Với lời giải SBT Toán 11 trang 22 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 6 trang 20 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 6 trang 20

Bài 6.53 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức:

$A=2{\log }_{4}8-3{\log }_{\frac{1}{8}}16+4^{{\log }_{2}3}$.

Lời giải:

Ta có$A=2{\log }_{4}8-3{\log }_{\frac{1}{8}}16+4^{{\log }_{2}3}$

$$\begin{gathered} =2{\log }_{2^2}{2}^3-3{\log }_{2^{-3}}{2}^4+2^{2{\log }_{2}3} \\ =2\cdot \frac{1}{2}{\log }_2{2}^3-3\cdot \frac{-1}{3}{\log }_2{2}^4+{\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2 \\ ={\log }_2{2}^3+{\log }_2{2}^4+3^2 \\ =3{\log }_{2}2+4{\log }_{2}2+3^2=3+4+9=16. \end{gathered}$$

Vậy A = 16.

Bài 6.54 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) ${32}^{\frac{x+5}{x-7}}=0,25\cdot {128}^{\frac{x+17}{x-3}}$;

b) log₂ x + log₂ (x – 1) = 1.

Lời giải:

a) Điều kiện:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-7\ne 0\\ \mathrm{x}-3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ne 7\\ \mathrm{x}\ne 3\end{array}\right.$

Ta có:

${32}^{\frac{x+5}{x-7}}=0,25\cdot {128}^{\frac{x+17}{x-3}}$

$\iff 2^{5\cdot \frac{x+5}{x-7}}=2^{-2}\cdot 2^{7\cdot \frac{x+17}{x-3}}$

$\iff 2^{\frac{5\left(x+5\right)}{x-7}}=2^{-2+\frac{7\left(x+17\right)}{x-3}}$

$\iff \frac{5\left(x+5\right)}{x-7}=-2+\frac{7\left(x+17\right)}{x-3}$

$\iff \frac{5\left(x+5\right)\left(x-3\right)}{\left(x-7\right)\left(x-3\right)}=\frac{-2\left(x-7\right)\left(x-3\right)}{\left(x-7\right)\left(x-3\right)}+\frac{7\left(x+17\right)\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x-3\right)}$

$\Rightarrow 5\left(x+5\right)\left(x-3\right)=-2\left(x-7\right)\left(x-3\right)+7\left(x+17\right)\left(x-7\right)$

$\iff 5\left(x^2+2x-15\right)=-2\left(x^2-10x+21\right)+7\left(x^2+10x-119\right)$

$\iff 5x^2+10x-75=-2x^2+20x-42+7x^2+70x-833$

$\iff 5x^2+10x-75=5x^2+90x-875$

$\iff 80x=800\iff x=10$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 10.

b) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>0\\ \mathrm{x}-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>0\\ \mathrm{x}>1\end{array}\right.\iff \mathrm{x}>1$.

Ta có: log₂ x + log₂ (x – 1) = 1 $\iff$ log₂ [x(x – 1)] = log₂ 2

$\iff$ x(x – 1) = 2 $\iff$ x² – x – 2 = 0

$\iff$ (x + 1)(x – 2) = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Bài 6.55 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x$ ;

b) 2log (x – 1) > log (3 – x) + 1.

Lời giải:

a) Ta có: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x$

$\iff 2^{-\left(3x-1\right)}\ge 2^2\cdot 2^x$$\iff 2^{-\left(3x-1\right)}\ge 2^{2+x}$

$\iff -\left(3x-1\right)\ge 2+x$$\iff 1-3x\ge 2+x$

$\iff 4x\le -1$$\iff x\le -\frac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{4}\right]$.

b) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1>0\\ 3-\mathrm{x}>0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>1\\ \mathrm{x}<3\end{array}\right.$$\iff 1<\mathrm{x}<3$.

Ta có: 2log (x – 1) > log (3 – x) + 1

$\iff$ log (x – 1)² > log (3 – x) + log 10

$\iff$log (x – 1)² > log 10(3 – x)

$\iff$ (x – 1)² > 10(3 – x)

$\iff$ x² – 2x + 1 – 30 + 10x > 0

$\iff$ x² + 8x – 29 > 0 $\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}>-4+3\sqrt{5}\\ \mathrm{x}<-4-3\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Kết hợp điều kiện, ta có $-4+3\sqrt{5}<x<3$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-4+3\sqrt{5};3\right)$ .

Bài 6.56 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Lời giải:

a) Đồ thị của hai hàm số y = e^x và y = ln x trên cùng một hệ trục tọa độ như hình sau:

b) Xét điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$ nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$ và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng: $y=-x+x_0+e^{x_0}$ .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó $B\left(\frac{x_0+e^{x_0}}{2};\frac{x_0+e^{x_0}}{2}\right)$ .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{x}}_0\\ {\mathrm{y}}_{{}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}}{2}-{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0}\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}={\mathrm{x}}_0\end{array}\right.$.Vậy ${\mathrm{A}}^{\text{'}}\left({\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}_0};{\mathrm{x}}_0\right)$

Thay tọa độ điểm $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$ vào hàm số y = ln x, ta được $x_0={\mathrm{lne}}^{x_0}$ (luôn đúng),

Vậy $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bài 6.57 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = log₃ (2x + 1) – 2.

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tính f(40). Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

c) Tìm x sao cho f(x) = 3. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

d) Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Lời giải:

a) Điều kiện: 2x + 1 > 0 $\iff x>-\frac{1}{2}$ .

Tập xác định của hàm số là $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

b) Có f(40) = log₃ (2×40 + 1) – 2 = log₃ 81 – 2 = log₃ 3⁴ – 2 = 4 – 2 = 2.

Điểm tương ứng trên đồ thị là (40; 2).

c) Có f(x) = 3 $\iff$ log₃ (2x + 1) – 2 = 3

$\iff$ log₃ (2x + 1) = 5 $\iff$ 2x + 1 = 3⁵

$\iff$ 2x = 242 $\iff$ x = 121.

Điểm tương ứng trên đồ thị là (121; 3).

d) Gọi A(x₀; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số f(x) = log₃ (2x + 1) – 2 với trục hoành.

Ta có log₃ (2x₀ + 1) – 2 = 0 $\iff$ log₃ (2x₀ + 1) = 2 $\iff$ 2x₀ + 1 = 3² $\iff$ 2x₀ = 8 $\iff$ x₀ = 4.

Vậy giao điểm cần tìm là (4; 0).

Bài 6.58 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 4% thì chi phí C cho việc mua một loại hàng hóa hoặc sử dụng một dịch vụ nào đó sẽ được mô hình hóa bằng công thức:

C(t) = P(1 + 0,04)^t,

trong đó t là thời gian (tính bằng năm) kể từ thời điểm hiện tại và P là chi phí hiện tại cho hàng hóa hoặc dịch vụ đó.

Giả sử hiện tại chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô là 800 nghìn đồng. Hãy ước tính chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa là:

C(5) = 800∙(1 + 0,04)⁵ $\approx$ 973 (nghìn đồng).

Vậy chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa khoảng 973 nghìn đồng.