Đáp án: B

Giải thích:

Vectơ chỉ phương có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

Đáp án: D

Giải thích:

Đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$  và $\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2)$

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được xác định bởi:

cos(d₁; d₂) = $\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Đường thẳng ∆ có phương trình: 3x – 4y + 5 = 0 ⇔ 4y = 3x + 5 ⇔ y = $\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$.

Khi đó hệ số góc k của đường thẳng ∆ là: $k=\frac{3}{4}$ . Do đó C đúng.

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² − c > 0.

Đáp án: B

Giải thích:

Đường thẳng d₁ có $\overrightarrow{u_1}(4;-6)$ và A(−3; 2) ∈ d₁

Đường thẳng d₂ có $\overrightarrow{u_2}(-2;3)$

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$ = −2.$\overrightarrow{u_2}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(−3; 2) vào phương trình đường thẳng d₂ ta có: $\left\{\begin{array}{l}-3=1-2t\text{'}\\ 2=4+3t\text{'}\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}-3=1-2t\text{'}\\ 2=4+3t\text{'}\end{array}\right.$  ⇔  $\left\{\begin{array}{l}t\text{'}=2\\ t\text{'}=\frac{-2}{3}\end{array}\right.$(không thoả mãn)

Do đó điểm A thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂.

Vậy d₁ song song với d₂.

Đáp án: B

Giải thích:

Vì M và N  lần lượt là trung điểm của AB và AC nên M(−1; 4) và N(4; −1)

Ta có :$\overrightarrow{MN}=(5;-5)$

Đường trung bình MN đi qua điểm M(−1; 4) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=(1;-1)$  làm vectơ chỉ phương nên phương trình đường thẳng MN: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Lí thuyết: Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R là:

 (x − a)² + (y − b)² = R²

Vậy với phương trình (x + 1)² +(y − $\sqrt{2}$)² = 8 có a = −1;b = $\sqrt{2}$  nên I(−1; $\sqrt{2}$).

Đáp án: B

Giải thích:

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$ . Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u}=(2;-1)$ .

Chọn x = 1 ⇒ y = – 3. Ta có điểm M(1; – 3) là điểm thuộc đường thẳng ∆.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3-t\end{array}\right.$ .

Đáp án: D

Giải thích:

Đường tròn: x² + y² = 9 có bán kính R = $\sqrt{9}$  = 3.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có phương trình đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0

⇒ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có tâm I là trung điểm của đường kính AB nên toạ độ điểm I là:$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-2+4}{2}=1\\ y=\frac{1+1}{2}=1\end{array}\right.$

 ⇒ I(1; 1)

R = IA = $\sqrt{{(1+2)}^2+{(1-1)}^2}$  = 3

Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – 1)² = 9

⇔ x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}\left(1;4\right)$  làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{AB}}$ (4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có:$\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}\left(-4;-1\right)$  làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_{CD}}$ (1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-1}{-4}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{n_{AB}}$  và $\overrightarrow{n_{CD}}$  không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có:  $\overrightarrow{n_{AB}}.\overrightarrow{n_{CD}}$= 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Đáp án: A

Giải thích:

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}7x-3y+16=0\\ x+10=0\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=-18\end{array}\right.$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Đáp án: A

Giải thích:

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{13}{5}$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Để điểm A thuộc đường tròn (C) thì

2² + (−3)² – 2.(m + 2) – (− 3)(m + 4) + m + 1 = 0

⇔ 4 + 9 – 2m – 4 + 3m + 12 + m + 1 = 0

⇔ 2m + 22 = 0

⇔ m = −11.

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-3y+4=0\\ 2x+3y-1=0\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) = $\frac{\left|3.(-1)+1+4\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(2;-1)$ ;$\overrightarrow{n_2}(1;-3)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂  

Ta có: cos α = $\frac{\left|2.1+(-1).(-3)\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}.\sqrt{1^2+{(-3)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

⇒ α = 45^°.

Đáp án: D

Giải thích:

Bán kính đường tròn (C) là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ nên

R = d(I; ∆) = $\frac{\left|-1-4-7\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + (y – 2)² = $\frac{4}{5}$ .

Đáp án: D

Giải thích:

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\end{array}\right.$  ⇒ $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1+(-5)}{2}=-2\\ y_M=\frac{(-2)+4}{2}=1\end{array}\right.$⇒ M(−2;1)

Suy ra 

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến AM đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AM}$  làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3-2t\end{array}\right.$ .

