Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1.1. Khoảng biến thiên

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Trong đó các tần số m₁ > 0, m_k > 0 và n = m₁ + …+ m_k là cỡ mẫu.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là R = a_{k + 1} – a₁.

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

1.2. Khoảng tứ phân vị

• Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 3.1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $∆$_Q là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba Q₃ và tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu đó, tức là $∆$_Q = Q₃ – Q₁.

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Nhận xét: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n}$; trong đó, n = m₁ + …+ m_k; $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ với i = 1, 2, …, k là giá trị đại diện cho nhóm [a_i; a_{i + 1}) và $\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+\mathrm{...}+m_k{x}_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

• Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s=\sqrt{s^2}$.

Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức: $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\left(\overline{x}\right)}^2$.

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Chú ý: Người ta còn sử dụng các đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:

${\hat{s}}^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n-1},\hat{s}=\sqrt{{\hat{s}}^2}$.

B. Bài tập Toán 12 Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Bài tập tự luận

(Dùng cho bài 1, 2) Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Bài 1. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên?

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 100 – 0 = 100.

Bài 2. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên?

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Giả sử x₁; …; x₄₂ là thời gian tập thể dục của 42 học sinh và được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x₁₁. Mà x₁₁ thuộc nhóm [20; 40) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [20;40).

Ta có $Q_1=20+\frac{\frac{42}{4}-5}{9}.\left(40-20\right)=\frac{290}{9}$.

Tứ phân vị thứ ba là x₃₂. Mà x₃₂ thuộc nhóm [60; 80). Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [60; 80).

$Q_3=60+\frac{\frac{42}{4}.3-26}{10}.\left(80-60\right)=71$.

Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=71-\frac{290}{9}=\frac{349}{9}$.

Bài 3. Chiều cao của hai loài hoa được một người thống kê theo biểu đồ sau:

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên về chiều cao của loài hoa A và loài hoa B. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem chiều cao của loài hoa nào biến động nhiều hơn.

Hướng dẫn giải

Từ biểu đồ, ta có bảng số liệu ghép nhóm sau:

Xét loài A.

Cỡ mẫu là n = 20 + 18 + 14 + 10 = 62.

Giả sử x₁; …; x₆₂ là chiều cao của 62 cây hoa loài A và được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₁₆ mà x₁₆ $\in$ [100; 199).

Do đó $Q_1=100+\frac{\frac{62}{4}-0}{20}.\left(199-100\right)=176,725$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₄₇ mà x₄₇ $\in$ [300; 399).

Do đó $Q_3=300+\frac{\frac{62}{4}.3-38}{14}.\left(399-300\right)=\frac{10083}{28}$.

Vậy ${\Delta }_Q=\frac{10083}{28}-176,725\approx 183,38$.

Xét loài B.

Cỡ mẫu n = 35 + 30 + 20 + 15 = 100.

Giả sử y₁; …; y₁₀₀ là chiều cao của 100 cây hoa loài B và được sắp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{y_{25}+y_{26}}{2}$, mà y₂₅; y₂₆ $\in$ [100; 199).

Ta có $Q_1=100+\frac{\frac{100}{4}-0}{35}.\left(199-100\right)=\frac{1195}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{y_{75}+y_{76}}{2}$, mà y₇₅; y₇₆ $\in$ [300; 399).

Ta có $Q_3=300+\frac{\frac{100.3}{4}-65}{20}.\left(399-300\right)=\frac{699}{2}$.

Vậy ${\Delta }_Q=\frac{699}{2}-\frac{1195}{7}=\frac{2503}{14}$.

Chiều cao của loài A có độ phân tán nhiều hơn.

Bài 4. An tìm hiểu hàm lượng chất béo (đơn vị: g) có trong 100 g mỗi loại thực phẩm. Sau khi thu thập dữ liệu về 60 loại thực phẩm, An lập được bảng thống kê

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê hàm lượng chất béo theo giá trị đại diện

Giá trị trung bình là:

$\overline{x}=\frac{2.4+6.8+10.12+13.16+16.20+13.24}{60}\approx 16,9$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{2.4}^2+{6.8}^2+{10.12}^2+{13.16}^2+{16.20}^2+{13.24}^2}{60}-{\left(16,9\right)}^2\approx 32,25$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s=\sqrt{32,25}\approx 5,68$.

Bài 5. Khảo sát cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam), ta có mẫu số liệu sau

Xác định cân nặng trung bình, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Ta có mẫu số liệu theo giá trị đại diện như sau

Cân nặng trung bình là

$\overline{x}=\frac{1.17,5+1.32,5+10.37,5+17.42,5+1.52,5}{30}=40$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s^2=\frac{1.17,5^2+1.32,5^2+10.37,5^2+17.42,5^2+1.52,5^2}{30}-{40}^2\approx 29,58$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s=\sqrt{29,58}\approx 5,44$.

Bài 6. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên và so sánh cân nặng cam ở lô hàng nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Ta có mẫu số liệu số lượng cam theo giá trị đại diện

Xét lô hàng A.

Cân nặng trung bình của mỗi quả là

$\overline{x_1}=\frac{2.152,5+6.157,5+12.162,5+4.167,5+1.172,5}{25}=161,7$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s_1^2=\frac{2.152,5^2+6.157,5^2+12.162,5^2+4.167,5^2+1.172,5^2}{25}-{\left(161,7\right)}^2=21,36$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_1=\sqrt{21,36}\approx 4,62$.

Xét lô hàng B.

Cân nặng trung bình của mỗi quả là

$\overline{x_2}=\frac{1.152,5+3.157,5+7.162,5+10.167,5+4.172,5}{25}=165,1$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s_2^2=\frac{1.152,5^2+3.157,5^2+7.162,5^2+10.167,5^2+4.172,5^2}{25}-{\left(165,1\right)}^2=26,24$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_2=\sqrt{26,24}\approx 5,12$.

Dựa vào phương sai và độ lệch chuẩn ta thấy lô hàng A khối lượng các quả cam đồng đều hơn.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. Tổng số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

B. Hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

C. Tổng số giữa hai đầu mút của nhóm bất kì có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

D. Hiệu số giữa hai đầu mút của nhóm bất kì có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Bài 2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. Hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

B. Tổng giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

C. Hiệu giữa hai tứ phân vị bất kì của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

D. Tổng giữa hai tứ phân vị bất kì của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Bài 3. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bởi công thức:

A. $s=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)$.

B. $s=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

C. $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

D. $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bởi công thức:

$s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

Bài 4. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng:

A. Căn bậc hai số học của phương sai.

B. Một nửa căn bậc hai số học của phương sai.

C. Căn bậc ba của phương sai.

D. Căn bậc hai số học của phương sai trừ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng căn bậc hai số học của phương sai.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: