2\\ & \iff x^2-x-2=0\end{array}$

Phương trình trên có: $a-b+c=1-\left(-1\right)+\left(-2\right)$$=1+1-2=0$

Phương trình có hai nghiệm ${\displaystyle x_1=-1;x_2=-\frac{-2}{1}=2}$

Vì $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $x_1=-1$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy chữ số hàng chục là $2$, chữ số hàng đơn vị là $10-2=8$.

Vậy số cần tìm là $28.$

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Gọi số dãy ghế ban đầu của phòng họp là $x$ (dãy); điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .

Bước 2: Giải phương trình nói trên. 

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi số dãy ghế ban đầu của phòng họp là $x$ (dãy); điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Số ghế ngồi trong một dãy là ${\displaystyle \frac{360}{x}}$ (ghế).

Số dãy ghế sau khi tăng thêm là $x+1$ (dãy)

Số ghế trong một dãy sau khi tăng là ${\displaystyle \frac{400}{x+1}}$ (ghế)

Theo bài ra mỗi dãy tăng $1$ ghế ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{400}{x+1}-\frac{360}{x}=1}$

$\Rightarrow 400x-360\left(x+1\right)=x\left(x+1\right)$

$\iff 400x-360x-360=x^2+x$

$\iff x^2-39x+360=0$

$\mathrm{\Delta }=(-39{)}^2-\mathrm{4.1.360}=1521-1440$$=81>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{81}=9$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\displaystyle x_1=\frac{39+9}{2.1}=\frac{48}{2}=24}$ (thỏa mãn)

${\displaystyle x_2=\frac{39-9}{2.1}=\frac{30}{2}=15}$ (thỏa mãn)

Vậy số dãy ghế ban đầu là $24$ dãy hoặc $15$ dãy.

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi trọng tải của xe nhỏ là ${\displaystyle x}$ (tấn); điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Thì trọng tải của xe lớn là ${\displaystyle (x+0,5)}$ (tấn)

Số lượng xe lớn dự định để chở là: ${\displaystyle \frac{15}{x+0,5}}$ (xe)

Số lượng xe nhỏ chở hết ${\displaystyle 15}$ tấn là: ${\displaystyle \frac{15}{x}}$ (xe)

Vì công ty phải dùng một số lượng xe nhỏ nhiều hơn số xe dự định là $1$ xe nên ta có phương trình: 

${\displaystyle \frac{15}{x}-\frac{15}{x+0,5}=1}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \Rightarrow 15\left(x+0,5\right)-15x=x\left(x+0,5\right)\\ & \iff 15x+7,5-15x=x^2+0,5x\\ & \iff x^2+0,5x-7,5=0\\ & \mathrm{\Delta }=1^2-\mathrm{4.2.}\left(-15\right)=1+120=121>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{121}=11\\ & x_1=\frac{-1+11}{2.2}=\frac{10}{4}=2,5\\ & x_2=\frac{-1-11}{2.2}=\frac{-12}{4}=-3\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-3<0}$ không thỏa mãn điều kiện bài toán: loại

Vậy trọng tải của ${\displaystyle 1}$ xe nhỏ là ${\displaystyle 2,5}$ tấn.

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi thời gian quy định hoàn thành công việc là ${\displaystyle x}$ (ngày); điều kiện: ${\displaystyle x>4}$

Năng suất quy định là: ${\displaystyle \frac{450}{x}(m^3)}$

${\displaystyle 4}$ ngày trước thời hạn quy định tổ máy sản xuất được là:

${\displaystyle 450.\frac{96}{100}=432(m^3)}$

Thời gian làm được 96% công việc là: $x-4$ (ngày)

Năng suất thực tế làm là: ${\displaystyle \frac{432}{x-4}(m^3)}$

Vì thực tế đã tăng năng suất mỗi ngày $4,5m^3$ nên ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{432}{x-4}-\frac{450}{x}=4,5\\ & \Rightarrow 432x-450\left(x-4\right)=4,5x\left(x-4\right)\\ & \iff 432x-450x+1800=4,5x^2-18x\\ & \iff 4,5x^2-1800=0\\ & \iff x^2-400=0\\ & \iff x^2=400\\ & \Rightarrow x=20hoặcx=-20\end{array}}$

Giá trị: ${\displaystyle x=-20<4}$ không thỏa mãn điều kiện bài toán: loại

Vậy thời gian quy định là ${\displaystyle 20}$ ngày.