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-2;1)$

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$  là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC

⇒ d(A; BC) = $\frac{\left|2+2.(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình chính tắc của elip có dạng : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  với a > b > 0

Vì M ∈ (E) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1$ ⇒ b² = 9

Mặt khác, N ∈ (E) nên $\frac{3^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{-12}{5}\right)}^2}{9}=1$  hay $\frac{3^2}{a^2}+\frac{16}{25}=1$

⇔$\frac{3^2}{a^2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ ⇒ a² = 25

Vậy phương trình elip là : $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình (1) có : a = m; b = 2(m – 2); c = 6 – m

Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a² + b² – c > 0

⇔ m ² + 4(m – 2)² – (6 – m) > 0

⇔ 5m ² – 15m + 10 > 0

⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞).

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: y² = 2px

Vì M ∈ (P) nên 4 = 2p.1 hay 4 = 2p ⇒ p = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y² = 4x.

Đáp án: A

Giải thích:

Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = $\sqrt{3^2+0^2-5}$ = 2

Để  ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì d(I; ∆) = R

⇔$\frac{\left|3m-2\right|}{\sqrt{{(m-1)}^2+m^2}}=2$

⇔$\left|3m-2\right|=2\sqrt{{(m-1)}^2+m^2}$

⇔$9m^2-12m+4=4(m^2-2m+1+m^2)$

⇔$m^2-4m=0$

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}\right.$ .

Đáp án: C

Giải thích:

Thay lần lượt toạ độ các điểm A; B; C; D vào phương trình hypebol ta thấy:

Điểm A(0; 3) không thuộc hypebol vì: $\frac{0^2}{25}-\frac{3^2}{9}=-1\ne 1$ ;

Điểm B(2; 1) không thuộc hypebol vì: $\frac{2^2}{25}-\frac{1^2}{9}=\frac{11}{225}\ne 1$ ;

Điểm C(5; 0) thuộc hypebol vì: $\frac{5^2}{25}-\frac{0^2}{9}=1$ ;

Điểm D(8; 4) không thuộc hypebol vì: $\frac{8^2}{25}-\frac{4^2}{9}=\frac{176}{225}\ne 1$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Do M ∈ d nên M(t; 1 + 2t)

Theo giả thiết M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB

⇔  $\sqrt{{(t+2)}^2+{(2t-1)}^2}=\sqrt{{(t-4)}^2+{(2t+7)}^2}$

⇔  ${(t+2)}^2+{(2t-1)}^2={(t-4)}^2+{(2t+7)}^2$

⇔ t² + 4t + 4 + 4t² – 4t + 1 = t² – 8t + 16 + 4t² + 28t + 49

⇔ 5t +15 = 0

⇔ t = −3

Với t = −3 thì M(−3; −5).

Đáp án: B

Giải thích:

Vì B(x₁; y₁) ∈ d₁ ⇒ B(– 5 – y₁; y₁)

Tương tự ta có: C( 7 – 2y₂; y₂)

Vì tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm nên

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=3x_G\\ y_A+y_B+y_C=3y_G\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}2+(-5-y_1)+(7-2y_2)=6\\ 3+y_1+y_2=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+2y_2=-2\\ y_1+y_2=-3\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=-4\\ y_2=1\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=5\end{array}\right.$

Vậy T = (− 1).5 + (−4).1= −9.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 9x² + 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ . Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$ .

⇒ F₁ (− $\sqrt{7}$;0); F₂ ( $\sqrt{7}$; 0); F₁F₂ = 2c = 2$\sqrt{7}$ ; MF₁ + MF₂ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF₁F₂ ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂²  − 2MF₁. MF₂. cos $\widehat{F_{1}M{F}_2}$ 

⇔ 28 = MF₁² + MF₂²  − 2MF₁. MF₂. cos60º 

⇔ 28 = MF₁² + MF₂²  − MF₁. MF₂

⇔ MF₁² + MF₂²  + 2MF₁. MF₂ − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ (MF₁ +  MF₂)² − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ 64 − 3MF₁. MF₂ = 28

⇔ MF₁. MF₂ = 12.

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ x+2y+1=0\end{array}\right.$⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d₃ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d₃

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Đáp án: D

Giải thích:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y² = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$  ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y² = 16x

Gọi M(x₀; y₀). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔$\frac{\left|x_0+4\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$

⇔ $\left|x_0+4\right|=5$

⇔$\left[\begin{array}{l}{x}_0+4=5\\ x_0+4=-5\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=-9\end{array}\right.$

Với x₀ = – 9 ta có: y₀² = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x₀ = 1 ta có: y₀² = 16.1 = 16 ⇔ $\left[\begin{array}{l}{y}_0=-4\\ y_0=4\end{array}\right.$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: