Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip | Kết nối tri thức

Huyen Luong Ngày: 12-08-2022 Lớp 10

9.2 K

Tailieumoi.vn giới thiệu giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip hay, chi tiết sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

1. Hình dạng của eclip

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (H.3.1).

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Lời giải:

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $(x_{A_{1}}; 0) .$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{_{A_{1}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{1}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{1}} = a \\ x_{A_{1}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{1}} < 0 \Rightarrow x_{A_{1}} = - a$ ⇒ A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow x_{A_{2}} = a$ ⇒ A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $(0; y_{B_{1}}) .$

Mà B₁ thuộc elip nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{1}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{1}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{1}} = b \\ y_{B_{1}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{1}} > 0 \Rightarrow y_{B_{1}} = - b$ ⇒ B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $(0; y_{B_{2}}) .$

Mà B₂ thuộc elip nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{_{B_{2}}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y_{_{B_{2}}}^{2} = b^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} y_{B_{2}} = b \\ y_{B_{2}} = - b \end{array} .$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_{2}} > 0 \Rightarrow y_{B_{2}} = b$ ⇒ B₂(0; b).

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Ta có:

$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

OM² = $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$

mà $b^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + a^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$

hay $b^{2} (\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2} (\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}})$

hay $b^{2} < a^{2} . \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + b^{2} . \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < a^{2}$ nên b² < OM² < a².

Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.

– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 5² – 3² = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10: (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$ .

Lời giải:

a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N). Khi đó $\vec{H N} = (x_{N} - x_{0}; y_{N} - 0) = (x_{N} - x_{0}; y_{N}) .$

Vì HN = kHM nên $\vec{H N} = k \vec{H M} .$ Mà $\vec{H M}$ = (x₀ - x₀; y₀ - 0) = (0; y₀) nên

$\{\begin{cases} x_{N} - x_{0} = k .0 \\ y_{N} = k . y_{0} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{N} = x_{0} \\ y_{N} = k y_{0} \end{cases} .$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} .$

Do đó

$\frac{x_{N}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{N}^{2}}{{(k a)}^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(k y_{0})}^{2}}{{(k a)}^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}} = 1.$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$ .

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) MF₁² – MF₂² = 4cx

⇒ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx

⇒ 2a(MF₁ – MF₂) = 4cx

⇒ MF₁ – MF₂ = $\frac{4 c x}{2 a}$ = $\frac{2 c}{a}$ x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và MF₁ – MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ x ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = 2a + $\frac{2 c}{a}$ x ⇒ 2MF₁ = 2a + $\frac{2 c}{a}$ x ⇒ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và MF₁ – MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ x ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = 2a – $\frac{2 c}{a}$ x ⇒ 2MF₂ = 2a – $\frac{2 c}{a}$ x ⇒ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

Luyện tập 3 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ , điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Có a² = 36, suy ra a = 6.

c = $\sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4.$

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$ x = 6 + $\frac{2}{3}$ x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

$\Rightarrow - \frac{2}{3} .6 \leq \frac{2}{3} x \leq \frac{2}{3} .6 \Rightarrow - 4 \leq \frac{2}{3} x \leq 4 \Rightarrow 2 \leq 6 + \frac{2}{3} x \leq 10.$

Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 10⁶ km trên thực tế.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁.

Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.

Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.

Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.

Suy ra b² = a² – c² = 149,5² – 2,5² = 22344.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{22350, 25} + \frac{y^{2}}{22344} = 1.$

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ (H.3.6). Xét các đường thẳng ∆₁ : x = $- \frac{a^{2}}{c}$ và ∆₂ : x = $\frac{a^{2}}{c}$ . Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$ và $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})}$ theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: x + 0y + $\frac{a^{2}}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₁) = $\frac{|x + 0 y + \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x + \frac{a^{2}}{c}| .$

Do MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{|a + \frac{c}{a} x|}{|x + \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} + c x}{a}|}{|\frac{x c + a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: x + 0y – $\frac{a^{2}}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₂) = $\frac{|x + 0 y - \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x - \frac{a^{2}}{c}| .$

Do MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x > 0 nên MF₂ = |a – $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})} = \frac{|a - \frac{c}{a} x|}{|x - \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} - c x}{a}|}{|\frac{x c - a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

Luyện tập 4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ . Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2.

Lời giải:

+) Có a² = 36, b² = 25, suy ra a = 6, b = 5.

