Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực

– Trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

⦁ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.

⦁ Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

⦁ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

– Chú ý:

⦁ Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì a < b hay b > a.

⦁ Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.

⦁ Với  hai số thực a, b, ta có:

ab > 0 khi a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại;

ab < 0 khi a, b trái dấu và ngược lại.

⦁ Với mỗi số thực a, ta có a² ≥ 0. Ngoài ra, a² = 0 khi a = 0 và ngược lại.

⦁ Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$ và ngược lại.

2. Bất đẳng thức

2.1. Khái niệm

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c < d (hay a > b và c > d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c > d (hay a > b và c < d) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Ví dụ 2. Ví dụ hai bất đẳng thức cùng chiều là: $3>\sqrt{8}$ và $\sqrt{10}>3.$

Ví dụ hai bất đẳng thức ngược chiều là: $\sqrt{10}>3$ và $\sqrt{10}<4.$

2.2. Tính chất

Với hai số thực a và b, ta có:

⦁ Nếu a > b thì a – b > 0. Ngược lại, nếu a – b > 0 thì a > b.

⦁ Nếu a < b thì a – b < 0. Ngược lại, nếu a – b < 0 thì a < b.

⦁ Nếu a ≥ b thì a – b ≥ 0. Ngược lại, nếu a – b ≥ 0 thì a ≥ b.

⦁ Nếu a ≤ b thì a – b ≤ 0. Ngược lại, nếu a – b ≤ 0 thì a ≤ b.

Nhận xét: Dựa vào các khẳng định nêu trên, để chứng minh a > b, ta có thể chứng minh a – b > 0 hoặc chứng minh b – a < 0.

Ví dụ 3. Cho a < b, hãy so sánh:

a) 3a và 2a + b.

b) 2b + 3a và 4a + b – 1.

Hướng dẫn giải

Do a < b nên a – b < 0 và b – a > 0.

a) Xét hiệu: 3a – (2a + b) = 3a – 2a – b = a – b.

Do a – b < 0 nên 3a – (2a + b) < 0 hay 3a < 2a + b.

b) Xét hiệu: (2b + 3a) – (4a + b – 1) = 2b + 3a – 4a – b + 1 = (b – a) + 1.

Do b – a > 0 và 1 > 0 nên (b – a) + 1 > 0.

Vậy (2b + 3a) – (4a + b – 1) > 0 hay 2b + 3a > 4a + b – 1.

Một số tính chất của bất đẳng thức:

(1) Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

  ⦁ Nếu a > b thì a + c > b + c với mọi số thực c.

  ⦁ Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c với mọi số thực c.

(2) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

  ⦁ Nếu a > b thì ac > bc;

  ⦁ Nếu a < b thì ac < bc;

  ⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc;

  ⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc.

(3) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có:

  ⦁ Nếu a > b thì ac < bc;

  ⦁ Nếu a < b thì ac > bc;

  ⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc;

  ⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc.

(4) Nếu a > b và b > c thì a > c.

3. Mở đầu vế bất phương trình một ẩn

– Khái niệm bất phương trình một ẩn: Một bất phương trình với ẩn x có dạng A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

– Khái niệm nghiệm của bất phương trình một ẩn: Khi thay giá trị x = a vào bất phương trình với ẩn x, ta được một khẳng định đúng thì số a (hay giá trị x = a) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Chú ý: Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

4.1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

4.2. Cách giải

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a > 0) được giải như sau:

ax + b > 0

       ax > –b

          $x>-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a < 0) được giải như sau:

ax + b > 0

       ax > –b

          $x<-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Chú ý: Các bất phương trình bậc nhất ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ta xét ví dụ sau:

Để giải bất phương trình x + 2 < 2 + 3x, ta làm như sau:

x + 2 < 2 + 3x

x + 2 – 3x < 2      ← Cộng cả hai vế với –3x

–2x < 0                ← Cộng cả hai vế với –2

    x > 0                ← Nhân cả hai vế với $-\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 0.

Nhận xét: Bằng cách tương tự như trên, ta có thể giải được các bất phương trình dạng: ax + b > cx + d;  ax + b < cx + d;  ax + b ≥ cx + d;  ax + b ≤ cx + d (với a ≠ c).

2.3. Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đối với bất phương trình

Đối với bất phương trình, ta có các quy tắc sau:

– Quy tắc chuyển vế: Trong một bất phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.

– Quy tắc nhân với một số (gọi tắt là quy tắc nhân): Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

  ⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

  ⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Chú ý: Nhân cả hai vế với $\frac{1}{a}\left(a\ne 0\right)$ cũng có nghĩa là chia cả hai vế cho a. Do đó, quy tắc nhân còn có thể phát biểu như sau:

Khi chia hai vế của bất phương trình cho cùng một số khác 0, ta phải:

⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

B. Bài tập Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là

A. n lớn hơn 3.

B. n nhỏ hơn 3.

C. n không nhỏ hơn 3.

D. n không lớn hơn 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là “n nhỏ hơn hoặc bằng 3” hoặc cũng có thể phát biểu là “n không lớn hơn 3”.

Bài 2. Cho các số thực x, y, z và x < y. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. x + z < y + z.

B. xz < yz nếu z là số âm.

C. xz < yz nếu z là số dương.

D. x – z < y – z.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu x < y và z < 0 thì xz > yz.

Vậy khẳng định ở phương án B là sai.

Bài 3. Trong các bất phương trình sau, đâu nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + 7 < 0.

B. 0x + 6 > 0.

C. x² – 2x > 0.

D. x – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Dựa vào định nghĩa trên, ta có:

⦁ Bất phương trình ở phương án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

⦁ Bất phương trình ở phương án B không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có a = 0.

⦁ Bất phương trình ở phương án C không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có x².

⦁ Bất phương trình ở phương án D không là bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 7 – x < 2x.

B. 2x + 3 > 9.

C. –4x ≥ x + 5.

D. 5 – x > 6x – 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay x = 2 vào từng bất phương trình ta có:

⦁ 7 – 2 < 2.2 là khẳng định sai;

⦁ 2.2 + 3 > 9 là khẳng định sai;

⦁ –4.2 ≥ 2 + 5 là khẳng định sai;

⦁ 5 – 2 > 6.2 – 12 là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 5. Với giá trị nào của m thì bất phương trình m(2x + 1) – x < 0 là bất phương trình bậc nhất ẩn x?

A. m ≠ 0.

B. m ≠ 1.

C. $m\ne \frac{1}{2}.$

D. $m\ne -\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: m(2x + 1) – x < 0

           m.2x + m – x < 0

           (2m – 1)x + m < 0. (*)

Để bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn x hay bất phương trình (*) là bất phương trình bậc nhất ẩn x, thì 2m – 1 ≠ 0, tức $m\ne \frac{1}{2}.$

Vậy ta chọn phương án C.

II. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho a > b, hãy so sánh:

a) a – 2 và  b – 2.

b) –5a và –5b.

c) 10 – 3a và 10 – 3b.

d) 12a + 1 và 12b – 4.

e) 2 – 9a và 5 – 9b.

Hướng dẫn giải

a) Do a > b nên a – 2 > b – 2.

b) Do a > b nên –5a < –5b.

c) Do a > b nên –3a < –3b, suy ra 10 – 3a < 10 – 3b.

d) Do a > b nên 12a > 12b, suy ra 12a + 1 > 12b + 1.

Mà 12b + 1 > 12b + 1 – 5 hay 12b + 1 > 12b – 4.

Vậy 12a + 1 > 12b – 4.

e) Do a > b nên –9a < –9b, suy ra 2 – 9a < 2 – 9b.

Mà 2 – 9b < 2 – 9b + 3 hay 2 – 9b < 5 – 9b.

Vậy 2 – 9a < 5 – 9b.

Bài 2. Cho x > 0, chứng minh rằng $x+\frac{1}{x}\ge 2.$

Hướng dẫn giải

Ta có (x – 1)² ≥ 0 với mọi x, suy ra x² + 1 ≥ 2x.

Vì x > 0 nên $\frac{x^2+1}{x}\ge \frac{2x}{x},$ hay $\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}\ge 2.$

Vậy $x+\frac{1}{x}\ge 2.$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 3x + 2 > 0.

b) –x + 7 ≥ x – 3.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3.

Hướng dẫn giải

a) 3x + 2 > 0

          3x > –2

          $x>\frac{-2}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{-2}{3}.$

b) –x + 7 ≥ x – 3

    –x – x ≥ – 3 – 7

   –2x ≥ –10

       x ≤ 5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 5.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0

    –2x + 3x – 3 ≤ 0

                x ≤ 3.

 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3

    –2x – 6 + 5x – 5 < 2x + 3

                  3x – 11 < 2x + 3

                  3x – 2x < 3 + 11

                            x < 14.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 14.

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x.$

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

$\frac{4\left(2x-3\right)}{12}\ge \frac{3\left(3x-2\right)}{12}$

4(2x – 3) ≥ 3(3x – 2)

8x – 12 ≥ 9x – 6

8x – 9x ≥ – 6 + 12

        –x ≥ 6

          x ≤ –6.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –6.

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x$

$\frac{3\left(3x+5\right)}{6}-\frac{6}{6}\le \frac{2\left(x+2\right)}{6}+\frac{6x}{6}$

3(3x + 5) – 6 ≤ 2(x + 2) + 6x

 9x + 15 – 6 ≤ 2x + 4 + 6x

9x – 2x – 6x ≤ 4 – 15 + 6

                  x ≤ –5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –5.

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}$

$\left(\frac{x+2}{6}+1\right)+\left(\frac{x+5}{3}+1\right)>\left(\frac{x+3}{5}+1\right)+\left(\frac{x+6}{2}+1\right)$

$\frac{x+2+6}{6}+\frac{x+5+3}{3}-\frac{x+3+5}{5}-\frac{x+6+2}{2}>0$

$\frac{x+8}{6}+\frac{x+8}{3}-\frac{x+8}{5}-\frac{x+8}{2}>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{5}{30}+\frac{10}{30}-\frac{6}{30}-\frac{15}{30}\right)>0$

$\left(x+8\right)\cdot \frac{-6}{30}>0$

x + 8 < 0

x < –8.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –8.

Bài 5. Bạn An đi taxi công nghệ đến trường, biết rằng đi taxi công nghệ rẻ bằng nửa giá mỗi km so với đi taxi truyền thống nhưng chịu giá mở cửa xe là 12 000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng bạn An phải trả số tiền lớn hơn 42 000 đồng và nhỏ hơn 52 000 đồng. Tính số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường, biết nếu đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bạn An phải trả khi đi taxi truyền thống là x (đồng). (x > 0)

Khi đó, số tiền bạn An phải trả khi đi taxi công nghệ là $\frac{x}{2}+12000$ (đồng).

Theo bài, ta có bất phương trình:

$\frac{x}{2}+12000>42000\left(1\right)$ và $\frac{x}{2}+12000<52000\left(2\right)$

Giải bất phương trình (1):

$\frac{x}{2}+12000>42000$

$\frac{x}{2}>30000$

x > 60 000. (*)

Giải bất phương trình (2):

$\frac{x}{2}+12000<52000$

$\frac{x}{2}<40000$

x < 80 000. (**)

Từ (*) và (**) ta có 60 000 < x < 80 000.

Mà khi đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn nên ta có x = 70 000.

Vậy số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường là 70 000 đồng.