Bài tập nguyên hàm cơ bản Toán 12 có đáp án (43 câu chọn lọc)

1. Công thức cần thuộc trước khi làm bài

Nguyên hàm của f(x) là hàm F(x) thỏa F'(x) = f(x). Nếu F(x) là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm khác đều có dạng F(x) + C. Vì vậy em luôn phải ghi “+ C” ở dạng tìm nguyên hàm tổng quát.

Hàm f(x)	Nguyên hàm ∫f(x)dx	Hàm f(ax+b) (a ≠ 0)
xn (n ≠ −1)	xn+1/(n+1) + C	(ax+b)n+1/[a(n+1)] + C
1/x	ln|x| + C	(1/a)·ln|ax+b| + C
ex	ex + C	(1/a)·eax+b + C
ax (0 < a ≠ 1)	ax/ln a + C
sin x	−cos x + C	−(1/a)·cos(ax+b) + C
cos x	sin x + C	(1/a)·sin(ax+b) + C
1/cos2x	tan x + C	(1/a)·tan(ax+b) + C
1/sin2x	−cot x + C	−(1/a)·cot(ax+b) + C

Hai tính chất dùng liên tục: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx và ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx (k ≠ 0). Chưa chắc lý thuyết thì xem lại bài học tại Giải Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm.

2. Dạng 1: Hàm đa thức, lũy thừa, căn thức

Mẹo: đưa mọi căn và phân thức về dạng x^α rồi áp dụng công thức lũy thừa. Biểu thức tích hoặc bình phương thì khai triển trước.

1. ∫(3x² − 4x + 5)dx = x³ − 2x² + 5x + C.
2. ∫(x⁴ + 1/x²)dx = x⁵/5 − 1/x + C (vì 1/x² = x⁻²).
3. ∫√x dx = (2/3)x√x + C (vì √x = x^1/2).
4. ∫(x² + 1)²dx = ∫(x⁴ + 2x² + 1)dx = x⁵/5 + 2x³/3 + x + C.
5. ∫dx/x³ = −1/(2x²) + C.
6. ∫∛x dx = (3/4)·x^4/3 + C.
7. ∫(x + 1)(x − 2)dx = ∫(x² − x − 2)dx = x³/3 − x²/2 − 2x + C.
8. ∫(√x + 1/√x)dx = (2/3)x√x + 2√x + C.

3. Dạng 2: Hàm mũ

Lưu ý: e^x có nguyên hàm là chính nó, còn a^x phải chia cho ln a. Gặp tích hai hàm mũ cùng số mũ x thì gộp cơ số trước.

9. ∫e^3xdx = e^3x/3 + C.
10. ∫2^xdx = 2^x/ln 2 + C.
11. ∫(e^x + 2x)dx = e^x + x² + C.
12. ∫e^2x+1dx = e^2x+1/2 + C.
13. ∫2^x·3^xdx = ∫6^xdx = 6^x/ln 6 + C.
14. ∫e^−xdx = −e^−x + C (a = −1, nên chia cho −1).

4. Dạng 3: Hàm lượng giác

Với sin², cos² phải hạ bậc: sin²x = (1 − cos 2x)/2 và cos²x = (1 + cos 2x)/2. Với tan² dùng tan²x = 1/cos²x − 1.

15. ∫sin 2x dx = −(cos 2x)/2 + C.
16. ∫cos(3x − 1)dx = sin(3x − 1)/3 + C.
17. ∫dx/cos²x = tan x + C.
18. ∫sin²x dx = ∫(1 − cos 2x)/2 dx = x/2 − sin 2x/4 + C.
19. ∫cos²x dx = x/2 + sin 2x/4 + C.
20. ∫dx/sin²(2x) = −(cot 2x)/2 + C.
21. ∫(sin x + cos x)²dx = ∫(1 + sin 2x)dx = x − (cos 2x)/2 + C.
22. ∫tan²x dx = ∫(1/cos²x − 1)dx = tan x − x + C.

5. Dạng 4: Phân thức có mẫu bậc nhất

Mẹo: nếu bậc tử ≥ bậc mẫu thì chia đa thức trước; nếu mẫu phân tích được thành tích hai nhân tử bậc nhất thì tách thành hiệu hai phân thức.

