Giải Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Trịnh Thị Giang Ngày: 29-05-2022 Lớp 12

3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Nguyên hàm chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Nguyên hàm lớp 12.

Bài giảng Toán học 12 Bài 1 : Nguyên hàm

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Nguyên hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 93 SGK Giải tích 12: Tìm hàm số

F (x)

sao cho

F^{'} (x) = f (x)

nếu:

a) $f (x) = 3 x^{2}$ với $x \in (- \infty; + \infty)$ ;

f (x) = \frac{1}{\cos^{2} x}; x \in (\frac{- π}{2}; \frac{π}{2})

Phương pháp giải:

Dựa vào hàm $f (x)$ , suy đoán dạng của nguyên hàm (đa thức, phân thức, lượng giác,...) từ đó tìm hàm $F (x)$ phù hợp.

Lời giải:

$F (x) = x^{3}$ vì $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$

$F (x) = \tan x$ vì ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 93 SGK Giải tích 12: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Phương pháp giải:

Nếu

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

thì mọi hàm số

F (x) + C,

với

C

là hằng số,

(C \in R)

đều là nguyên hàm của

f (x)

Lời giải:

a. Vì $F (x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x$ trên $R$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f (x) = 2 x$ là $x^{2} + 1, x^{2} - 2, x^{2} + \sqrt{2}, . . .$

Tổng quát: $F (x) = x^{2} + C, C \in R$ là họ nguyên hàm của $f (x) = 2 x$ .

b. Vì $F (x) = \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ trên $(0; + \infty)$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f (x) = \frac{1}{x}$ là $\ln x + 1, \ln x - 3, \ln x + \frac{1}{2}, . . .$

Tổng quát: $F (x) = \ln x + C, C \in R$ là họ nguyên hàm của $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Trả lời câu hỏi 3 trang 93 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh Định lý 1.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm hàm số

G (x)

và sử dụng định nghĩa nguyên hàm để nhận xét.

Lời giải:

Vì $F (x)$ là nguyên hàm của $f (x)$ trên K nên $(F (x))^{'} = f (x)$ . Vì $C$ là hằng số nên $(C)^{'} = 0$ .

Ta có:

$(G (x))^{'} = (F (x) + C)^{'} = (F (x))^{'} + (C)^{'} = f (x) + 0 = f (x)$

Vậy $G (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ .

Trả lời câu hỏi 4 trang 95 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh Tính chất 3.

Phương pháp giải:

- Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ , $G (x)$ là một nguyên hàm của $g (x)$ .

- Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Lời giải:

Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ ;

$G (x)$ là một nguyên hàm của $g (x)$ .

Ta có $f (x) = F^{'} (x), g (x) = G^{'} (x)$ .

Suy ra $\int [f (x) \pm g (x)] d x$ $= \int [F^{'} (x) \pm G^{'} (x)] d x$ $= \int {[F (x) \pm G (x)]}^{'} d x$ $= F (x) \pm G (x) + C$

Lại có $\int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ $= \int F^{'} (x) d x \pm \int G^{'} (x) d x$ $= F (x) \pm G (x) + C$ .

Vậy $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ (đpcm)

Trả lời câu hỏi 5 trang 96 SGK Giải tích 12: Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

$f^{'} (x)$	$f (x) + C$
$0$
$α x^{α - 1}$
$\frac{1}{x}$
$e^{x}$
$a^{x} \ln a (a > 0, a \neq 1)$
$\cos x$
$- \sin x$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$
$- \frac{1}{\sin^{2} x}$

Lời giải:

$f^{'} (x)$	$f (x) + C$
$0$	$C$
$α x^{α - 1}$	$x^{α} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \| x \| + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x} \ln a (a > 0, a \neq 1)$	$a^{x} + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$- \sin x$	$\cos x + C$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$	$\tan x + C$
$- \frac{1}{\sin^{2} x}$	$\cot x + C$

Trả lời câu hỏi 6 trang 98 SGK Giải tích 12: a) Cho

\int {(x - 1)}^{10} d x

. Đặt

u = x - 1

, hãy viết

{(x - 1)}^{10} d x

theo

u

và

d u

\int \frac{\ln x}{x} d x

. Đặt

x = e^{t}

, hãy viết

\int \frac{\ln x}{x} d x

theo

t

và

d t

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính vi phân $d u = u^{'} d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{u^{'}}$

