Bất đẳng thức bunhiacopxki: Lý thuyết và 20 bài tập vận dụng

Van Anh Ngày: 17-09-2024 Lớp 9

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bất đẳng thức bunhiacopxki được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 9. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Bất đẳng thức bunhiacopxki. Mời các bạn đón xem:

Bất đẳng thức bunhiacopxki

A. Bài tập Bất đẳng thức bunhiacopxki

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3.2} = \sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Lời giải:

$A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 \le x \le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${\left[ {1.\sqrt {x - 2} + 1.\sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}$

A max = 2 khi $\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.\sqrt {p - a} + 1.\sqrt {p - b} + 1.\sqrt {p - c} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều

2. Bài tập tự luyện

Bài 1:. Cho các số thực dương a, b, c sao cho $ab + bc + ca + abc \le 4$ .

Chứng minh rằng: $2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}$ .

Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trường Chuyên KHTN ĐHQG HN 2015

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho $ab + bc + ca = 1$ .

Chứng minh rằng: $2abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}$

Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{{{a^2} + ab + bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + bc + ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + ca + ab}} \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{ac + ab + bc}}} \right)^2}$

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, $A = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}$

b, $B = \sqrt x + \sqrt {2 - x}$

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}$

(gợi ý: biến đổi vế trái thành $\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}$ rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

$\sqrt {a - 1} + \sqrt {b - 1} + \sqrt {c - 1} \le \sqrt {c\left( {ab + 1} \right)}$

Bài 7: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}$

Bài 8: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x² + y² ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + $\sqrt{5}$

Bài 9: cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác , hãy chứng minh rằng:

T = a / 2b +2c -a + b/2c +2a -b + c/2a + 2b -a lớn hơn hoặc bằng 1

Bài 10: cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp tam giác, các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của tam giác nhỏ hơn và diện tích của S1; S2; S3. Gọi S là diện tích của tam giác ABC , hãy chứng mình rằng S1 + S2 + S3 lớn hơn hoặc bằng S/3

Bài 11: Cho tam giác ABC và 1 diểm Q nào đó ở trong tam giác. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC ở M và cắt BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại P cắt AB tại R. kí hiệu S1 = dt(QMP); S2= dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC) . Hãy chứng minh rằng:

S1 + S2 + S3 lớn hơn hoặc bằng 1/3S

Bài 12: cho elip (E) x²/16 + y²/9 =1 các điểm M , N chuyển động lần lượt trên các tia Ox; Oy sao cho MN luôn tiếp xúc với (E), xác dịnh toạ độ của Ml N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 13: cho a, b, c là các số thực dương. Hãy chứng minh:

a/b + b/c + c/a lớn hơn hoặc bằng a+b/ b+c + b+c/a+b + 1

Bài 14: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a/1+b-a + b/1+c-b + c/1+a-c trong đó a,b,c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1

B. Lý thuyết Bất đẳng thức bunhiacopxki

1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)$ và $\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)$ ta có:

$\left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

+ Có $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2abcd\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} - 2abcd + {\left( {bc} \right)^2} \ge 0 \end{array}$