Với lời giải SBT Toán 11 trang 10 Tập 2 chi tiết trong Bài 19: Lôgarit sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 19: Lôgarit

Bài 6.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${\log }_2\frac{1}{64}$ ; b) log 1 000;

c) log₅1 250 − log₅10; d) $4^{{\log }_{2}3}$ .

Lời giải:

a) ${\log }_2\frac{1}{64}={\log }_2{2}^{-6}=-6$ .

b) log 1 000 = log 10³ = 3.

c) ${\log }_{5}1250-{\log }_{5}10={\log }_5\frac{1250}{10}={\log }_{5}125={\log }_5{5}^3=3$ .

d) $4^{{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9$ .

Bài 6.12 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) ${\log }_a\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+{\log }_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)=0$ ;

b) ln (1 + e^2x) = 2x + ln (1 + e^−2x).

Lời giải:

a) Ta có ${\log }_a\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+{\log }_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$

$={\log }_{\mathrm{a}}\left[\left(\mathrm{x}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\left(\mathrm{x}-\sqrt{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\right]$

$={\log }_{\mathrm{a}}\left[{\mathrm{x}}^2-\left({\mathrm{x}}^2-1\right)\right]={\log }_{\mathrm{a}}1=0$

Vậy ${\log }_a\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+{\log }_a\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)=0$ .

b) Ta có ln (1 + e^2x) = ln [e^2x(1 + e^−2x)] = ln e^2x + ln (1 + e^−2x) = 2x + ln (1 + e^−2x).

Vậy ln (1 + e^2x) = 2x + ln (1 + e^−2x).

Bài 6.13 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Biết log₂3 $\approx$ 1,585. Hãy tính:

a) log₂ 48; b) log₄ 27.

Lời giải:

a) log₂ 48 = log₂ (2⁴×3) = log₂ 2⁴ + log₂ 3

= 4 + log₂ 3 $\approx$ 4 + 1,585 = 5,585.

b)

$$\begin{gathered} {\log }_{4}27=\frac{{\log }_{2}27}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_2{3}^3}{{\log }_2{2}^2}=\frac{3{\log }_{2}3}{2} \\ =\frac{3}{2}\cdot {\log }_{2}3\approx \frac{3}{2}\cdot 1,585=2,3775 \end{gathered}$$

Bài 6.14 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Đặt a = log₃ 5, b = log₄ 5. Hãy biểu diễn log₁₅ 10 theo a và b.

Lời giải:

Ta có ${\log }_{15}10=\frac{{\log }_{5}10}{{\log }_{5}15}=\frac{{\log }_5\left(2\cdot 5\right)}{{\log }_5\left(3.5\right)}$$=\frac{{\log }_{5}2+{\log }_{5}5}{{\log }_{5}3+{\log }_{5}5}=\frac{{\log }_{5}2+1}{{\log }_{5}3+1}$

Vì a = log₃ 5 nên ${\log }_{5}3=\frac{1}{a}$ và b = log₄ 5 nên ${\log }_{5}4=\frac{1}{b}$$\iff 2{\log }_{5}2=\frac{1}{b}$ hay ${\log }_{5}2=\frac{1}{2b}$

Do đó ${\log }_{15}10=\frac{{\log }_{5}2+1}{{\log }_{5}3+1}=\frac{\frac{1}{2b}+1}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\left(1+2b\right)a}{2b\left(a+1\right)}$ .

Bài 6.15 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm log₄₉ 32, biết log₂ 14 = a.

Lời giải:

Có ${\log }_{49}32=\frac{{\log }_{2}32}{{\log }_{2}49}=\frac{{\log }_2{2}^5}{{\log }_2{7}^2}=\frac{5}{2{\log }_{2}7}$

Mà log₂ 14 = log₂ (2.7) = log₂ 2 + log₂ 7 = 1 + log₂ 7 = a. Do đó log₂ 7 = a – 1.

Vậy ${\log }_{49}32=\frac{5}{2\left(a-1\right)}$ .

Bài 6.16 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các số sau:

a) log₃ 4 và ${\log }_4\frac{1}{3}$; b) $2^{{\log }_{6}3}$ và $3^{{\log }_6\frac{1}{2}}$.

Lời giải:

a) Ta có log₃ 4 > log₃ 3 = 1; ${\log }_4\frac{1}{3}<{\log }_{4}4=1$ nên ${\log }_4\frac{1}{3}<{\log }_{3}4$.

b) Có $2^{{\log }_{6}3}=3^{{\log }_{6}2}$

(do ${\log }_2{2}^{{\log }_{6}3}={\log }_2{3}^{{\log }_{6}2}$$\iff {\log }_{6}3\cdot {\log }_{2}2={\log }_{6}2\cdot {\log }_{2}3$$\iff {\log }_{2}3=\frac{{\log }_{6}3}{{\log }_{6}2}$)

Vì ${\log }_{6}2>{\log }_6\frac{1}{2}$ nên $3^{{\log }_{6}2}>3^{{\log }_6\frac{1}{2}}$hay $2^{{\log }_{6}3}>3^{{\log }_6\frac{1}{2}}$ .

Bài 6.17 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương N viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức [log N] + 1, ở đó [log N] là phần nguyên của số thực dương logN. Tìm số các chữ số của 2^{2 023} khi viết trong hệ thập phân.

Lời giải:

Có N = 2^{2 023}

Số chữ số của N = 2^{2 023} là: [log 2^{2 023}] + 1 = [2 023.log 2] + 1 = 609.

Vậy số các chữ số của 2^{2 023} là 609.

Bài 6.18 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2: Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r (r cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là A = P(1 + r)^t (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Lời giải:

Để số tiền tăng gấp đôi tức là A = 2P

Thời gian gửi tiết kiệm để số tiền ban đầu tăng gấp đôi là: 2P = P(1 + r)^t $\iff$ 2 = (1 + r)^t $\iff$ t = log_{1 + r} 2 (năm).

Vậy cần log_{1 + r} 2 năm gửi tiết kiệm để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.