Phương pháp giải:

Điểm $M\left(x;y\right)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$.

Tìm điều kiện của $x;y$ và biểu diễn tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a)

Ta có $x=1,y$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $x=1$.

b)

Ta có $y=-2,x$ tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y=-2$.

c)

Ta có $x\in \left[-1;2\right]$, tức là $-1\le x\le 2$, tập hợp các điểm M nằm bên trái đường thẳng $x=2$ và nằm bên phải đường thẳng $x=-1$ và $y\in [0,1]$, tức là $0\le y\le 1$ tập hợp các điểm M nằm bên dưới đường thẳng $y=1$ và nằm bên trên đường thẳng $y=0$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình chữ được tô màu.

d)

Ta có:

 $\left|z\right|\le 2\iff \sqrt{x^2+y^2}\le 2\iff x^2+y^2\le 4$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là hình tròn tâm $O$ (gốc tọa độ) bán kính bằng $2$ (kể cả các điểm trên đường tròn).

Phương pháp giải:

$a+bi=c+di\iff \{\begin{array}{l}a=c\\ b=d\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& 3x+yi=(2y+1)+(2-x)i\\ & \iff \{\begin{array}{c}3x=2y+1\hfill \\ y=2-x\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=1\hfill \\ y=1\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy $x=1,y=1$.

b)

$\begin{array}{rl}& 2x+y-1=(x+2y-5)i\\ & \iff \{\begin{array}{c}2x+y-1=0\hfill \\ x+2y-5=0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-1\hfill \\ y=3\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy $x=-1,y=3$

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự nhân, chia trước, công trừ sau, trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Lời giải:

a)

$(3+2i)[(2–i)+(3–2i)]$

$=(3+2i)(5–3i)$ $=15+10i-9i-6i^2$

$=15+i+6=21+i$

b)

${\displaystyle (4-3i)+\frac{1+i}{2+i}}$ ${\displaystyle =(4-3i)+\frac{(1+i)(2-i)}{5}}$

${\displaystyle =(4-3i)+\frac{2+2i-i-i^2}{5}}$ ${\displaystyle =(4-3i)+\frac{3+i}{5}}$

${\displaystyle =(4-3i)+(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i)}$ ${\displaystyle =(4+\frac{3}{5})-(3-\frac{1}{5})i}$ ${\displaystyle =\frac{23}{5}-\frac{14}{5}i}$

c)

$(1+i{)}^2–(1–i{)}^2$ $=(1+2i+i^2)-(1-2i+i^2)$ $=2i–(-2i)=4i$

d)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}{\displaystyle =\frac{(3+i)(2-i)}{5}-\frac{(4-3i)(2+i)}{5}}} \\ {\displaystyle =\frac{7-i}{5}-\frac{11-2i}{5}{\displaystyle =\frac{-4}{5}+\frac{1}{5}i}} \end{gathered}$$

Phương pháp giải:

+ Đưa phương trình về dạng $az+b=0$

+ Giải phương trình dạng $az+b=0\iff z=-\frac{b}{a}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\left(3+4i\right)z+\left(1-3i\right)=2+5i\\ \iff \left(3+4i\right)z=2+5i-\left(1-3i\right)\\ \iff \left(3+4i\right)z=1+8i\iff z={\displaystyle \frac{1+8i}{3+4i}}\\ \iff z={\displaystyle \frac{\left(1+8i\right)\left(3-4i\right)}{3^2+4^2}}\\ \iff z={\displaystyle \frac{35+20i}{25}}\iff z={\displaystyle \frac{7}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}i\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\left(4+7i\right)z-\left(5-2i\right)=6iz\\ \iff \left(4+7i\right)z-6iz=5-2i\\ \iff \left(4+i\right)z=5-2i\iff z={\displaystyle \frac{5-2i}{4+i}}\\ \iff z={\displaystyle \frac{\left(5-2i\right)\left(4-i\right)}{4^2+1^2}}\\ \iff z={\displaystyle \frac{18-13i}{17}}={\displaystyle \frac{18}{17}}-{\displaystyle \frac{13}{17}}i\end{array}$

Lời giải:

a)

$3z^2+7z+8=0$ có $\Delta =49–\mathrm{4.3.8}=-47$

Căn bậc hai của $\mathrm{\Delta }$ là $\pm i\sqrt{47}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $z_{1,2}=\frac{-7\pm i\sqrt{47}}{6}$

b)

$z^4–8=0$

Đặt $t=z^2$, ta được phương trình : $t^2-8=0\iff t=\pm \sqrt{8}$

$\begin{array}{l}t=\sqrt{8}\Rightarrow z^2=\sqrt{8}\iff z=\pm \sqrt{\sqrt{8}}=\pm \sqrt[4]{8}\\ t=-\sqrt{8}\Rightarrow z^2=-\sqrt{8}\iff z=\pm i\sqrt{\sqrt{8}}=\pm i\sqrt[4]{8}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: $z_{1,2}=\pm \sqrt[4]{8},z_{3,4}=\pm i\sqrt[4]{8}$

c)

$z^4–1=0$

Đặt $t=z^2$, ta được phương trình : $t^2-1=0\iff t=\pm 1$.

