Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 5: Đường tròn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 5: Đường tròn

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 5: Đường tròn

1. Khái niệm đường tròn

Khái niệm đường tròn:Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp các điểm cách điểm O một khoảng bằng R (R > 0), kí hiệu là (O; R).

Chú ý:

⦁ Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính (hình vẽ trên).

⦁ Khi không quan tâm đến bán kính của đường tròn (O; R), ta cũng có thể kí hiệu đường tròn là (O).

Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn:

⦁ Khi điểm M thuộc (nằm trên) đường tròn (O), ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm M, thì OM = R và ngược lại (Hình a).

⦁ Khi điểm M nằm bên trong (nằm trong/ ở trong) đường tròn (O), thì OM < R và ngược lại (Hình b).

⦁ Khi điểm M nằm bên ngoài (nằm ngoài/ ở ngoài) đường tròn (O), thì OM > R và ngược lại (Hình c).

2. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

Khái niệm dây (dây cung) của đường tròn: Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

Chú ý: Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

3. Tính đối xứng của đường tròn

3.1. Tâm đối xứng của đường tròn

⦁Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

⦁Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

3.2. Trục đối xứng của đường tròn

⦁Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

⦁Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

4.1. Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.Mỗi điểm chung của hai đường tròn cắt nhau được gọi là một giao điểm của hai đường tròn đó.

Ở hình vẽ trên, hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai giao điểm là A và B.

Nhận xét: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R ≥ r. Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì R – r < OO’ < R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

4.2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn có đúng một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại điểm chung đó).Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm.

Ta có hai trường hợp về hai đường tròn tiếp xúc nhau: hai đường tròn tiếp xúc ngoài (Hình a), hai đường tròn tiếp xúc trong (Hình b).

Nhận xét: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r).

⦁ Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài (Hình a) thì tiếp điểm A nằm giữa O, O’ và OO’ = R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

⦁ Giả sử R > r. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong (Hình b) thì điểm O’ nằm giữa O, A và OO’ = R – r. Điều ngược lại cũng đúng.

4.3. Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

Ta có hai trường hợp về hai đường tròn không giao nhau: hai đường tròn ở ngoài nhau (Hình a); đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) (Hình b, c).

Nhận xét: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r).

⦁ Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau (Hình a) thì OO’ > R + r. Điều ngược lại cũng đúng.

⦁ Giả sử R > r. Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) (Hình b, c) thì OO’ < R – r. Điều ngược lại cũng đúng.

Chú ý: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R), (O’; r) (R ≥ r) thông qua hệ thức giữa OO’ với R và r được tóm tắt trong bảng sau:

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

5.1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

⦁Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

⦁Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại (hình vẽ).

5.2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

⦁Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.

⦁Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R và ngược lại (hình vẽ).

5.3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại (hình vẽ).

Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	2	d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	1	d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	d > R

6. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình vẽ trên, đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) do OH ⊥ a tại H thuộc (O; R).

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn)

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Nhận xét: Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). ta có thể vẽ đường thẳng đi qua điểm I và tiếp xúc với đường tròn (O) như sau:

– Vẽ trung điểm K của đoạn thẳng IO;

– Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO, cắt đường tròn (O) tại một giao điểm M.

Khi đó đường thẳng IM là một tiếp tuyến cần vẽ.

7. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (hình vẽ).

Góc AOB được gọi là góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm; góc AMB được gọi là góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Định lí: (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn)

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

⦁ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;

⦁ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

⦁ Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

8. Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ở hình vẽ dưới đây, góc AOB là góc ở tâm.

Nhận xét: Đường kính chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần được gọi là nửa đường tròn.

9. Cung. Số đo cung

9.1. Cung

⦁ Phần đường tròn nối liền hai điểm A, B trên đường tròn được gọi là một cung (hay cung tròn) AB, kí hiệu $\stackrel{⏜}{AB}.$

⦁Cho hình vẽ:

– Cung nằm bên trong góc ở tâm AOB được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AmB}.$ Ta còn nói $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AmB.