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là ${\displaystyle x}$ $(g/c{m}^3)$; điều kiện:${\displaystyle x>0}$

Thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là ${\displaystyle (x+0,2)}$ ${\displaystyle g/c{m}^3}$

Thể tích của chất lỏng thứ nhất là: ${\displaystyle \frac{8}{x+0,2}}$ ${\displaystyle g/c{m}^3}$

Thể tích của chất lỏng thứ hai là: ${\displaystyle \frac{6}{x}(c{m}^3)}$

Thể tích của hỗn hợp là: ${\displaystyle \frac{8+6}{0,7}=\frac{14}{0,7}=20(c{m}^3)}$

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{8}{x+0,2}+\frac{6}{x}=20\\ & \Rightarrow 8x+6\left(x+0,2\right)=20x\left(x+0,2\right)\\ & \iff 8x+6x+1,2=20x^2+4x\\ & \iff 20x^2-10x-1,2=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-10.\left(-1,2\right)=25+24=49>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{49}=7\\ & x_1=\frac{5+7}{20}=\frac{12}{20}=0,6\\ & x_2=\frac{5-7}{20}=-0,1\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-0,1<0}$ không thỏa mãn điều kiện bài toán: loại

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là ${\displaystyle 0,6}$ $({\displaystyle g/c{m}^3)}$

Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là ${\displaystyle 0,6+0,2=0,8}$ $({\displaystyle g/c{m}^3)}$

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc lúc về là ${\displaystyle x(km/h)}$; điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Thì vận tốc lúc đi là: ${\displaystyle (x+10)(km/h)}$

Thời gian lúc đi là: ${\displaystyle \frac{150}{x+10}}$ (giờ)

Thời gian lúc về là: ${\displaystyle \frac{150}{x}}$ (giờ)

Đổi 3 giờ 15 phút $={\displaystyle \frac{13}{4}}$ giờ.

Vì tổng thời gian hết tất cả $10$ giờ nên ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{150}{x+10}+\frac{13}{4}+\frac{150}{x}=10\\ & \iff \frac{150}{x+10}+\frac{150}{x}=10-\frac{13}{4}\\ & \iff \frac{150}{x+10}+\frac{150}{x}=\frac{27}{4}\\ & \Rightarrow 600x+600\left(x+10\right)=27x\left(x+10\right)\\ & \iff 600x+600x+6000=27x^2+270x\\ & \iff 27x^2-930x-6000=0\\ & \iff 9x^2-310x-2000=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-155{)}^2-9.(-2000)=42025>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{42025}=205\\ & x_1=\frac{155+205}{9}=40\\ & x_2=\frac{155-205}{9}=-\frac{50}{9}\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-\frac{50}{9}<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại

Vận tốc ô tô lúc về là ${\displaystyle 40km/h}$.

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là ${\displaystyle x(km/h)}$; điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Thì vận tốc của máy bay phản lực là ${\displaystyle \left(x+300\right)}$ (km/h)

Thời gian máy bay cánh quạt bay là: ${\displaystyle \frac{600}{x}}$ (giờ)

Thời gian máy bay phản lực bay là: ${\displaystyle \frac{600}{x+300}}$ (giờ)

Máy bay phản lực bay sau ${\displaystyle 10}$ phút và đến trước ${\displaystyle 10}$ phút nên thời gian máy bay phản lực bay ít hơn máy bay cánh quạt là:

${\displaystyle 10}$ phút + ${\displaystyle 10}$ phút = ${\displaystyle 20}$ phút = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ giờ

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{600}{x}-\frac{600}{x+300}=\frac{1}{3}\\ & \Rightarrow 3.600\left(x+300\right)-3.600x=x\left(x+300\right)\\ & \iff 1800x+540000-1800x=x^2+300x\\ & \iff x^2+300x-540000=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={150}^2-1.(-540000)=562500>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{562500}=750\\ & x_1=\frac{-150+750}{1}=600\\ & x_2=\frac{-150-750}{1}=-900\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-900<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại

Vậy: vận tốc máy bay cánh quạt là ${\displaystyle 600km/h}$

Vận tốc của máy bay phản lực là ${\displaystyle 600+300=900km/h}$.

