Với lời giải Toán 11 trang 71 Tập 2 chi tiết trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Luyện tập 12 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e^{3x + 1}

b)y = log₃(2x – 3)

Lời giải:

a) Đặt u = 3x + 1, ta có y = e^u.

Khi đó ${y^{\text{'}}}_u={\left(e^u\right)}^{\text{'}}=e^u$ và ${u^{\text{'}}}_x=3.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: 

              ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x=e^u\cdot 3=3e^u=3e^{3x+1}.$

b) Đặt u = 2x – 3, ta có y = log₃u.

Khi đó ${y^{\text{'}}}_u={\left(lo{g}_{3}u\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{u\ln 3}$ và ${u^{\text{'}}}_x=2.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x=\frac{1}{u\ln 3}\cdot 2=3=\frac{2}{u\ln 3}=\frac{2}{\left(2x-3\right)\ln 3}.$

Bài tập

Bài 1 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)' = u' + v' + w';

b) (u + v – w)' = u' + v' – w';

c) (uv)' = u'v';

d) ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{v^{\text{'}}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

Lời giải:

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)' = u'v + uv'.

Phát biểu (d) sai vì ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^2}.$

Bài 2 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u .  v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Lời giải:

Đặt g = u . v và h = g . w.

Khi đó h' = g' . w + g . w'

              = (uv)' . w + (uv) . w'

             = (u'v + uv') . w + (uv) . w'

              = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Bài 3 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x³ – 3x² + 2x + 10;

b,$y=\frac{x+1}{x-1};$

c)$y=-2x\sqrt{x};$  

d) y = 3sinx + 4cosx – tanx;

e) y = 4^x + 2e^x;             

g) y = xlnx.

Lời giải:

a) y' = (4x³)' – (3x²)' + (2x)' + (10)'

        = 4.3.x² – 3.2.x + 2.1

        = 12x² – 6x + 2.

b) $y^{\text{'}}={\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}\left(x-1\right)-\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$

       $=\frac{1\cdot \left(x-1\right)-\left(x+1\right)\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x-1-x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}.$

c) $y^{\text{'}}= {\left(-2x\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}={\left(-2x\right)}^{\text{'}}\cdot \sqrt{x} +\left(-2x\right)\cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

      $=-2\cdot \sqrt{x}-2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}-\sqrt{x}=-3\sqrt{x}.$   

d) y’ = (3sinx)' + (4cosx)' – (tanx)'

       $=3cosx–4sinx-\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

e) y' = (4^x)' + (2e^x)'

= 4^xln4 + 2e^x.

g) y' = (xlnx)' = (x)'.lnx + x.(lnx)'

       $=1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1.$

Bài 4 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2^{3x + 2}.

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x)

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = 2^{3x + 2} và u = 3x + 2, ta có y = 2^{3x + 2} = 2^u.

Vậy y = f(x) = 2^{3x + 2} là hàm hợp của 2 hàm số y = 2^u, u = 3x + 2.

b) Từ y = 2^u và u = 3x + 2, ta có ${y^{\text{'}}}_u={\left(2^u\right)}^{\text{'}}=2^u\ln 2$ và ${u^{\text{'}}}_x=3.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x=2^u\ln 2\cdot 3=3\ln 2\cdot 2^u=3\ln 2\cdot 2^{3x+2}.$