$\begin{array}{l}t=1\Rightarrow z^2=1\iff z=\pm 1\\ t=-1\Rightarrow z^2=-1\iff z=\pm i\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là $\pm 1$ và $\pm i$

Ví dụ: Cho số phức $z$ thỏa mãn $w+2z=i$ biết $w=2-i$. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $z$.

Giải:

Gọi $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$ biểu diễn số phức $z$, ta có:

$2-i+2\left(a+bi\right)=i\iff \left(2+2a\right)+\left(2b-2\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2+2a=0\\ 2b-2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}$

Vậy $M\left(-1;1\right)$.

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn:$|z-(3-4i)|=2$.

A. Đường tròn tâm $I\left(3,-4\right)$ và bán kính $R=2$.

B. Đường tròn tâm $I\left(-3,4\right)$ và bán kính $R=2$.

C. Đường tròn tâm $I\left(3,-4\right)$ và bán kính $R=1$.

D. Đường tròn tâm $I\left(-3,4\right)$ và bán kính $R=1$.

Giải:

Giả sử ta có số phức $z=a+bi$ .

Thay vào $|z-(3-4i)|=2$ có:

$|a+bi-(3-4i)|=2\iff |(a-3)+(b+4)i|=2$

$\iff \sqrt{{(a-3)}^2+{(b+4)}^2}=2\iff (a-3{)}^2+(b+4{)}^2=4$.

Chọn đáp án A

Ví dụ: Cho $z_1;z_2$ thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=1;\left|z_1+z_2\right|=3.$ Tính max$T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|.$

A. $8$

B. $10$

C. $4$

D. $\sqrt{10}$

Giải

Đặt $z_1=x_1+y_{1}i;z_2=x_2+y_{2}i.$ $(x_1,y_1,x_2,y_2\in R)$. Điều kiện đã cho trở thành

+) $\left|z_1-z_2\right|=1$$\Rightarrow \left|x_1+y_{1}i-x_2-y_{2}i\right|=1\iff \sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}=1$ 

$\iff {x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2=1$  (1)

+) $\left|z_1+z_2\right|=3\Rightarrow \left|x_1+y_{1}i+x_2+y_{2}i\right|=3$

$\iff {x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2+2x_1{x}_2+2y_1{y}_2=9$  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ${x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2=5$

+) $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}+\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

$T=1.\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}+1.\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}\le \sqrt{\left(1+1\right).\left({x_1}^2+{x_2}^2+{y_1}^2+{y_2}^2\right)}$ 

$=\sqrt{2.5}=\sqrt{10}\Rightarrow$ $maxT=\sqrt{10}.$

Đáp án D 

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

Ví dụ: Cho số phức $z=x+yi$ thỏa mãn $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|$ đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính $N=x^2+y^2.$

A. $N=8$

B. $N=10$

C. $N=16$              

D. $N=26$

Giải

Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+yi$

+) $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|$$\Rightarrow (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=x^2+(y-2{)}^2\iff -4x+4-8y+16=-4y+4$

$\iff 4x+4y=16\iff x+y-4=0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng $x+y-4=0$

+) $N=x^2+y^2={\left|z\right|}^2$

$\Rightarrow N$min$\iff \left|z\right|$min$\iff OM$min $\Rightarrow OM\mathrm{\perp }d:x+y-4=0$

$\Rightarrow M(2,2)$  $\Rightarrow N=2^2+2^2=8$

Đáp án A.

Ví dụ: Cho $z$ thỏa mãn $\left|z-2-4i\right|=\sqrt{5}.$ Tìm max$\left|z\right|.$

A. $3\sqrt{5}$

B. $5$

C. $\sqrt{5}$                                     

D. $\sqrt{13}$

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có:$\left|z\right|-\left|-2-4i\right|\le \left|z-2-4i\right|\iff \left|z\right|-\sqrt{20}\le \sqrt{5}\iff \left|z\right|\le \sqrt{20}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ max$\left|z\right|=3\sqrt{5}$

Đáp án A.