Với lời giải SBT Toán 11 trang 90 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 trang 87 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 5 trang 87

Bài 5.47 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-2x\right)\mathrm{...}\left(1-2018x\right)$ .

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-2x\right)\mathrm{...}\left(1-2018x\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{2018}\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x}-2\right)\mathrm{...}\left(\frac{1}{x}-2018\right)=+\infty$.

Bài 5.48 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ . Hãy tính:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}$ ;

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ ;

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{x^2}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x^2}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ > 0; $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$ và x² > 0 nên $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^3}=+\infty$ .

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; và x > 0 nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=+\infty$ .

c) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$ .

Vì $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; $\underset{x\to 0-}{\lim }x=0$ và x < 0 nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=-\infty$ .

Bài 5.49 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}$ .

Lời giải:

Đặt $f\left(x\right)=x\sin \frac{1}{x}$ . Lấy dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n → 0. Khi đó

$\left(f\left(x_n\right)\right)=\left(x_n\right).\left(\sin \frac{1}{x_n}\right)\le \left(x_n\right)\to 0$.

Do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$ .

Vậy $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$ .

Bài 5.50 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

Lời giải:

Biểu thức $\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ có nghĩa khi $\left(\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ 1-x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 1\\ x\ne 0\end{array}\right)\iff x=1$ .

Do đó, tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ là D = {1}.

Mà x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy không có giá trị của f(0) thỏa mãn.

Bài 5.51 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x} neu x\ne 0\\ 2 neu x=0\end{array}\right)$ .

a) Chứng minh rằng f(– 1) ∙ f(1) < 0.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [– 1; 1]?

Lời giải:

a) Ta có $f\left(-1\right)=\frac{1}{-1}=-1$ ; $f\left(1\right)=\frac{1}{1}=1$ .

Do đó, f(– 1) ∙ f(1) = (– 1) . (1) = – 1 < 0.

b) Ta thấy f(0) = 2 và $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\ne 0\forall x\in \left(-1;1\right)\backslash \left(0\right)$nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

Suy ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số f(x) không liên tục trên đoạn [– 1; 1].

Bài 5.52 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo

a) Viết hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.

b) Xét tính liên tục của hàm số này.

Lời giải:

a) Theo bài ra ta có hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là

$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}30khi0<x\le 1\\ 30+20\left(x-1\right)khix>1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30khi0<x\le 1\\ 10+20xkhix>1\end{array}\right)$.

b)

+ Với 0 < x < 1 thì f(x) = 30 luôn liên tục trên (0; 1).

+ Với x > 1 thì f(x) = 10 + 20x là hàm đa thức nên nó luôn liên tục trên (1; +∞).

Ta xét tại điểm x = 1, ta có:

f(1) = 30; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }30=30$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(10+20x\right)=10+20.1=30$.

Suy ra $f\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; + ∞).