Với lời giải Toán 11 trang 66 Tập 2 chi tiết trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 2: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2

Lời giải:

Ta có:f’(x)= –sinx

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 là: f’(2) = –sin2

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{tan\left(x+\Delta x\right)–tanx}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)}{\cos \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x-\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x-x\right)}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=1\cdot \frac{1}{\cos \left(x+0\right)\cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ) là $y\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$ là: 

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{4}{3}$

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cot\left(x+\Delta x\right)–cotx}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)}{\sin \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x-\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x-x-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\left(-1\right)\cdot \frac{1}{\sin \left(x+0\right)\sin x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$ là:

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\left(-\frac{\pi }{3}\right)}=-\frac{1}{{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{-4}{3}.$