23. ∫dx/(2x − 1) = (1/2)·ln|2x − 1| + C.
24. ∫dx/(3 − x) = −ln|3 − x| + C (a = −1).
25. ∫(x + 1)/x dx = ∫(1 + 1/x)dx = x + ln|x| + C.
26. ∫dx/(x² − 1): vì 1/(x² − 1) = (1/2)[1/(x − 1) − 1/(x + 1)] nên kết quả là (1/2)·ln|(x − 1)/(x + 1)| + C.
27. ∫(2x + 3)/(x + 1) dx: viết 2x + 3 = 2(x + 1) + 1 nên = ∫[2 + 1/(x + 1)]dx = 2x + ln|x + 1| + C.

Muốn luyện sâu hơn về phân thức, xem các dạng bài tập nguyên hàm hữu tỉ.

6. Dạng 5: Tìm F(x) khi biết điều kiện

Cách làm gồm 3 bước: tìm họ nguyên hàm F(x) + C, thay giá trị đã cho vào để tìm C, rồi viết lại F(x) hoàn chỉnh.

29. F'(x) = 2x − 3, F(1) = 0. Ta có F(x) = x² − 3x + C; 1 − 3 + C = 0 nên C = 2. Đáp án: F(x) = x² − 3x + 2.
30. f(x) = e^x + 1, F(0) = 2. F(x) = e^x + x + C; 1 + C = 2 nên C = 1. Đáp án: F(x) = e^x + x + 1.
31. f(x) = sin x, F(π/2) = 1. F(x) = −cos x + C; 0 + C = 1. Đáp án: F(x) = 1 − cos x.
32. f(x) = 1/x² trên (0; +∞), F(1) = 3. F(x) = −1/x + C; −1 + C = 3 nên C = 4. Đáp án: F(x) = 4 − 1/x.
33. f(x) = 1/(2x − 1) với x > 1/2, F(1) = 2. F(x) = (1/2)ln(2x − 1) + C; ln 1 = 0 nên C = 2. Đáp án: F(x) = (1/2)ln(2x − 1) + 2, và F(5) = (1/2)ln 9 + 2 = ln 3 + 2.

7. Năm câu trắc nghiệm có phân tích đáp án

Câu 34. Một nguyên hàm của f(x) = 4x³ − 2 là:
A. x⁴ − 2x B. 12x² C. x⁴ − 2 D. 4x⁴ − 2x

Đáp án A. Đúng vì (x⁴ − 2x)’ = 4x³ − 2. B là đạo hàm của f, không phải nguyên hàm. C sai vì (x⁴ − 2)’ = 4x³ (thiếu −2). D sai do nhân thừa hệ số 4.

Câu 35. Hàm số nào sau đây KHÔNG là nguyên hàm của f(x) = 1/x trên (0; +∞)?
A. ln x B. ln(2x) C. ln x + 5 D. ln(x²)

Đáp án D. Vì [ln(x²)]’ = 2/x ≠ 1/x. Còn ln(2x) = ln 2 + ln x và ln x + 5 chỉ khác ln x một hằng số, nên vẫn là nguyên hàm. Đây là ví dụ cho việc các nguyên hàm sai khác nhau một hằng số.

Câu 36. ∫x·e^x²dx bằng:
A. e^x² + C B. (1/2)e^x² + C C. 2e^x² + C D. x²e^x² + C

Đáp án B. Đặt u = x² thì du = 2x dx, nên x dx = du/2 và tích phân thành (1/2)∫e^udu. Kiểm tra: [(1/2)e^x²]’ = (1/2)·2x·e^x² = x·e^x². A thiếu hệ số 1/2, C nhân nhầm, D không có cơ sở.

Câu 37. Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) = 2x + 1 và F(0) = 1. Giá trị F(2) là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

Đáp án C. F(x) = x² + x + C; F(0) = 1 nên C = 1; F(2) = 4 + 2 + 1 = 7. Phương án B (=6) là kết quả khi quên hằng số C.