– Cung nằm bên ngoài góc ở tâm AOB được gọi là cung lớn, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AnB}.$

– Nếu có điểm C (khác A và B) thuộc $\stackrel{⏜}{AmB}$ thì ta cũng nói cung này là $\stackrel{⏜}{ACB}.$

– Nếu có điểm D (khác A và B) thuộc $\stackrel{⏜}{AnB}$ thì ta cũng nói cung này là $\stackrel{⏜}{ADB}.$

9.2. Số đo của cung

Mỗi cung có một số đo:

⦁ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

⦁ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

⦁ Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

⦁ Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ$\stackrel{⏜}{AB}.$

Ta quy ước: Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo 360°.

Nhận xét:

⦁ Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng 180°.

⦁ Trong Hình a, ta có: sđ$\stackrel{⏜}{AmB}=\widehat{AOB};$ sđ$\stackrel{⏜}{AnB}=360°-$sđ$\stackrel{⏜}{AmB}=360°-\widehat{AOB}.$

⦁ Cho C là một điểm nằm trên cung AB (Hình b), khi đó ta nói: Điểm C chia cung AB thành hai cung AC và CB.

⦁ Ta có thể chứng minh được rằng nếu C là một điểm nằm trên cung AB (Hình b) thì

$sđ\stackrel{⏜}{ACB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

10. Góc nội tiếp

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cung nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.

Định lí: Mỗi góc ở tâm có số đo gấp hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Nhận xét: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Hệ quả:

⦁Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

⦁Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 90°.

⦁Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

11. Độ dài cung tròn

⦁ Chu vi của đường tròn đường kính d là C = πd.

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là C = 2πR.

Định lí: Trong một đường tròn bán kính R, độ dài của cung tròn có số đo n° (hình vẽ) là: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

12. Diện tích hình quạt tròn

⦁ Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O; R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là S = πR².

⦁Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Trong hình vẽ trên, ta có hình quạt tròn AOB, tâm O, bán kính R, cung ứng với hình quạt có số đo n° (số đo n° được hiểu là số đo cung AB giới hạn hình quạt tròn đó).

⦁Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}.$

Nhận xét: Gọi l là độ dài của cung tròn có số đo n° trong một hình tròn bán kính R thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}\cdot \frac{R}{2}=\frac{lR}{2}.$

13. Diện tích hình vành khuyên

⦁ Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên.

⦁ Hình vành khuyên (tô màu vàng) giới hạn bởi hai đường tròn (O; R) và (O; r) (với R > r) có diện tích là:

S = π(R² – r²).

B. Bài tập Toán 9 Chương 5: Đường tròn

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và ... thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.” Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là

A. song song với bán kính đi qua điểm đó;

B. vuông góc với bán kính đi qua điểm đó;

C. song song với bán kính đường tròn;

D. vuông góc với bán kính bất kì.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Góc ở tâm là góc

A. có đỉnh nằm trên đường tròn;

B. có hai cạnh là hai dây của đường tròn;

C. có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn;

D. có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Hình nào sau đây biểu diễn góc nội tiếp?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình 1 biểu diễn góc ở tâm $\widehat{AOB}$ vì có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hình 2 biểu diễn góc nội tiếp $\widehat{DEF}$ vì có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh DE, DF chứa hai dây cung của đường tròn.

Hình 3, Hình 4 không phải là góc nội tiếp vì có đỉnh không nằm trên đường tròn.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là

A. 60°;

B. 90°;

C. 120°;

D. 180°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là 90°.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 5. Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 3 cm) và (O; 7 cm) có diện tích bằng

A. 40π cm²;

B. 4π cm²;

C. 40 cm²;

D. 4 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vành khuyên đó là:

S = π(7² – 3²) = 40π (cm²).

Bài 6. Cho đường tròn (O; 5 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng $OA=2\sqrt{2}$ cm và OB = 5 cm. Khi đó:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O);

B. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O);

C. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O);

D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm.

Vì $2\sqrt{2}$ cm < 5 cm nên OA < R, do đó điểm A nằm trong đường tròn (O).

