Trả lời nhanh
Hàm số f(x) = x² − 4x + 3 có tập xác định D = ℝ. Viết f(x) = (x − 2)² − 1 ≥ −1 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x = 2. Vì hệ số a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên, đỉnh I(2; −1), do đó tập giá trị là T = [−1; +∞).
Đề bài và hướng giải
Đề yêu cầu: tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số bậc hai f(x) = x² − 4x + 3. Với hàm bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta luôn làm theo hai bước:
- Tập xác định: biểu thức là đa thức nên x lấy mọi giá trị thực, D = ℝ.
- Tập giá trị: xác định đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)) với Δ = b² − 4ac, rồi xét dấu của a.
Lời giải chi tiết f(x) = x² − 4x + 3
Bước 1. Tập xác định
f(x) là đa thức bậc hai, xác định với mọi số thực x. Vậy D = ℝ.
Bước 2. Đưa về dạng chính tắc
Ta có: x² − 4x + 3 = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1.
Vì (x − 2)² ≥ 0 với mọi x nên f(x) ≥ −1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2, tức f(2) = −1 là giá trị nhỏ nhất.
Bước 3. Kết luận tập giá trị
Khi x chạy khắp ℝ thì (x − 2)² nhận mọi giá trị từ 0 đến +∞, nên f(x) nhận mọi giá trị từ −1 đến +∞. Vậy T = [−1; +∞).
Cách kiểm tra bằng công thức đỉnh
- a = 1, b = −4, c = 3 nên Δ = (−4)² − 4·1·3 = 4.
- Hoành độ đỉnh: −b/(2a) = 4/2 = 2. Tung độ đỉnh: −Δ/(4a) = −4/4 = −1. Đỉnh I(2; −1).
- a > 0 nên tập giá trị là [−1; +∞). Hai cách cho cùng kết quả.
Bảng biến thiên và đồ thị
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | +∞ | giảm | −1 | tăng | +∞ |
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞). Đồ thị cắt trục Oy tại (0; 3), cắt trục Ox tại x = 1 và x = 3 (vì x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)), nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng.
Tập giá trị trên một đoạn: đừng nhầm với trên ℝ
Nếu đề hỏi tập giá trị của f trên đoạn [0; 3], ta không dùng [−1; +∞). Đỉnh x = 2 thuộc [0; 3], nên giá trị nhỏ nhất là f(2) = −1. Hai đầu mút: f(0) = 3, f(3) = 0, nên giá trị lớn nhất là 3. Vậy tập giá trị trên [0; 3] là [−1; 3].
Mẹo: khi có đoạn [m; n], hãy kiểm tra hoành độ đỉnh có nằm trong đoạn không, rồi so sánh f(đỉnh), f(m), f(n).
Hai ví dụ tự đặt để so sánh dấu của a
- g(x) = −2x² + 4x + 1. D = ℝ. Ta có g(x) = −2(x − 1)² + 3 ≤ 3, dấu “=” khi x = 1. Do a = −2 < 0 nên T = (−∞; 3].
- h(x) = x² + 6x + 5. D = ℝ. Ta có h(x) = (x + 3)² − 4 ≥ −4. Do a > 0 nên T = [−4; +∞).
Lỗi sai thường gặp
- Viết tập giá trị là [2; +∞) – lấy nhầm hoành độ đỉnh thay vì tung độ đỉnh. Hãy nhớ: tập giá trị liên quan đến y, nên dùng tung độ đỉnh.
- Quên đổi dấu khi a < 0: parabol quay xuống, tập giá trị là (−∞; yđỉnh].
- Tách hằng số sai khi hoàn thiện bình phương, ví dụ x² − 4x + 3 = (x − 2)² + 3 (thiếu trừ 4). Luôn khai triển lại để kiểm tra.
Bài luyện tập có đáp án
- Tìm tập xác định và tập giá trị của y = −x² + 2x + 3.
Đáp án: y = −(x − 1)² + 4 ≤ 4; D = ℝ, T = (−∞; 4]. - Tìm tập xác định và tập giá trị của y = 2x² − 8x + 5.
Đáp án: y = 2(x − 2)² − 3 ≥ −3; D = ℝ, T = [−3; +∞). - Tìm tập giá trị của y = x² − 4x + 3 trên đoạn [3; 5].
Đáp án: đỉnh x = 2 nằm ngoài đoạn, hàm đồng biến trên [3; 5], f(3) = 0, f(5) = 8; T = [0; 8].
Câu hỏi thường gặp
Tập giá trị của hàm số y = x² − 4x + 3 là gì?
Là [−1; +∞). Do y = (x − 2)² − 1 ≥ −1 và đạt −1 tại x = 2, còn khi x lớn thì y tăng không giới hạn.
Làm sao nhanh chóng tìm tập giá trị của hàm số bậc hai?
Tính tung độ đỉnh −Δ/(4a). Nếu a > 0 thì tập giá trị là [−Δ/(4a); +∞), nếu a < 0 thì là (−∞; −Δ/(4a)].
Tập xác định của hàm số bậc hai là gì?
Hàm bậc hai y = ax² + bx + c là đa thức nên tập xác định luôn là ℝ, trừ khi đề cho thêm điều kiện hạn chế biến x.
Tập giá trị trên một đoạn khác tập giá trị trên ℝ thế nào?
Trên đoạn [m; n], cần so sánh giá trị tại hai đầu mút và tại đỉnh (nếu đỉnh nằm trong đoạn) để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.