Tailieumoi.vn xin giới thiệu Điều kiện để hai đường thẳng song song và 20 bài tập vận dụng được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 2. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Hai đường thẳng song song. Mời các bạn đón xem:

Điều kiện để hai đường thẳng song song 

A. Hai đường thẳng song song

1. Định nghĩa Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song ( trong mặt phẳng ) là hai đường thẳng không có điểm chung. 

Kí hiệu : a // b

Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

- Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song

- Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song

- Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng song song

Ngoài ra ta còn có dấu hiệu: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le ngoài bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

Ví dụ 1 :

- Góc A1 = góc B1

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra a // b

- Góc A3 = góc B1

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra a // b

- Góc A1 + góc B1 = 180 °

Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía

Suy ra a // b

Ví dụ 2: Cho hình vẽ, trong đó góc AOB = 60 °, Ot là tia phân giác của góc AOB. Hỏi các tia Ax, Ot, By có song song với nhau không ? Vì sao?

-  Ta có Ot là tia phân giác của góc AOB nên:

Góc AOt = góc tOB = 1/ 2 góc AOB = 1 / 2 x 60 ° = 30°

Mà góc xAO = 30°

Do đó góc AOt = góc xAO = 30 °

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên Ax // Ot

- Ta có : góc tOB = 30 °, góc OBy = 150 °

Suy ra góc tOB + góc OBy = 180 °

 Vậy Ot // By ( do có hai góc trong cùng phía bù nhau ).

Ví dụ 3: Cho góc xOy = 30 ° và điểm A nừm trên cạnh Ox. Dựng tia Az song song với tia Oy và nằm trong góc xOy.

a, Tìm số đo góc OAz

b, Gọi Ou và Av theo thứ tự là các tia phân giác của góc xOy và xAz. Chứng tỏ rẳng Ou song song với Av.

a, Vì Oy // Az nên ta có: 

Góc xOy = góc xAZ ( hai góc đồng vị )

Hai góc OAz và góc xAZ kề bù với nhau

Ta có góc OAz + góc xAz = 180 °

Suy ra góc OAz + 30 ° = 180 ° 

Suy ra góc OAz = 180 ° - 30 ° = 150 °

b, Vì Ou là tia phân giác của góc xOy

Nên góc xAz = 1/2 góc xAZ = 1/2 x 30 ° = 15 °

Như vậy góc xOu = góc xAv = 15 °

 Hai góc xOy và góc xAz bằng nhau và nằm ở vị trí đồng vị

Nên Ou song song với Av.

3. Tính chất hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thì ba thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau

- Hai góc trong cùng phía bằng nhau.

Ví dụ:

Nếu a // b thì :

- Góc A1 = góc B1

- Góc A3 = góc B1

- Góc A2 + góc B1 = 180 °

4. Cách vẽ hai đường thẳng song song

Vẽ đường thẳng CD đi qua điểm E song song song với đường thẳng AB cho trước.

Ta có thể vẽ như sau:

• Vẽ đường thẳng MN đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB.
• Vẽ đường thẳng CD đi qua E và vuông góc với đường thẳng MN ta được đường thẳng CD song song với đường thẳng AB.

5. Chứng minh hai đường thẳng song song

Cho hình tam giác ABC có góc đỉnh A là góc vuông. Qua A hãy vẽ đường thẳng Ax song song với cạnh BC. Qua C, hãy vẽ đường thẳng Cy song song với cạnh AB. Hai đường thẳng Ax và Cy cắt nhau tại điểm D. Nên tên các cặp cạnh song song với nhau có trong hình tứ giác ADCB?

- Sử dụng eke để vẽ, ta được tứ giác ADBC như sau:

Trong tứ giác ADBC có:

• Cặp cạnh AD và BC song song với nhau
• Cặp cạnh AB và DC song song với nhau

Chứng minh hai đường thẳng song song:

• Xét vị trí các cặp cạnh tạo bởi hia đường thẳng đinh chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba ( so le, đồng vị , trong cùng phía)
• Sử dụng tính chất của hình bình hành 
• Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song
• Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, hinh bình hành
• Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song
• Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
• Định lý talet đảo: Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang.
• Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn
• Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

6. Điều kiện để hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ: y = 3x + 1 và y = 3x – 2 là hai đường thẳng song song vì

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\left(=3\right)\\ b\ne b\text{'}\left(1\ne -2\right)\end{array}\right.$

B. Bài tập điều kiện để hai đường thẳng song song

Bài 1: Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_3$: y = 3x +2

Lời giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=3\end{array}\right.$$\Rightarrow a=a\text{'}\left(=3\right)$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ b\text{'}=2\end{array}\right.$$\Rightarrow b\ne b\text{'}\left(-1\ne 2\right)$

$\Rightarrow d_1;d_3$ là hai đường thẳng song song

Bài 2: Cho đường thẳng $\Delta$: y = (2m – 2)x + 3

Tìm m để: $∆$song song với $d_1$: y = 2x – 1

Lời giải:

 $∆$// $d_1$$\iff \left\{\begin{array}{l}2m-2=2\\ 3\ne -1\end{array}\right.$

Vì $3\ne -1$ luôn đúng nên để $∆$// $d_1$ thì 2m – 2 =2

$\iff$2m = 4

$\iff$m = 4:2

$\iff$m = 2

Vậy m = 2 thì $∆$// $d_1$

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x +2 và đi qua A(1; 2).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a$\ne$0)

Vì d // d’ nên

$\Rightarrow$a = a’ = 3; b $\ne$2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào (*) ta được

2 = 3.1 + b

$\iff$2 = 3 + b

$\iff$b = 2 – 3

$\iff$b = -1

$\iff$y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Bài 4: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1) x + 3. Tìm m để d song song song với đường thẳng d’ : y = 3x – 5

Lời giải:

Vì d // d’$\Rightarrow$a = a’

$\iff$2m + 1 = 3

$\iff$2m = 3 – 1

$\iff$2m = 2

$\iff$m = 2:2

$\iff$m = 1

Lại có b = 3 và b’ = -5

$\Rightarrow$b$\ne$b’

Vậy m = 1 thì d và d’ song song.

Bài 5: Tìm m để đường thẳng $d_1$: $y=\left(m^2-2m\right)x+3$+ m song song với đường thẳng $d_2$: y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Lời giải:

Vì d // d’ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m=3\\ 3+m\ne 1\\ m^2-2m\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m-3=0\\ m\ne -2\\ m\left(m-2\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-3\right)\left(m+1\right)=0\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m-3=0\\ m+1=0\end{array}\right.\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\text{ (tm)}\\ m=-1\left(tm\right)\end{array}\right.\\ m\ne 2\\ m\ne -2\\ m\ne 0\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}\right.$ (1)

Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên ta có x = -2; y = 0 thay vào d

0 = ($m^2-2m$).(-2) + 3 + m

$\iff -2m^2+4m+3+m=0$

$\iff -2m^2+5m+3=0$

$\iff -2m^2-m+6m+3=0$

$\iff -m\left(2m+1\right)+3\left(2m+1\right)=0$

$\iff \left(2m+1\right)\left(3-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m+1=0\\ 3-m=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m=-1\\ m=3\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{-1}{2}\\ m=3\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$m = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6: Cho hai đường thẳng (d₁) y = (2 – m²)x + m – 5 và (d₂) y = mx + 3m – 7. Tìm m để d₁ // d₂.

Lời giải:

 d₁ // d₂

⇔ m = -2.