Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Van Anh Ngày: 18-09-2024 Lớp 9

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán . Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước. Mời các bạn đón xem:

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

A. Lý thuyết Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước là một dạng bài tập tìm tham số m, thường gặp trong các đề thi vào lớp 10. Dưới đây là các vấn đề lý thuyết liên quan đến dáng toán về sự tương giao này như sau:

1. Điều kiện để đường thằng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước

Điều kiện để đường thằng (d) cắt đồ thị hàm số paraol (P) tại hai điểm phân biệt thì cần thoả mãn những điều kiện dưới dây:

- Đường thẳng (d) ; y = mx + n và parabol (P): y = a² ( a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là : ax² = mx= n <=> ax² - mx - n = 0 (1)

- Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay $\triangle > 0$

2. Các dạng toán thường gặp

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trai trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

- Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

- Đường thằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu nhau

- Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có toạ độ thoả mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệt thức Vi - ét của phương trình (1))

3. Phương pháp giải dạng toán này

Cho đồ thị hàm số (P): y = ax² (Điều kiện a khác 0) và đường thẳng y = mx + n

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số parabol và đường thẳng, ta được : ax² = mx + n <=> ax² - mx - n = 0 (*)

Bước 2: Xét điều kiện để đồ thị hàm số parabol có điểm chung với đường thẳng:

- Trường hợp 1: Đồ thị hàm số parabol tiếp xúc với đường thẳng ( có 1 điểm chung) => phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép ( Khi đó, Delta = 0 hoặc Delta phẩy = 0)

- Trường hợp 2: Đồ thị hàm số parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biết ( có 2 điểm chung phân biệt ) => phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt ( khi đó $\triangle > 0$ hoặc $\triangle ' > 0$ )

Bước 3: Xét điều kiện về vị trí giao điểm:

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm nằm phía trên trục hoành => thì a > 0

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm năm fphias dưới trục hoành => a< o

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm nằm cúng phía so với trục tung <=> phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu <=> $P = - \frac{n}{a} > 0$ hay a. n < 0

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung <=> phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương <=> $S = \frac{m}{a} > 0$ và $P = - \frac{n}{a} > 0$

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm khi và chỉ khi $S = \frac{m}{a} < 0$ và $P= - \frac{n}{a} < 0$

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung<=> phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu với nhau <=> $P= - \frac{n}{a} < 0$ hay a . n > 0

- Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số parabol (P) tại hai điểm thoả mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi - ét, kết hợp biến đổi biểu thức.

Bước 4: Kết luận

4. Phương pháp học tốt dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

Phần đồ thị hàm số là một trong những phần kiến thức trọng tâm trong chương trình toán 9 để phục vụ mục đích cho bài thi tuyển sinh vào 10 cho học sinh cấp 2. Đây là một dạng toán được các giáo viên đánh giá " khá khó" khiến các học sinh phải đau đầu. Nhưng với những phương pháp dưới đây thì các bạn sẽ thấy giải những dạng bài tập về đồ thị hàm số " dễ như ăn kẹo". Mời bạn cùng tham khảo.

- Trước tiên cần phải nắm rõ cách diểm diễn toạ độ: Ví dụ điểm A( -1; 3) sẽ được hiểu diễn như thế nào trên đường thẳng y = ax + b ( với a, b là hằng số; a khác 0). Ta thấy x = -1 và y = 3 và phương trình đường thẳng có chưa điểm A. Để vẽ đường thẳng thì ta lấy hai điểm trên đồ thị rồi nối chúng vào với nhau thành một đường thẳng.

- Năm được những dạng bài liên quan đến hàm bậc nhất: Bên cạnh những hướng dẫn ở trên thì ở đây chúng tôi liệt kê mốt số hàm bâcj thứ nhất : Như chứng minh 3 đường đồng, tính độ dài, tính diện tích, tìm điều kiện để các đường song song, trùng nhau, cắt nhau ....

- Đối với dạng toán tìm điệu kiện để 3 đường thẳng đồng quy , ta sẽ tìm một điểm cùng thuộc cả 3 đường thẳng. Cách làm là chọn 2 trong 3 đường thẳng, lập phương trình toạ độ giao điểm hoặc hoành độ giao điểm để tìm giao điểm M. Nếu như toạ độ của M thuộc đường thẳng còn lại thì 3 đường thẳng sẽ đồng quy tại điểm M. Với dạng toàn này thì tham số để 3 đường thẳng đồng quy thì cũng làm theo cách tương tự,

- Với dạng toán tìm diện tịch hay chu vi của hình được tạo bởi các điểm thì ta cần vẽ hình. Ví dụ tính độ dài đoạn thì ta đưa nó vào một tam giác vuông rồi dùng định lý Pytago. nếu tính diện tích tam giác thì hành tính diện tích hình vuông hoặc hình chữ nhật rồi trừ đi những tam giác thừa xung quạnh.

B. Bài tập Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho đường thẳng (d) : y = 2x - 5 và parabol (P): y = (m - 1)x² ( m khác 0 ). Tìm m để đường thẳng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt và cùng nằm về một phía đối với trục tung .

