Tailieumoi.vn xin giới thiệu Cát tuyết: Định nghĩa, tính chất và cách xác định cát tuyến đường tròn được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Cát tuyết. Ngoài ra, bài viết còn có bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán. Mời các bạn đón xem:

Cát tuyết: Định nghĩa, tính chất và cách xác định cát tuyến đường tròn

1. Định nghĩa Cát tuyến

Cát tuyến là một đơn vị kiến thức trong môn hình học được giảng dạy tại chương trình học lớp 9. Cát tuyến là một từ Hán Việt với “cát” có nghĩa là cắt, “tuyến” là đường thẳng, cát tuyến là đường thẳng cắt ngang qua một bề mặt khác như đường cong, đường tròn,… Định nghĩa cát tuyến của đường tròn được nêu trong sách giáo khoa hình học lớp 9 như sau: Cát tuyến của đường tròn chính là đường thẳng cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt bất kỳ. Tức là giao điểm giữa đường cát tuyến và đường tròn là hai điểm thuộc đường tròn đó. Trường hợp đặc biệt của cát tuyến chính là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn. Khi ấy cát tuyến của đường tròn sẽ trùng với đường kính đường tròn đó. Hay nói cách khác cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn 

Một số ví dụ về đường cát tuyến:

Ví dụ 1: Cát tuyến của hai đường thẳng là một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Cát tuyến của đường tròn cắt đường tròn tại hai điểm bất kì thuộc đường tròn đó.

Ví dụ 3: cát tuyến của một cung tròn cắt cung tròn tại hai điểm phân biệt.

Ứng dụng đường cát tuyến hình tròn

Đường cát tuyến hình tròn có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Một số ví dụ về ứng dụng đường cát tuyến hình tròn là:

- Tính chiều cao của một ngọn núi khi biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau một khoảng xác định.

- Tính bán kính của một đường tròn khi biết hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa hai điểm giao của chúng với đường tròn.

- Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi biết các cạnh của nó và các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.

- Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một cát tuyến của nó

2. Đặc điểm, tính chất của đường cát tuyến

Đường cát tuyến là đường thẳng cắt một đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…) tại hai điểm phân biệt. Đường cát tuyến có một số tính chất sau:

- Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau.

- Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và tích các đoạn của mỗi đường bằng nhau thì bốn điểm thuộc cùng một đường tròn.

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến.

- Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì trung điểm của cát tuyến thuộc trung trực của hai tiếp điểm.

- Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỉ số các tiếp tuyến

Để có thể nắm rõ được kiến thức và nhận biết được đường cát tuyến thì bạn cần hiểu được bản chất cũng như những tính chất đặc trưng của đường cát tuyến. Đồng thời việc có kiến thức sâu về tính chất đường cát tuyến sẽ giúp các bạn học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán liên quan. Xét trong đường tròn tâm O bán kính R với hai đường thẳng bất kỳ AB và CD. Các tính chất đặc trưng của cát tuyến của một đường tròn bao gồm:

– Trong trường hợp 2 đường thẳng chứa các cung AB và CD của đường tròn tâm O cắt nhau tại điểm M thì ta có biểu thức: MA.MB = MC.MD

– Nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M thỏa mãn điều kiện MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D sẽ cùng năm trên một đường tròn.

– Nếu MC là đường tiếp tuyến của đường tròn tâm O, MAB là đường cát tuyến thì ta có biểu thức sau đây: MC2 = MA x MB = MO2 – R2

– Kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD từ điểm K nằm ngoài đường tròn. Điểm H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm trên 1 trung điểm.

– Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và đường cát tuyến KCD đến đường tròn từ điểm K không thuộc đường tròn thì AC/AD = BC/BD. Bên cạnh đó ta có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.

3. Cách xác định đường cát tuyến

Cách vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong là yêu cầu cơ bản trong bài toán liên quan đến đường cát tuyến. Sau đây chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ cát tuyến chỉ với 2 bước đơn giản là:

- Bước 1: Xác định hai điểm bất kì thuộc đường tròn hoặc cung tròn. Lưu ý đối với đường tròn, nếu không có yêu cầu đặc biệt thì bạn không nên chọn hai điểm nằm trên đường kính của đường tròn đó.

- Bước 2: Vẽ một đường thẳng bằng cách nối hai điểm vừa xác định. Đường thẳng này chính là đường cát tuyến, nó cắt và chia đường tròn thành hai cung.

Ngoài ra, bạn cũng có thể dùng các tính chất của cát tuyến để xác định cát tuyến của đường tròn. Một số tính chất quan trọng là: Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến. Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỷ số các tiếp tuyến.

4. Cách vẽ cát tuyến

Do đường cát tuyến có thể cắt cả đường tròn và đường cong nên sẽ có sự khác nhau trong cách vẽ mà bạn cần hết sức lưu ý. Cụ thể như sau:

Đối với cách vẽ đường cát tuyến cho đường tròn và đường cong

Muốn vẽ được đường cát tuyến cho một đường tròn bất kỳ rất đơn giản, bạn cần làm theo 2 bước dưới đây:

– Bước 1: Xác định chính xác 2 điểm bất kỳ phân biệt nằm trên đường tròn hoặc đường đường cong đó.

– Bước 2: Dùng bút để kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt đã đề cập trước đó. Như thế là chúng ta đã có ngay được 1 cát tuyến đường tròn và đường cong rồi.

Đối với cách thức vẽ đường cát tuyến bất kỳ của hai đường thẳng

– Bước 1: Từ những gì đã có ở trên chúng ta cần xác định chính xác 2 điểm bất kỳ thuộc hai đường thẳng đó.

– Bước 2: Nhắm thật chuẩn rồi kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Như thế chúng ta cũng đã có được một đường cát tuyến của hai đường thẳng rồi.

5. Bài tập liên quan đến đường cát tuyến

Một số điểm cần lưu ý khi làm bài tập liên quan đến đường cát tuyến đó là:

- Nắm rõ định nghĩa cát tuyến là gì để nhận biết đường cát tuyến.

- Lưu ý khi làm bài tập liên quan đến cát tuyến của đường tròn

- Biết cách phân biệt đường cát tuyến và đường tiếp tuyến trong một đường tròn.

- Ghi nhớ tính chất đường cát tuyến để ứng dụng xử lý bài toán nhanh hơn

- Kiến thức đường cát tuyến sẽ thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đường tròn nội tiếp tứ giác.

Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CM: MA.MA = MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng

Lời giải: 

a) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→ MA/MD = MC/MA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) → MA2 = MC.MD (đpcm)

b) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H

→ MH. MO = MA2 = MC. MD

→ MA/MD = MC/MA → △ MHC ~ △ MDC

→ góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 900 - góc MHC = 900 - góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn) mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD) → 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài 2:  Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Lời giải:

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Bài 3: Từ một điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến lần lượt là KA, KB và kẻ thêm cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi M chính là giao điểm của OK và AB. Vẽ dây DI đi qua M. Hãy chứng minh rằng:

a) KIOD là một hình tứ giác nội tiếp.

b) KO chính là phân giác của góc IKD.

Ta có hình vẽ:

Lời giải:

Bài 4: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a, Chứng minh rằng ta luôn có MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

Bài 5:  Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi là trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua H. Chứng minh BF // CD

Giải:

Bài 6: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O), kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I. Chứng minh CI ⊥ OB.