Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Chú ý: $i^2=-1.$

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{2+i}{3-2i}}={\displaystyle \frac{\left(2+i\right)\left(3+2i\right)}{\left(3-2i\right)\left(3+2i\right)}}$ $={\displaystyle \frac{6+7i+2i^2}{9+4}}={\displaystyle \frac{4}{13}}+{\displaystyle \frac{7}{13}}i.$

b)

${\displaystyle \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\left(1+i\sqrt{2}\right)\left(2-i\sqrt{3}\right)}{\left(2+i\sqrt{3}\right)\left(2-i\sqrt{3}\right)}}$

$={\displaystyle \frac{2+\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)i-\sqrt{6}{i}^2}{4+3}}$ $={\displaystyle \frac{2+\sqrt{6}}{7}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}}i.$

c)

${\displaystyle \frac{5i}{2-3i}}={\displaystyle \frac{5i\left(2+3i\right)}{\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)}}$ $={\displaystyle \frac{10i+15i^2}{4+9}}=-{\displaystyle \frac{15}{13}}+{\displaystyle \frac{10}{13}}i.$

d)

${\displaystyle \frac{5-2i}{i}}={\displaystyle \frac{\left(5-2i\right)i}{i^2}}$ $=-\left(5i-2i^2\right)=-2-5i.$

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=a+bi,(a,b\in R).$ Khi đó nghịch đảo của số phức $z$ là:

${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{a+bi}}={\displaystyle \frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}}$ $={\displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2}}.$

c) Nhân cả tử và mẫu với $i$ và sử dụng định nghĩa $i^2=-1$

Lời giải:

a)

${\displaystyle \frac{1}{1+2i}}={\displaystyle \frac{1-2i}{1^2+2^2}}$ $={\displaystyle \frac{1-2i}{5}}={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}i.$

b)

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-3i}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2}{)}^2+(-3{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3i}{11}}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{11}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}i$ 

c)

${\displaystyle \frac{1}{i}}={\displaystyle \frac{i}{i^2}}={\displaystyle \frac{i}{-1}}=-i$

d)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân và chia các số phức để làm bài toán.

Một số công thức cơ bản:

$\begin{array}{l}+)i^2=-1.\\ +)i^3=-i.\\ +){\left(1+i\right)}^2=1+2i+i^2=2i.\end{array}$

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} 2i(3+i)(2+4i)=2i(6+14i+4i^2) \\ =2i(2+14i)=4i+28i^2=-28+4i. \end{gathered}$$

b)

$={\displaystyle \frac{\left(1+2i+i^2\right).8i^3}{-2+i}}$ $={\displaystyle \frac{2i.8i^3}{-2+i}}$ $={\displaystyle \frac{16i^4}{-2+i}}$ $={\displaystyle \frac{16}{-2+i}}$ $={\displaystyle \frac{16\left(-2-i\right)}{\left(-2+i\right)\left(-2-i\right)}}$ $={\displaystyle \frac{-32-16i}{5}}$ $=-{\displaystyle \frac{32}{5}}-{\displaystyle \frac{16}{5}}i$

c)

$$\begin{gathered} 3+2i+(6+i)(5+i)=3+2i+30+11i+i^2 \\ =3+2i+29+11i=32+13i. \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} 4-3i+{\displaystyle \frac{5+4i}{3+6i}}=4-3i+{\displaystyle \frac{(5+4i)(3-6i)}{3^2+6^2}} \\ =4-3i+{\displaystyle \frac{15-18i-24i^2}{45}}=4-3i+{\displaystyle \frac{39}{45}}-{\displaystyle \frac{18}{45}}i \\ =(4+{\displaystyle \frac{39}{45}})-(3+{\displaystyle \frac{18}{45}})i={\displaystyle \frac{73}{15}}-{\displaystyle \frac{17}{5}}i. \end{gathered}$$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

+) Sử dụng công thức chia hai số phức.

Lời giải:

a)

Ta có $(3-2i)z+(4+5i)=7+3i\iff (3-2i)z=7+3i-4-5i$

$\iff (3-2i)z=3-2i\iff z={\displaystyle \frac{3-2i}{3-2i}}\iff z=1$.

Vậy $z=1$.

b)

Ta có$$\begin{gathered} (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z \\ \iff (1+3i)z-(2+i)z=(2+5i) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff (1+3i-2-i)z=2+5i \\ \iff (-1+2i)z=2+5i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff z={\displaystyle \frac{2+5i}{-1+2i}} \\ \iff z={\displaystyle \frac{(2+5i)(-1-2i)}{1^2+2^2}} \\ \iff z={\displaystyle \frac{-2-4i-5i-10i^2}{5}} \\ \iff z={\displaystyle \frac{8-9i}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}-{\displaystyle \frac{9}{5}}i \end{gathered}$$

Vậy $z={\displaystyle \frac{8}{5}}-{\displaystyle \frac{9}{5}}i.$

c)

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{z}{4-3i}}+2-3i=5-2i\\ \iff {\displaystyle \frac{z}{4-3i}}=5-2i-2+3i\\ \iff {\displaystyle \frac{z}{4-3i}}=3+i\\ \iff z=\left(3+i\right)\left(4-3i\right)\\ \iff z=12-5i-3i^2\\ \iff z=15-5i.\end{array}$

Vậy $z=15-5i.$