Lời giải:

Phương trình hoành độc giao điểm : ( m -1 )x² = 2x - 5 <=> ( m -1 )x²- 2x + 5 = 0 (*)

Ta có: $\triangle ' = 3m - 2$ ; $P= x1 . x2 = \frac{-3}{m -1}$ là hai nghiệm của phương trình (*)

Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm một phía của trụng tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

<=> $\triangle > 0$ và P > 0 <=> 3m - 3 > 0 và $\frac{-5}{m - 1} > 0$

<=> $m>\frac{2}{3}$ và m < 1 <=> $\frac{2}{3} < m< 1$

Vậy $\frac{2}{3} < m< 1$

Bài 2: Cho đồ thị hàm số parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + 3. Tìm toạ độ giao điểm của điểm A và B của hai đồ thị trên.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm : x² = 2x + 3 <=> x² - 2x - 3 = 0

<=> ( x + 1) ( x- 3 ) = 0

<=> x = -1 hoặc x = 3

Như vậy, nếu x = -1 thì y = ( -1) ²= 1

nếu x = 3 thì y = 3²= 9

Vậy giao điểm của đường thẳng (d) với đồ thị hàm số parabol (P) là A ( -1; 1); B ( 3; 9)

Bài 3: Đường thẳng d : y = mx + n và đồ thị hàm số parabol (P) y = ax² (a khác 0) tìm điều kiện để hai đường thẳng này không cắt nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ là : ax²= mx = n

Để hai đồ thị trên không giao nhau thì phương trình hoành độ trên phải vô nghiệm

có nghĩa là phương trình ax² - mx - n = 0 vô nghiệm

Bài 4: Nếu phương trình ax² = m.x + n có hai nghiệm phân biệt thì sự tương giao của đường thẳng d: y = mx + n và đồ thị hàm số parabol (P) : y = ax² là như thế nào

Lời giải:

Theo đề bài, phương trình hoành độ của đường thẳng d: y = mx + n và đồ thị hàm số parabol (P) y = ax² có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy thì đường thẳng (d) và đồ thi parabol (P) cắt nhau tại hai điểm khác nhau, nghĩa là (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

Bài 5: Cho parabol (P): y = - 2x² và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

-2x² = 3x + m - 1 ⇔ 2x² + 3x + m - 1 = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac = 9 - 4.2.(m - 1) = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 - 8m > 0 ⇔ $m < \frac{{17}}{8}$

Với $m < \frac{{17}}{8}$ , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét

$\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 1}}{2} \end{array} \right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S < 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3}}{2} < 0\\ \frac{{m - 1}}{2} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$

kết hợp với điều kiện $m < \frac{{17}}{8} \Rightarrow 1 < m < \frac{{17}}{8}$

Vậy với $1 < m < \frac{{17}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung

Bài 6: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x - m² + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

x² = 2x - m² + 9 ⇔ x² - 2x + m² - 9 = 0 (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ m² - 9 < 0 ⇔ (m - 3)(m + 3) < 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m - 3 > 0 \hfill \\ m + 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m - 3 < 0 \hfill \\ m + 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 3 \hfill \\ m < - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 3 \hfill \\ m > - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow - 3 < m < 3$

Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Bài 7: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x²

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng $3\sqrt 2$

Lời giải:

a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² - x - m = 0(1)

Có ∆ = b² - 4ac

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ $m > \frac{{ - 1}}{4}$

Với $m > \frac{{ - 1}}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét

$\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 1\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - m \end{array} \right.$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện $m > \frac{{ - 1}}{4} \Rightarrow - \frac{1}{4} < m < 0$

Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương

Vậy với $\frac{{ - 1}}{4} < m < 0$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung

b, Với $m > \frac{{ - 1}}{4}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa mãn Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - m\end{array} \right.$

Khoảng cách giữa hai điểm bằng $3\sqrt 2 \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 36$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 \Leftrightarrow m = \frac{{35}}{3}\left( {tm} \right) \end{array}$

Vậy với $m = \frac{{35}}{3}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng $3\sqrt 2$

Bài 8: Cho parabol (P): $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng (d): y = mx - 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

$\frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0$ (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Có ∆ = b'² - ac = m² + 2 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$

Có $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^3x_2^3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5{x_1}{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 2m} \right) + 5.2 = 0\\ \Leftrightarrow 16m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{8}\left( {tm} \right) \end{array}$

Vậy với $m = \frac{{ - 5}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

2. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4

a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho $| {x{ _1}}| = 2| {{x_2}}|$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn |x₁ - x₂| = 2

Bài 4: Cho parabol (P): y = x² và (d): y = x + m. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 5: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁, x₂ là hoành độ của A, B thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 – 2m và parabol (P): y = x². Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn

a, $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{5}{{{x_2}}} = 1$

b, $\left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 3} \right) < 1$

c, ${x_1}x_2^2 + \left( {2m - 3} \right){x_1} = 2$

d, $x_1^2 + {x_2} - 2m = 0$

Bài 7: Cho parabol (p) y = x² và đường thẳng d: y = mx - 2 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hoành độ x₁, x₂thỏa mãn (x₁ + 2)(x₂ + 2) = 0

Bài 8: Cho parabol (p) y = 2x² và đường thẳng d: y = x - m + 1 (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt (d) tại một điểm chung.

c) Tìm tất cả tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Bài 9: Cho Parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng d: y = 2x + m (với m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ thỏa mãn ${\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)^2} = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} + 3$ .

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m (với m là tham số)

Tìm điều kiện của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Xác định m để ${\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right)^2} + 2\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 16$