Vì OB = R = 5 cm nên điểm B nằm trên đường tròn (O).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 7. Đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Vậy đường tròn có vô số trục đối xứng.

Bài 8. Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn;

B. đường thẳng cắt đường tròn;

C. đường thẳng và đường tròn không giao nhau;

D. đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 9. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm. Lấy điểm I trên đường thẳng a và vẽ đường tròn (I; 3 cm). Khi đó đường tròn tâm I với đường thẳng b

A. cắt nhau;

B. tiếp xúc;

C. không giao nhau;

D. đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (I) có R = 3 cm.

Ta có a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm.

Mà I thuộc đường thẳng a.

Suy ra điểm I cách đường thẳng b một khoảng bằng 3,5 cm nên d = 3,5 cm.

Vì 3,5 cm > 3 cm nên d > R.

Vậy đường tròn (I) và đường thẳng b không giao nhau.

Bài 10. Cho đường tròn tâm O, bán kính 3 cm và một điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O), với B là tiếp điểm. Độ dài AB là

A. 3 cm;

B. 4 cm;

C. 5 cm;

D. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB = R = 3 cm và OB ⊥ AB tại B.

Lại có điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm nên OA = 5 cm.

Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OB² + AB²

Suy ra AB² = OA² – OB² = 5² – 3² = 16.

Do đó AB = 4 (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

II. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho đường tròn (O), đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) nằm trên đường tròn (O), ta đều có BC < AB + AC < 2BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC, ta có: BC < AB + AC (1)

Đường tròn (O), có: AB là dây cung, BC là đường kính nên AB < BC.

Chứng minh tương tự, ta được AC < BC.

Khi đó AB + AC < BC + BC = 2BC (2)

Từ (1), (2), ta có: BC < AB + AC < 2BC.

Bài 2. Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d; C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao?

b) Chứng minh rằng AB // CD.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Hướng dẫn giải

a) ⦁Ta có B là điểm đối xứng với A thuộc (O) qua d, mà d đi qua O nên điểm B cũng nằm trên (O).

⦁Ta có C là điểm đối xứng với A thuộc (O) qua O nên C thuộc (O).

⦁Ta có D là điểm đối xứng với Bthuộc (O) qua O nên C thuộc (O).

Vậy ba điểm B, C và D thuộc (O).

b) Xét ∆OAB và ∆OCD, có:

OA = OC = R (do A, C cùng thuộc (O));

OB = OD = R (do B, D cùng thuộc (O));

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (đối đỉnh).

Do đó ∆OAB = ∆OCD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

c) Ta có AB // CD (câu b) và d ⊥ AB (do A và B đối xứng với nhau qua d) nên d ⊥ CD.

Tam giác OCD cân tại O (do OC = OD = R) có d là đường cao nên d cũng là đường trung trực của tam giác OCD.

Vậy C và D đối xứng với nhau qua d.

Bài 3.Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) trong mỗi trường hợp sau:

a) OO’ = 20; R = 8; R’ = 4.

b) OO’ = 15; R = 8; R’ = 7.

c) OO’ = 6; R = 9; R’ = 4.

d) OO’ = 1; R = 7; R’ = 5.

e) OO’ = 4; R = 6;R’ = 2.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: R + R’ = 8 + 4 < 20 nên R + R’ < OO’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ở ngoài nhau.

b) Ta thấy: R + R’ = 8 + 7 = 15 nên R + R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài.

c) Ta thấy: 9 – 4 < 6 < 9 + 4 nên R – R’ < OO’ < R + R’.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau.

d) Ta thấy: R – R’ = 7 – 5 > 1 nên R – R’ > OO’.

Vậy đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O’; R’).

e) Ta thấy: R – R’ = 6 – 2 = 4 nên R – R’ = OO’.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

Bài 4. Cho điểm O cách đường thẳng a một khoảng bằng 6 cm. Vẽ đường tròn (O; 10 cm).

a) Chứng minh rằng đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau.

b) Gọi hai giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng a lần lượt là B và C. Tính chu vi tam giác OBC.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O) có R = 10 cm.