Bước 2: Thay $x, d x$ thành $u + 1, \frac{d u}{u^{'}}$ vào nguyên hàm

b) Bước 1: Từ $x = e^{t} \Rightarrow t = \ln x$ Tính vi phân $d t = t^{'} d x \Rightarrow d x = \frac{d t}{t^{'}}$

Bước 2: Thay $x, d x$ thành $e^{t}, \frac{d t}{t^{'}}$ vào nguyên hàm

Lời giải:

Ta có: $u = x - 1 \Rightarrow x = u + 1$ $\Rightarrow d x = (u + 1)^{'} d u = d u$

$\Rightarrow {(x - 1)}^{10} d x = u^{10} d u$

Ta có: $x = e^{t}$ $\Rightarrow d x = {(e^{t})}^{'} d t = e^{t} d t$

Do đó: $\frac{\ln x}{x} d x = \frac{\ln (e^{t})}{e^{t}} e^{t} d t = t d t$

Trả lời câu hỏi 7 trang 99 SGK Giải tích 12: Ta có:

{(x \cos x)}^{'} = \cos x - x \sin x

hay

- x \sin x = {(x \cos x)}^{'} - \cos x .

Hãy tính: $\int {(x \cos x)}^{'} d x$ và $\int \cos x d x$

Từ đó tính $\int x \sin x d x .$

Phương pháp giải:

Tính các nguyên hàm, sử dụng công thức:

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

và các tính chất của nguyên hàm.

Lời giải:

Ta có: $\int {(x \cos x)}^{'} d x = x \cos x + C_{1}$ và $\int \cos x d x = \sin x + C_{2}$

Do đó $\int x \sin x d x = - \int (- x \sin x) d x$ $= - \int [{(x \cos x)}^{'} - \cos x] d x$ $= - \int {(x \cos x)}^{'} d x + \int \cos x d x$

Trả lời câu hỏi 8 trang 100 SGK Giải tích 12: Cho

P (x)

là đa thức của

x

. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền

u

và

d v

thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

	$\int P (x) e^{x} d x$	$\int P (x) \cos x d x$	$\int P (x) \ln x d x$
$u$	$P (x)$
$d v$	$e^{x} d x$

Lời giải:

	$\int P (x) e^{x} d x$	$\int P (x) \cos x d x$	$\int P (x) \ln x d x$
$u$	$P (x)$	$P (x)$	$\ln x$
$d v$	$e^{x} d x$	$\cos x d x$	$P (x) d x$

Câu hỏi và bài tập (trang 100, 101 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12:Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) $e^{- x}$ và $- e^{- x}$ ; b) $\sin 2 x$ và $\sin^{2} x$

c) ${(1 - \frac{2}{x})}^{2} e^{x}$ và $(1 - \frac{4}{x}) e^{x}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hàm số $F (x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f (x)$ nếu $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}; {(\sin u)}^{'} = u^{'} \cos u . . . .$

Lời giải:

a) $e^{- x}$ và $- e^{- x}$ là nguyên hàm của nhau, vì:

$(e^{- x})^{'} = e^{- x} (- 1) = - e^{- x}$ và $(- e^{- x})^{'} = (- 1) (- e^{- x}) = e^{- x}$

b) $s i n^{2} x$ là nguyên hàm của $s i n 2 x$ , vì:

${(s i n^{2} x)}^{'} = 2 s i n x . {(s i n x)}^{'} = 2 s i n x c o s x = s i n 2 x$

c) $(1 - \frac{4}{x}) e^{x}$ là một nguyên hàm của ${(1 - \frac{2}{x})}^{2} e^{x}$ vì:

${((1 - \frac{4}{x}) e^{x})}^{'} = \frac{4}{x^{2}} e^{x} + (1 - \frac{4}{x}) e^{x} = (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}) e^{x} = {(1 - \frac{2}{x})}^{2} e^{x} .$

Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{^{\sqrt[3]{x}}}$ ;

b) $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{e^{x}}$

c) $f (x) = \frac{1}{s i n^{2} x . c o s^{2} x}$ ;

d) $f (x) = s i n 5 x . c o s 3 x$

e) $f (x) = t a n^{2} x$

g) $f (x) = e^{3 - 2 x}$

h) $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ ;

Phương pháp giải:

a) +) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:

$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$

b) Sử dụng công thức nguyên hàm:

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$

$\int e^{a x + b} d x = \frac{e^{a x + b}}{a} + C$

d) Công thức phân tích tích thành tổng:

$\sin a \cos b$ $= \frac{1}{2} (\sin (a + b) + \sin (a - b))$

e) Áp dụng công thức:

$\frac{1}{\cos^{2} x} = \tan^{2} x + 1$ $\Rightarrow \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} - 1$

Nguyên hàm: $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

Lời giải:

Điều kiện $x > 0$ . Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f (x) = \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} .$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}}) d x = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + \frac{x^{\frac{1}{6} + 1}}{\frac{1}{6} + 1} + \frac{x^{- \frac{1}{3} + 1}}{- \frac{1}{3} + 1} + C = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C .$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{2^{x} - 1}{e^{x}} = {(\frac{2}{e})}^{x} - e^{- x} . \\ \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x \\ = \int ({(\frac{2}{e})}^{x} - e^{- x}) d x \\ = \frac{{(\frac{2}{e})}^{x}}{\ln (\frac{2}{e})} - \frac{e^{- x}}{- 1} + C \\ = \frac{2^{x}}{e^{x} (\ln 2 - 1)} + e^{- x} + C \\ = \frac{2^{x} + \ln 2 - 1}{e^{x} (\ln 2 - 1)} + C . \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{\sin^{2} x . \cos^{2} x} \\ = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} \\ = \frac{\sin^{2} x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} \\ = \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x} . \\ \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x \\ = \int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x \\ = - \cot x + \tan x + C \\ = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} + C \\ = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin x . \cos x} + C \\ = \frac{- \cos 2 x}{\frac{1}{2} \sin 2 x} + C \\ = - 2 \cot 2 x + C . \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \sin^{2} x \cos^{2} x \\ = \frac{1}{4} .4 \sin^{2} x \cos^{2} x \\ = \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x \\ \Rightarrow \int \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x \\ = \int \frac{1}{\frac{1}{4} \sin^{2} 2 x} d x = \int \frac{4}{\sin^{2} 2 x} d x \\ = 4. (- \frac{\cot 2 x}{2}) + C \\ = - 2 \cot 2 x + C \end{array}$

Ở đó sử dụng công thức

$\int \frac{1}{\sin^{2} (a x + b)} d x = - \frac{\cot (a x + b)}{a} + C$

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$\begin{array}{l} f (x) = \sin 5 x . \cos 3 x \\ = \frac{1}{2} (\sin 8 x + \sin 2 x) . \\ \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x \\ = \int \frac{1}{2} (\sin 8 x + \sin 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} (- \frac{1}{8} \cos 8 x - \frac{1}{2} \cos 2 x) + C \\ = - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cos 8 x + \cos 2 x) + C . \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x} - 1 \\ \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x \\ = \int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) d x \\ = \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x - \int d x \\ = \tan x - x + C . \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = e^{3 - 2 x} . \\ \Rightarrow F (x) = \int f (x) d x = \int e^{3 - 2 x} d x \\ = - \frac{1}{2} \int e^{3 - 2 x} {(3 - 2 x)}^{'} d x \\ = - \frac{1}{2} e^{3 - 2 x} + C . \end{array}$

Ta có : $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ $= \frac{1 - 2 x + 2 (1 + x)}{3 (1 + x) (1 - 2 x)}$ $= \frac{1 - 2 x}{3 (1 + x) (1 - 2 x)} + \frac{2 (1 + x)}{3 (1 + x) (1 - 2 x)}$ $= \frac{1}{3 (x + 1)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} .$

$\Rightarrow \int \frac{d x}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ $= \frac{1}{3} \int (\frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 - 2 x}) d x$

$= \frac{1}{3} (\int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{1 - 2 x} d x)$

Đặt $1 + x = t \Rightarrow d x = d t$

$\Rightarrow \int \frac{1}{1 + x} d x = \int \frac{1}{t} d t$ $= \ln | t | + C_{1} = \ln | 1 + x | + C_{1}$

Đặt $1 - 2 x = t \Rightarrow - 2 d x = d t$

$\Rightarrow \int \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int \frac{- d t}{t}$ $= - \ln | t | + C_{2} = - \ln | 1 - 2 x | + C_{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{3} (\int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{1 - 2 x} d x) \\ = \frac{1}{3} (\ln | 1 + x | - \ln | 1 - 2 x |) + C \\ = \frac{1}{3} \ln | \frac{1 + x}{1 - 2 x} | + C \end{array}$

Vậy $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \ln | \frac{1 + x}{1 - 2 x} | + C$

Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a) $\int {(1 - x)}^{9} d x$ (đặt $u = 1 - x$ ) ;

\int x (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}} d x

(đặt

u = 1 + x^{2}

)

\int c o s^{3} x s i n x d x

(đặt

t = c o s x

)

\int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x} + 2}

(đặt

u = e^{x} + 1

)

Phương pháp giải:

+) Đặt $u = u (x) \Rightarrow d u = u^{'} (x) d x .$

+) Khi đó: $\Rightarrow I = \int f (x) d x = \int g (u) d u .$

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn $u$ .

+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn $x$ .

Lời giải:

Cách 1: Đặt $u = 1 - x \Rightarrow d u = - d x$ . Khi đó ta được $- \int u^{9} d u = - \frac{1}{10} u^{10} + C$

Suy ra $\int (1 - x)^{9} d x = - \frac{(1 - x)^{10}}{10} + C$

Cách 2: $\int {(1 - x)}^{9} d x = - \int {(1 - x)}^{9} d (1 - x) =$ $- \frac{(1 - x)^{10}}{10} + C$

Cách 1: Đặt $u = 1 + x^{2} \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{1}{2} . \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C \\ = \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + C = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + C . \end{array}$

Cách 2: $\int x (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}} d x = \frac{1}{2} \int (1 + x^{2})^{\frac{3}{2}} d (1 + x^{2}) = \frac{1}{2} . \frac{2}{5} (1 + x^{2})^{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{5} . (1 + x^{2})^{\frac{5}{2}} + C$

Cách 1: Đặt: $t = cosx \Rightarrow d t = - s i n x d x .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int \cos^{3} x . sinxdx = \int - t^{3} d u \\ = - \frac{1}{4} t^{4} + C = - \frac{1}{4} \cos^{4} x + C . \end{array}$

Cách 2: $\int c o s^{3} x s i n x d x = - \int c o s^{3} x d (c o s x) = - \frac{1}{4} . c o s^{4} x + C .$

Cách 1:

Ta có: $e^{x} + e^{- x} + 2 = e^{x} + \frac{1}{e^{x}} + 2 = \frac{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}{e^{x}} = \frac{{(e^{x} + 1)}^{2}}{e^{x}} .$

$\Rightarrow \frac{1}{e^{x} + e^{- x} + 2} = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} .$

Đặt $u = e^{x} + 1 \Rightarrow d u = e^{x} d x .$

$\int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x} + 2} = \int \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} d x$ $= \int \frac{d u}{u^{2}} = - \frac{1}{u} + C = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C$

Cách 2:

$\int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x} + 2} = \int \frac{e^{x}}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1} d x = \int \frac{d (e^{x} + 1)}{(e^{x} + 1)^{2}} d x = \frac{- 1}{e^{x} + 1} + C .$

Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $\int x \ln (1 + x) d x$ ;

\int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x

\int x \sin (2 x + 1) d x

;

\int (1 - x) \cos x d x

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt ${\begin{cases} u = u (x) \\ d v = v^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = u^{'} (x) d x \\ v = v (x) \end{cases} .$

Khi đó ta có: $\int f (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x .$

Lời giải:

$\int x \ln (1 + x) d x .$

Đặt: ${\begin{cases} u = \ln (1 + x) \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} d x \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int x \ln (1 + x) d x = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \int \frac{x^{2}}{2 (x + 1)} d x \\ = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \frac{1}{2} \int (\frac{x^{2} - 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}) d x \\ = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \frac{1}{2} \int (x - 1 + \frac{1}{x + 1}) d x \\ = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (1 + x)) + C \\ = \frac{x^{2}}{2} \ln (1 + x) - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln (1 + x) + C \\ = \frac{1}{2} (x^{2} - 1) \ln (1 + x) - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + C . \end{array}$

$\int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x .$

Đặt: ${\begin{cases} u = x^{2} + 2 x - 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = (2 x + 2) d x \\ v = e^{x} \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x = (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} - \int (2 x + 2) e^{x} d x \\ = (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} - 2 \int (x + 1) e^{x} d x . \end{array}$

Xét $\int (x + 1) e^{x} d x :$

Đặt: ${\begin{cases} u = x + 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int (x + 1) e^{x} d x \\ = (x + 1) e^{x} - \int e^{x} d x \\ = (x + 1) e^{x} - e^{x} + C = x e^{x} + C . \\ \Rightarrow \int (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} d x \\ = (x^{2} + 2 x - 1) e^{x} - 2 x e^{x} + C \\ = (x^{2} - 1) e^{x} + C . \end{array}$

$\int x \sin (2 x + 1) d x .$

Đặt: ${\begin{cases} u = x \\ d v = \sin (2 x + 1) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = d x \\ v = - \frac{1}{2} \cos (2 x + 1) \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int x \sin (2 x + 1) d x \\ = - \frac{1}{2} x \cos (2 x + 1) + \frac{1}{2} \int \cos (2 x + 1) d x \\ = - \frac{1}{2} x \cos (2 x + 1) + \frac{1}{4} \sin (2 x + 1) + C . \end{array}$

$\int (1 - x) \cos x d x$

Đặt: ${\begin{cases} u = 1 - x \\ d v = \cos x d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = - d x \\ v = \sin x \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int (1 - x) \cos x d x \\ = (1 - x) \sin x + \int \sin x d x \\ = (1 - x) \sin x - \cos x + C . \end{array}$

Lí thuyết Bài 1: Nguyên hàm

1. Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $R$ .

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $K$ .

Hàm số $F (x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $K$ nếu $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in K$ .

b. Định lý

1) Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên K thì với mỗi hằng số $C$ , hàm số $G (x) = F (x) + C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $K$ .

2) Ngược lại, nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ đều có dạng $F (x) + C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f (x)$ là $\int f (x) d x$

Khi đó : $\int f (x) d x = F (x) + C, C \in R .$

c. Tính chất của nguyên hàm

$\int f (x) d x = F (x) + C, C \in R .$

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ (với k là hằng số khác 0)

$\int (f (x) \pm g (x)) = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số $f (x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ .

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm hợp

$\int 0 d x = C$

$\int d x = x + C$

$\int x^{α} d x$ = $\frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq - 1)$

$\int \frac{1}{x} d x = l n | x | + C$

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{l n a} + C (a > 0, a \neq 1)$

$\int c o s x d x = s i n x + C$

$\int s i n x d x = - c o s x + C$

$\int \frac{1}{(c o s^{2} x)} d x = t a n x + C$

$\int \frac{1}{(s i n^{2} x)} d x = - c o t x + C$

$\int u^{α} d x = \frac{u^{α + 1}}{u^{'} . (α + 1)} + C$

$\int \frac{1}{u} d x = \frac{l n | u |}{u^{'}} + C$

$\int e^{u} d x = \frac{e^{u}}{u^{'}} + C$

$\int a^{u} d x = \frac{a^{u}}{u^{'} . l n a} + C$

$\int c o s u d x = \frac{s i n u}{u^{'}} + C$

$\int s i n u d x = \frac{- c o s u}{u^{'}} + C$

$\int \frac{1}{(c o s^{2} u)} d u = \frac{t a n u}{u^{'}} + C$

$\int \frac{1}{(s i n^{2} u)} d u = \frac{- c o t u}{u^{'}} + C$

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu $\int f (u) d u = F (u) + C$ và $u = u (x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$

Hệ quả: $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C (a \neq 0)$

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số $u = u (x)$ và $y = v (x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x$ .

Chú ý: Viết gọn $\int u d v = u v - \int v d u$ .

Phương pháp đổi biến số

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

$\begin{array}{l} t = u (x) \Rightarrow d t = u^{'} (x) d x \\ u (t) = v (x) \Rightarrow u^{'} (t) d t = v^{'} (x) d x \end{array}$

- Công thức đổi biến:

$\int f [u (x)] u^{'} (x) d x = \int f (t) d t$ $= F (t) + C = F (t (x)) + C$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $t = u (x)$ .

- Bước 1: Đặt $t = u (x)$ , trong đó $u (x)$ là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân $d t = u^{'} (x) d x$ .

- Bước 3: Biến đổi $f (x) d x$ thành $g (t) d t$ .

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int f (x) d x = \int g (t) d t$ $= G (t) + C = G (u (x)) + C$ .

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Giải:

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 1$ $\Rightarrow 2 t d t = 2 x d x$ .

Do đó: $\int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int \sqrt{x^{2} + 1} .2 x d x$ $= \int t .2 t d t = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C$ $= \frac{2}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$ .

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $x = u (t)$ .

- Bước 1: Đặt $x = u (t)$ , trong đó $u (t)$ là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $d x = u^{'} (t) d t$ .

- Bước 3: Biến đổi $f (x) d x = f (u (t)) . u^{'} (t) d t = g (t) d t$ .