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc xe thứ nhất là ${\displaystyle x(km/h)}$; điều kiện: ${\displaystyle 0<x<90}$

Vì sau ${\displaystyle 1}$ giờ hai xe gặp nhau, vậy quãng đường hai xe đi được trong một giờ là ${\displaystyle 90km}$ tức tổng vận tốc của hai xe là ${\displaystyle 90km/h}$ nên vận tốc của xe thứ hai đi là ${\displaystyle 90–x(km/h)}$

Quãng đường xe thứ nhất tiếp tục đi là: ${\displaystyle 90–x(km)}$

Thời gian xe thứ nhất đi đoạn đường còn lại là ${\displaystyle \frac{90-x}{x}}$ giờ

Quãng đường xe thứ hai tiếp tục đi là ${\displaystyle x(km)}$

Thời gian xe thứ hai đi đoạn còn lại là ${\displaystyle \frac{x}{90-x}}$ giờ

Xe thứ hai đến Hà Nội trước xe thứ nhất đến Nam Định là ${\displaystyle 27}$ phút bằng ${\displaystyle \frac{9}{20}}$ giờ.

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{90-x}{x}-\frac{x}{90-x}=\frac{9}{20}\\ & \Rightarrow 20{\left(90-x\right)}^2-20x^2=9x\left(90-x\right)\\ & \iff 20\left(8100-180x+x^2\right)-20x^2=810x-9x^2\\ & \iff 162000-3600x+20x^2-20x^2-810x+9x^2=0\\ & \iff 9x^2-4410x+162000=0\\ & \iff x^2-490x+18000=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-245{)}^2-1.18000=42025>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{42025}=205\\ & x_1=\frac{245+205}{1}=450\\ & x_2=\frac{245-205}{1}=40\end{array}}$

${\displaystyle x_2=450>90}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy: vận tốc xe thứ nhất là ${\displaystyle 40km/h}$

Vận tốc xe thứ hai là ${\displaystyle 90-40=50}$ km/h

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc thuyền khi đi trên hồ là ${\displaystyle x(km/h)}$; điều kiện: ${\displaystyle x>3}$

Vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là ${\displaystyle x+3(km/h)}$

Vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là ${\displaystyle x–3(km/h)}$

Thời gian đi xuôi dòng bằng ${\displaystyle \frac{30}{x+3}}$ giờ

Thời gian đi ngược dòng bằng ${\displaystyle \frac{28}{x-3}}$ giờ

Thời gian đi trên hồ lúc nước yên lặng bằng ${\displaystyle \frac{59,5}{x}}$ giờ

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{30}{x+3}+\frac{28}{x-3}=\frac{59,5}{x}\\ & \Rightarrow 60x\left(x-3\right)+56x\left(x+3\right)=119\left(x+3\right)\left(x-3\right)\\ & \iff 60x^2-180x+56x^2+168x=119x^2-1071\\ & \iff 3x^2+12x-1071=0\\ & \iff x^2+4x-357=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-(-357)=361>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{361}=19\\ & x_1=\frac{-2+19}{1}=17\\ & x_2=\frac{-2-19}{1}=-21\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-21<3}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy vận tốc thuyền đi trên hồ yên lặng là ${\displaystyle 17km/h}$

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc của bè gỗ là ${\displaystyle x(km/h)}$; điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Thì vận tốc của xuồng máy là ${\displaystyle x+12}$ (km/h)

Thời gian bè từ lúc trôi đến lúc gặp xuồng máy là ${\displaystyle \frac{20}{x}}$ giờ

Thời gian xuồng máy lúc đi đến lúc gặp bè là ${\displaystyle \frac{20}{x+12}}$ giờ

Bè gỗ trôi trước xuồng máy ${\displaystyle 5}$ giờ ${\displaystyle 20}$ phút bằng ${\displaystyle 5\frac{1}{3}}$ giờ = ${\displaystyle \frac{16}{3}}$ giờ

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{20}{x}-\frac{20}{x+12}=\frac{16}{3}\\ & \Rightarrow 60\left(x+12\right)-60x=16x\left(x+12\right)\\ & \iff 60x+720-60x=16x^2+192x\\ & \iff 16x^2+192x-720=0\\ & \iff x^2+12x-45=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=6^2-1\left(-45\right)=36+45=81>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{81}=9\\ & x_1=\frac{-6+9}{1}=3\\ & x_2=\frac{-6-9}{1}=-15\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-15<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy vận tốc của bè gỗ trôi là ${\displaystyle 3km/h}$

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Đổi 2 giờ 55 phút $={\displaystyle \frac{35}{12}}$ giờ.