Ta có điểm O cách đường thẳng một khoảng bằng 6 cm nên d = 6 cm.

Vì 6 cm < 10 cm nên d < R.

Vậy đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Kẻ OH ⊥ BC tại H.Suy ra OH = d = 6 cm.

Ta có OB = OC = R = 10 cm.

Tam giác OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB² = OH² + BH²

Suy ra BH² = OB² – OH² = 10² – 6² = 64.

Do đó BH = 8 (cm).

Tam giác OBC cân tại O (do OB = OC = R = 10 cm) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến của tam giác OBC.

Do đó H là trung điểm BC, nên BC = 2BH = 2.8 = 16 (cm).

Chu vi tam giác OBC là:

OB + OC + BC = 10 + 10 + 16 = 36 (cm).

Vậy chu vi tam giác OBC bằng 36 cm.

Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD $\left(\hat{A}=\hat{D}=90°\right),$> AB = 4 cm, BC = 13 cm và CD = 9 cm.

a) Tính AD.

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

Hướng dẫn giải

a) Kẻ BH ⊥ CD tại H.

Ta có $\widehat{BHD}=\widehat{BAD}=\widehat{ADH}=90°$

Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật.

Do đó AD = BH và DH = AB = 4 (cm).

Ta có CH = CD – DH = 9 – 4 = 5 (cm).

Tam giác BHC vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = BH² + HC²

Suy ra BH² = BC² – HC² = 13² – 5² = 144.

Do đó BH = 12 (cm).

Khi đó, AD = BH = 12 (cm).

b) Gọi O, N lần lượt là trung điểm của BC và BH.

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác BHC.

Do đó $ON=\frac{1}{2}HC=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5\text{(cm)}$ và ON // HC.

Mà HC ⊥ AD nên ON ⊥ AD.

Gọi M là giao điểm của ON và AD, khi đó OM ⊥ AD tại M. (1)

Xét tứ giác AMNB có $\widehat{AMN}=\widehat{MAB}=\widehat{ABN}=90°$ nên AMNB là hình chữ nhật.

Do đó MN = AB = 4 cm.

Ta có OM = ON + MN = 2,5 + 4 = 6,5 cm.

Suy ra $OM=\frac{1}{2}BC.$ (2)

Từ (1), (2), ta có khoảng cách từ tâm O của đường tròn đường kính BC đến đường thẳng AD bằng OM và bằng bán kính của đường tròn đường kính BC.

Vậy đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và dây $AB=\frac{8R}{5}.$ Vẽ một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) và song song với AB, cắt các tia OA, OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra $AI=\frac{AB}{2}=\frac{4R}{5}$.

Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) có OI là đường trung tuyến nên OI cũng đồng thời là đường cao của tam giác.

Tam giác OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OI² + AI²

Suy ra $O{I}^2=O{A}^2-A{I}^2=R^2-\frac{16R^2}{25}=\frac{9R^2}{25}.$

Do đó $OI=\frac{3R}{5}.$

Ta có: $S_{OAB}=\frac{1}{2}OI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3R}{5}\cdot \frac{8R}{5}=\frac{12R^2}{25}$ (đơn vị diện tích).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng MN với đường tròn (O).

Suy ra OH ⊥ MN và OH = R.

Mà MN // AB nên OH ⊥ AB.

Xét ∆OAB có MN // AB, theo định lí Thalès, ta có $\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{OM}=\frac{AB}{MN}$

Ta có:$\frac{S_{OAB}}{S_{OMN}}=\frac{\frac{1}{2}.OI.AB}{\frac{1}{2}OH.MN}=\frac{OI}{OH}.\frac{AB}{MN}={\left(\frac{OI}{OH}\right)}^2=\frac{O{I}^2}{O{H}^2}=\frac{\frac{9R^2}{25}}{R^2}=\frac{9}{25}$

Suy ra $S_{OMN}=\frac{25}{9}.S_{OAB}=\frac{25}{9}.\frac{12R^2}{25}=\frac{4R^2}{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích tam giác OMN bằng $\frac{4R^2}{3}$ (đơn vị diện tích).