Câu 38. Họ nguyên hàm của f(x) = 1/(1 − 2x) là:
A. −(1/2)ln|1 − 2x| + C B. (1/2)ln|1 − 2x| + C C. −2ln|1 − 2x| + C D. ln|1 − 2x| + C

Đáp án A. Ở đây a = −2 nên phải chia cho −2. Kiểm tra: [−(1/2)ln|1 − 2x|]’ = −(1/2)·(−2)/(1 − 2x) = 1/(1 − 2x). B sai dấu, C nhân thay vì chia, D quên hệ số.

8. Sáu bài tự luyện (có đáp án)

39. ∫(5x⁴ − 3x² + 2)dx.
40. ∫(e^x − 3cos x)dx.
41. ∫dx/(4x + 3).
42. ∫(1 + tan²x)dx.
43. Tìm F(x) biết F'(x) = 3x² + 2 và F(1) = 4.
44. ∫sin(x/2)dx.

Đáp án:

• Câu 39: x⁵ − x³ + 2x + C.
• Câu 40: e^x − 3sin x + C.
• Câu 41: (1/4)ln|4x + 3| + C.
• Câu 42: tan x + C (vì 1 + tan²x = 1/cos²x).
• Câu 43: F(x) = x³ + 2x + C; 1 + 2 + C = 4 nên C = 1, F(x) = x³ + 2x + 1.
• Câu 40 trong danh sách trên đã xong; riêng câu 44 trong bản gốc không có, em chú ý câu thứ sáu là ∫sin(x/2)dx = −2cos(x/2) + C.

9. Lỗi sai thường gặp

• Quên + C ở bài tìm họ nguyên hàm, hoặc quên tìm C ở bài có điều kiện.
• Nhầm nguyên hàm và đạo hàm: (sin x)’ = cos x nhưng ∫sin x dx = −cos x + C, dấu trừ rất dễ mất.
• Quên chia a với hàm dạng f(ax + b), hoặc chia nhầm dấu khi a âm.
• Không hạ bậc sin²x, cos²x nên không tìm được nguyên hàm.
• Áp công thức lũy thừa cho n = −1: ∫dx/x là ln|x|, không phải x⁰/0.
• Thiếu dấu giá trị tuyệt đối trong ln|…|.

Mẹo kiểm tra nhanh: lấy đạo hàm kết quả, ra đúng hàm dưới dấu tích phân là đúng.

10. Học tiếp theo lộ trình nào?

Sau khi nắm vững dạng cơ bản, em chuyển sang các kỹ thuật khó hơn theo thứ tự sau:

• Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm.
• Phương pháp đổi biến số, dạng 2.
• Nguyên hàm lượng giác nâng cao.
• 50 bài tập nguyên hàm để tổng hợp.
• Nguyên hàm vận dụng cao khi muốn đạt điểm cao.

Câu hỏi thường gặp

Họ nguyên hàm khác gì một nguyên hàm?

Một nguyên hàm là một hàm F(x) cụ thể có F'(x) = f(x). Họ nguyên hàm là tập hợp F(x) + C với C là hằng số bất kỳ, nên khi tìm tích phân bất định em phải ghi + C.

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả nguyên hàm có đúng không?

Lấy đạo hàm kết quả vừa tìm được. Nếu đạo hàm đúng bằng hàm dưới dấu tích phân thì kết quả đúng; hằng số C biến mất khi đạo hàm nên không ảnh hưởng.

Khi nào phải hạ bậc để tìm nguyên hàm lượng giác?

Khi gặp sin², cos² hoặc tích sin·cos. Dùng sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2 và sin x·cos x = (sin 2x)/2 để đưa về dạng nguyên hàm cơ bản.

Vì sao nguyên hàm của 1/(ax+b) có hệ số 1/a?

Vì đạo hàm của ln|ax+b| là a/(ax+b), thừa hệ số a. Để triệt tiêu thì phải nhân với 1/a, nên ∫dx/(ax+b) = (1/a)ln|ax+b| + C.

Bài học liên quan

• Chọn mệnh đề đúng: ln(a/b) = ln a − ln b với a, b > 0
• Nguyên hàm của ln x: ∫ ln x dx bằng bao nhiêu?
• Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng bao nhiêu? Đáp án 8a³
• Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào? {4;3} hay {5;3}
• Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
• Cho hàm số y = f(x), đồ thị y = f'(x) như hình: y = f(2 − x) đồng biến trên khoảng nào?