Gọi thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ nhất là ${\displaystyle x}$ giờ

Điều kiện: ${\displaystyle x>{\displaystyle \frac{35}{12}}}$

Thì thời gian chảy riêng đầy bể của vòi thứ hai là ${\displaystyle x+2}$ giờ

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ bể

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được ${\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được ${\displaystyle 1:{\displaystyle \frac{35}{12}}=\frac{12}{35}}$ bể

Ta có phương trình: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{12}{35}\\ & \Rightarrow 35\left(x+2\right)+35x=12x\left(x+2\right)\\ & \iff 35x+70+35x=12x^2+24x\\ & \iff 12x^2-46x-70=0\\ & \iff 6x^2-23x-35=0\\ & \mathrm{\Delta }=(-23{)}^2-\mathrm{4.6.}(-35)=1369>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1369}=37\\ & x_1=\frac{23+37}{2.6}=5\\ & x_2=\frac{23-37}{2.6}=-\frac{7}{6}\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-\frac{7}{6}<2\frac{11}{12}}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy: vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể sau ${\displaystyle 5}$ giờ

Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể sau ${\displaystyle 5+2=7}$ giờ

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong nửa công việc là $x$ ngày

Điều kiện: $6<x<25$

Thì thời gian làm riêng xong nửa công việc của đội thứ hai là $25–x$ ngày

Trong $1$ ngày đội thứ nhất làm được ${\displaystyle \frac{1}{2x}}$ công việc

Trong một ngày đội thứ hai làm được ${\displaystyle \frac{1}{2\left(25-x\right)}}$ công việc

Trong một ngày cả hai đội làm được ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ công việc

Ta có phương trình:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left(25-x\right)}=\frac{1}{12}\\ & \Rightarrow 24\left(25-x\right)+24x=4x\left(25-x\right)\\ & \iff 600-24x+24x=100x-4x^2\\ & \iff 4x^2-100x+600=0\\ & \iff x^2-25x+150=0\\ & \mathrm{\Delta }=(-25{)}^2-4.150=25>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5\\ & x_1=\frac{25+5}{2.1}=15\\ & x_2=\frac{25-5}{2.1}=10\end{array}$

Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong $2.15=30$ ngày thì đội thứ hai làm riêng xong trong $2.10=20$ ngày.

Hoặc đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong $2.10=20$ ngày thì đội thứ hai làm riêng xong trong $2.15=30$ ngày.

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi độ dài đoạn $MA=x(cm)$; điều kiện $0<x<12$

Vì $∆ABC$ vuông cân tại $A$ nên tam giác $BMP$ vuông cân tại $M$

$\Rightarrow MP=MB=AB–AM=12–x(cm)$

Diện tích hình bình hành $MNCP$ bằng $MP.MA$

Suy ra: $MP.MA=(12–x)x$

Ta có phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(12-x\right)x=32\\ & \Rightarrow x^2-12x+32=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-6\right)}^2-1.32=36-32=4>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{4}=2\\ & x_1=\frac{6+2}{1}=8\\ & x_2=\frac{6-2}{1}=4\end{array}$

Cả hai giá trị $x_1=8$ và $x_2=4$ thỏa mãn điều kiện bài toán 

Vậy điểm $M$ cách điểm $A$ là $8cm$ hoặc $4cm$ thì diện tích hình bình hành $MNCP$ bằng $32c{m}^2.$

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi chu vi của bánh trước là ${\displaystyle x(m)}$, điều kiện: ${\displaystyle x>0}$

Chu vi của bánh sau là ${\displaystyle x+1,5(m)}$

Số vòng quay của bánh trước là ${\displaystyle \frac{100}{x}}$ vòng

Số vòng quay của bánh sau là ${\displaystyle \frac{100}{x+1,5}}$ vòng 

Vì đi trên đoạn đường dài $100m$ thì bánh trước quay nhiều hơn bánh sau $15$ vòng nên ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{100}{x}-\frac{100}{x+1,5}=15\\ & \Rightarrow 100\left(x+1,5\right)-100x=15x\left(x+1,5\right)\\ & \iff 100x+150-100x=15x^2+22,5x\\ & \iff 15x^2+22,5x-150=0\\ & \iff 2x^2+3x-20=0\\ & \mathrm{\Delta }=3^2-\mathrm{4.2.}\left(-20\right)=9+160=169>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{169}=13\\ & x_1=\frac{-3+13}{2.2}=2,5\\ & x_2=\frac{-3-13}{2.2}=-4\end{array}}$

${\displaystyle x_2=-4<0}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy chu vi bánh xe trước bằng ${\displaystyle 2,5m}$

Chu vi bánh xe sau bằng ${\displaystyle 2,5+1,5=4m}$

Một đàn khỉ chia thành hai nhóm.

Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời

Bằng bình phương một phần tám của đàn.

Mười hai con nhảy nhót trên cây.

Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này.

Hỏi có tất cả bao nhiêu con khỉ?

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi số khỉ của đàn là ${\displaystyle x}$ (con)

Điều kiện: ${\displaystyle x\in N^{\ast }}$ và ${\displaystyle x⋮8}$

Nhóm chơi đùa ngoài trời có ${\displaystyle {\left(\frac{x}{8}\right)}^2}$ con

Nhóm nhảy nhót trên cây là ${\displaystyle 12}$ con

Ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& x={\left(\frac{x}{8}\right)}^2+12\\ & \iff x=\frac{x^2}{64}+12\\ & \iff x^2-64x+768=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-32\right)}^2-1.768=1024-768=256>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{256}=16\\ & x_1=\frac{32+16}{1}=48\\ & x_2=\frac{32-16}{1}=16\end{array}}$

Cả hai giá trị ${\displaystyle x_1=48}$ và ${\displaystyle x_2=16}$ thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy đàn khỉ có ${\displaystyle 48}$ con hoặc ${\displaystyle 16}$ con

Hai nông dân đem $100$ quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được số tiền bằng nhau. Một người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được $15$ đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được ${\displaystyle 6\frac{2}{3}}$ đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi số trứng của người thứ nhất là ${\displaystyle x}$ (quả)

Điều kiện: ${\displaystyle x\in N^{\ast }}$ và ${\displaystyle x<100}$

Thì số trứng của người thứ hai là ${\displaystyle 100–x}$ (quả)

Giá tiền một quả trứng của người thứ nhất: ${\displaystyle \frac{15}{100-x}}$ đồng

Đổi ${\displaystyle 6\frac{2}{3}={\displaystyle \frac{20}{3}}}$

Giá tiền một quả trứng của người thứ hai ${\displaystyle \frac{20}{3x}}$ đồng

Số tiền người thứ nhất thu được là ${\displaystyle \frac{15}{100-x}.x=\frac{15x}{100-x}}$ đồng

Số tiền người thứ hai thu được là: ${\displaystyle \frac{20}{3x}.\left(100-x\right)=\frac{20\left(100-x\right)}{3x}}$ đồng

Vì hai người bán được số tiền bằng nhau nên ta có phương trình:

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{15x}{100-x}=\frac{20\left(100-x\right)}{3x}\\ & \Rightarrow 45x^2=20{\left(100-x\right)}^2\\ & \iff 45x^2=20\left(10000-200x+x^2\right)\\ & \iff 45x^2=200000-4000x+20x^2\\ & \iff 25x^2+4000x-200000=0\\ & \iff x^2+160x-8000=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={80}^2-1.\left(-8000\right)=6400+8000=14400>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{14400}=120\\ & x_1=\frac{-80+120}{1}=40\\ & x_2=\frac{-80-120}{1}=-200\end{array}}$

Giá trị ${\displaystyle x_2=-200\notin N^{\ast }}$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy: số trứng người thứ nhất là ${\displaystyle 40}$ quả

Số trứng người thứ hai là ${\displaystyle 60}$ quả.