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f (x) d x = \int g (t) d t = G (t) + C$

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x, x \in [0; \frac{π}{2}]$ , nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2 t + C .$

B. $I = \frac{t}{2} + \cos 2 t + C .$

C. $I = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2 t}{4} + C .$

D. $I = \frac{t}{2} - \frac{\cos 2 t}{4} + C .$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow d x = \cos t d t$ và $1 - x^{2} = 1 - \sin^{2} t = \cos^{2} t$

Suy ra

$\begin{array}{l} \int \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int \sqrt{\cos^{2} t} \cos t d t = \int \cos^{2} t d t = \int \frac{1 + \cos 2 t}{2} d t \\ = \int (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 t) d t = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2 t}{4} + C . \end{array}$

(Vì $x \in [0; \frac{π}{2}] \Rightarrow \cos x > 0$ $\Rightarrow \sqrt{\cos^{2} x} = \cos x$ )

Vậy $I = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2 t}{4} + C .$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

Phương pháp từng phần

1. Kiến thức cần nhớ

- Công thức nguyên hàm từng phần: $\int u d v = u v - \int v d u$

2. Bài toán

Tính nguyên hàm $\int f (x) d x = \int g (x) . h (x) d x$

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt ${\begin{cases} u = g (x) \\ d v = h (x) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = g^{'} (x) d x \\ v = \int h (x) d x \end{cases}$ ( $v (x)$ là một nguyên hàm của $h (x)$ )

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f (x) d x = u v - \int v d u$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \ln x$ .

Giải:

Đặt ${\begin{cases} u = \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{cases}$

Do đó $\int \ln x d x = u v - \int v d u = x . \ln x - \int x . \frac{1}{x} d x = x \ln x - \int d x = x \ln x - x + C$

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm $\int f (x) \ln (a x + b) d x$ với $f (x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt ${\begin{cases} u = \ln (a x + b) \\ d v = f (x) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = \frac{a}{a x + b} d x \\ v = \int f (x) d x \end{cases}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f (x) \ln (a x + b) d x = u v - \int v d u$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \ln x$

Giải: Ta có $F (x) = \int f (x) d x = \int x \ln x d x$ .

Đặt ${\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int f (x) e^{a x + b} d x$ với $f (x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt ${\begin{cases} u = f (x) \\ d v = e^{a x + b} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = \frac{1}{a} e^{a x + b} \end{cases}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f (x) e^{a x + b} d x = u v - \int v d u$

Ví dụ: Tính $I = \int x e^{x} d x$

Giải:

Đặt ${\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = \int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x$ $= x e^{x} - \int d (e^{x}) = x e^{x} - e^{x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm $\int f (x) \sin (a x + b) d x$ hoặc $\int f (x) \cos (a x + b) d x$ .

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt ${\begin{cases} u = f (x) \\ d v = \sin (a x + b) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = - \frac{1}{a} \cos (a x + b) \end{cases}$ hoặc ${\begin{cases} u = f (x) \\ d v = \cos (a x + b) d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = \frac{1}{a} \sin (a x + b) \end{cases}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f (x) \sin (a x + b) d x = u v - \int v d u$ hoặc $\int f (x) \cos (a x + b) d x = u v - \int v d u$

Ví dụ: Tính $I = \int x \sin x d x$

Giải:

Đặt ${\begin{cases} u = x \\ d v = \sin x d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I = - x \cos x + \int \cos x d x = - x \cos x + \sin x + C$

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int e^{a x + b} \sin (c x + d) d x$ hoặc $\int e^{a x + b} \cos (c x + d) d x$ .

- Bước 1: Đặt ${\begin{cases} u = \sin (c x + d) \\ d v = e^{a x + b} d x \end{cases}$ hoặc ${\begin{cases} u = \cos (c x + d) \\ d v = e^{a x + b} d x \end{cases}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $u v - \int v d u$ .

Lưu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt ${\begin{cases} u = e^{a x + b} \\ d v = \sin (c x + d) d x \end{cases}$ hoặc ${\begin{cases} u = e^{a x + b} \\ d v = \cos (c x + d) d x \end{cases}$

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int \sin x . e^{x} d x$

Giải:

Đặt ${\begin{cases} u = \sin x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = \cos x d x \\ v = e^{x} \end{cases}$ .

Khi đó $I = e^{x} \sin x - \int \cos x e^{x} d x = e^{x} \sin x - J$

Tính $J = \int \cos x e^{x} d x$ . Đặt ${\begin{cases} u = \cos x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} d u = - \sin x d x \\ v = e^{x} \end{cases}$