Với lời giải SBT Toán 8 trang 72 Tập 1 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 4 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A $\left(\hat{A}<90°\right)$, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

a) Ta có:

∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90°$;

∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90°$.

Do đó $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

b) ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (theo câu a).

Suy ra $\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$ hay $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$.

Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.

c) Ta có $\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABD}$ (do BP là tia phân giác $\widehat{ABD}$) và $\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACE}$ (do CN là tia phân giác $\widehat{ACE}$)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$, suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$.

∆OBC có $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$, $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ nên $\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}$ hay $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$.

Suy ra ∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì $\widehat{C_2}=\widehat{B_1}$ (cùng bằng $\widehat{B_2}$) nên ta có

$\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{C_3}$

$=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180°-\widehat{BEC}=180°-90°=90°$.

Mà $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90°$

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.

d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét ∆BMH và ∆CQH có:

$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ (theo câu b);

BH = CH (do ∆HBC cân tại H);

$\widehat{BHM}=\widehat{CHQ}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)

Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.

Bài 5 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA, sao cho AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b.

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính diện tích tư giác EFGH theo a và b.

Lời giải:

a) Xét các tam giác HAE, EBF, FCG, GDH có:

AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b (giả thiết);

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$ (do ABCD là hình vuông)

Suy ra ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GDH (c.g.c) nên HE = EF = FG = GH

Do đó EFGH là hình thoi.

Ta lại có $\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{E_1}+\widehat{H_1}=90°$ nên $\widehat{E_3}=90°$.

Hình thoi EFGH có $\widehat{E_3}=90°$ nên EFGH là hình vuông.

b)Ta có S_ABCD = AB² = (a + b)² (1)

$S_{∆HAE}=\frac{1}{2}AE.AH=\frac{1}{2}ab$

nên$S_{∆HAE}+S_{∆EBF}+S_{∆FCG}+S_{∆GDH}=\frac{1}{2}ab.4=2ab$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_EFGH = (a + b)² ‒ 2ab = a² + 2ab + b² – 2ab = a² + b².

Bài 6 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1: Trong hình chữ nhật có chu vi 100 m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó.

Lời giải:

Gọi một kích thước của hình chữ nhật là x (m).

Do chu vi hình chữ nhật là 100 m nên ta có kích thước cạnh còn lại của hình chữ nhật là $\frac{100}{2}-x=50-x$ (m).

Diện tích hình chữ nhật là:

S = x(50 ‒ x) = ‒x² + 50x

= ‒(x² – 2.25x + 25² ‒ 25²)

= ‒(x ‒ 25)² + 625 ≤ 625.

Giá trị lớn nhất của S bằng 625 tại x = 25.

Khi đó độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 25 m và 50 – 25 = 25 m, nên hình chữ nhật này là hình vuông.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 625 m², khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh dài 25 m.

Bài 7 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ như Hình 10. Biết diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là 10 cm² , 15 cm², 6 cm². Tính diện tích x (cm²) của hình chữ nhật nhỏ còn lại.

Lời giải:

Đặt AE = a; EB = b; AG = c; GD = d.

Do diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là 10 cm² , 15 cm², 6 cm² nên ta có:

ac= 10; bc = 6; ad =15.

Suy ra ac.bc.ad = 10.6.15, nên (ac)²bd = 9000

Hay 10².bd = 9 000, do đó bd = 9.

Vậy x = bd = 9 cm².