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (B), có: BD = BA.

Xét đường tròn (C), có: CD = CA.

Xét ∆ABC và ∆DBC, có:

BA = BD;

CA = CD;

Cạnh BC là cạnh chung.

Do đó ∆ABC = ∆DBC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=90°$ hay CD ⊥ BD tại D, mà D thuộc (B; BA)

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Bài 8. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), với B, C là tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của đoạn BC.

b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD // AO.

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.

Hướng dẫn giải

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn BC (1)

Lại có OA = OB = R.

Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn BC (2)

Từ (1), (2), ta thu được OA là đường trung trực của đoạn BC.

b) Tam giác BCD có OB = OC = OD = R và O là trung điểm CD (do CD là đường kính của (O)).

Do đó tam giác BCD vuông tại B hay BD ⊥ BC.

Mà AO ⊥ BC (do OA là đường trung trực của đoạn BC)

Vậy AO // BD.

c) Ta có OM ⊥ OB nên $\widehat{MOA}+\widehat{AOB}=90°$ (3)

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{MAO}=\widehat{OAB}$ (4)

Ta có tam giác OAB vuông tại B (do AB là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra $\widehat{AOB}+\widehat{OAB}=90°$ (5)

Từ (3), (4), (5), ta thu được $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}.$

Do đó tam giác AMO cân tại M.

Vậy MA = MO.

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A}<90°.$ Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân.

b) $\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Hướng dẫn giải

Vì D, E nằm trên đường tròn đường kính AB nên $\widehat{ADB},\widehat{AEB}$> là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó

$\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90°.$

Suy ra AD ⊥ BC và BE ⊥ AC.

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên AD cũng là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó D là trung điểm BC nên $DB=DC=\frac{1}{2}BC.$

Tam giác BEC vuông tại C có ED là đường trung tuyếnứng với cạnh huyền BC nên $ED=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra DE = DB = DC.

Vậy tam giác BDE cân tại D.

b) Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên AD cũng là đường phân giác của tam giác ABC, do đó $\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE của đường tròn đường kính AB)

Do đó $\widehat{DBE}=\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Vậy $\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Bài 10. Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng $\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}.$

Hướng dẫn giải

Vì SM là tiếp tuyến của (O) tại M nên $\widehat{OMS}=90°.$

Tam giác OMS vuông tại M, có: $\widehat{O_1}+\widehat{OSM}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=90°$ (do AB ⊥ CD) nên $\widehat{OSM}=\widehat{O_2}.$ (1)

Mặt khác, $\widehat{O_2}$ và $\widehat{MBA}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM của đường tròn (O) nên $\widehat{MBA}=\frac{1}{2}\widehat{O_2}$ hay $\widehat{O_2}=2\widehat{MBA}.$ (2)

Từ (1), (2), ta có $\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}.$

Bài 11. Một cái bàn tròn phục vụ trong nhà hàng có chu vi là 64π dm.

a) Tính độ dài cung 90° của cái bàn đó.

b) Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi độ dài cung vừa tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của cái bàn đó là: $R=\frac{64\pi }{2\pi }=32$ (dm).

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l=\frac{\pi \cdot 32\cdot 90}{180}=16\pi$ (dm).

b) Diện tích hình quạt tròn cần tìm là:

$S=\frac{16\pi \cdot 32}{2}=256\pi$ (dm²).

Bài 12. Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa đường tròn bán kính 2 dm (như hình vẽ). Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,5 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hướng dẫn giải

Bán kính phần rỗng (không có giấy) của chiếc quạt là:

r = 2 – 1,5 = 0,5 (dm).

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:

S = π(2² – 0,5²) = 3,75π ≈ 11,78 (dm²).

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt khoảng 11,78 dm².