$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} .$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{11}}{6}$ , các đường chuẩn của elip là

Δ₁ : x = – $\frac{a^{2}}{c}$ ⇔ x = – $\frac{36}{\sqrt{11}}$ và Δ₂ : x = $\frac{a^{2}}{c}$ ⇔ x = $\frac{36}{\sqrt{11}}$ .

+) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{6}$ (–2) = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{3}$ .

MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{6}$ (–2) = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{3}$ .

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400000 km và 363000 km (Theo: nssdc.gsfc. nasa.gov).

Bài tập (trang 44, 45)

Bài 3.1 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.

Lời giải:

a) Có a² = 12, b² = 4 ⇒ a = $\sqrt{12}$ = $2 \sqrt{3}$ , b = 2.

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(– $2 \sqrt{3}$ ; 0), A₂( $2 \sqrt{3}$ ; 0), B₁(0; –2), B₂(0; 2).

Độ dài trục lớn của elip là 2a = 2. $2 \sqrt{3}$ = 4 $\sqrt{3}$ .

Độ dài trục nhỏ của elip là 2b = 2.2 = 4.

b) c = $\sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} .$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a} = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , các đường chuẩn của elip là

Δ₁ : x = – $\frac{a^{2}}{c}$ ⇔ x = – 3 $\sqrt{2}$ và Δ₂ : x = $\frac{a^{2}}{c}$ ⇔ x = 3 $\sqrt{2}$ .

c) Các bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip và có hoành độ bằng –3 là:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x = $2 \sqrt{3}$ + $\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (- 3)$ = $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ .

MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x = $2 \sqrt{3}$ – $\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (- 3)$ = $2 \sqrt{3} + \sqrt{6}$ .

Bài 3.2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 4² – 3² = 7.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{c}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = 2 \sqrt{3}$

⇒ b² = a² – c² = 4² – ${(2 \sqrt{3})}^{2}$ = 4

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂ với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

Lời giải:

Có $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 5} = 2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; y_A) hay (2; y_A) với y_A > 0;

toạ độ của B có dạng (c; y_B) hay (2; y_B) với y_B > 0.

Vì A thuộc elip nên

$\frac{2^{2}}{9} + \frac{{(y_{A})}^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{(y_{A})}^{2}}{5} = \frac{5}{9} \Rightarrow y_{A} = \frac{5}{3} .$

Vì B thuộc elip nên

$\frac{2^{2}}{9} + \frac{{(y_{B})}^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{(y_{B})}^{2}}{5} = \frac{5}{9} \Rightarrow y_{B} = - \frac{5}{3} .$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x, MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x. Do đó:

MF₁ = 2MF₂ $\Leftrightarrow a + \frac{c}{a} x = 2 (a - \frac{c}{a} x)$

$\Leftrightarrow a = 3 \frac{c}{a} x \Leftrightarrow x = \frac{a^{2}}{3 c} = \frac{9}{3.2} = \frac{3}{2} .$

$\Rightarrow \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

$\Rightarrow \frac{y^{2}}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} .$

Vậy $M (\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{15}}{2})$ hoặc $M (\frac{3}{2}; - \frac{\sqrt{15}}{2}) .$

Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ và chứng minh rằng, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì điểm $N (\frac{b}{a} x_{0}; y_{0})$ thuộc đường tròn phụ.

Lời giải:

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: x² + y² = b².

Có M(x₀; y₀) thuộc elip nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Xét điểm N( $\frac{b}{a}$ x₀; y₀) , ta có:

${(\frac{b}{a} x_{0})}^{2} + y_{0}^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} . x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = b^{2} (\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) = b^{2} .1 = b^{2} .$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Bài 3.5 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km, suy ra a = 590635.10⁶.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 ⇒ c = 0,244.a = 144114,94.10⁶.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

590635.10⁶ – 144114,94.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 590635.10⁶ + 144114,94.10⁶

46520,06.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 734749,94.10⁶

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10⁶ km và 734749,94.10⁶ km.

Bài 3.6 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Bài 3.6 trang 44 Chuyên đề Toán 10

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của elip này là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 ⇒ c = 8.

b = 7,6 – 1,6 = 6 ⇒ a = $\sqrt{b^{2} + c^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10.

Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x, MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

Quãng đường âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂ = a + $\frac{c}{a}$ x + a – $\frac{c}{a}$ x = 2a = 20 (m).

Thời gian âm thanh đã đi là: $\frac{20}{343, 2}$ ≈ 0,0583 (s).

Vậy âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau khoảng 0,0583 giây sẽ đến được tiêu điểm kia.