Với lời giải SBT Toán 11 trang 89 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 trang 87 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 5 trang 87

Bài 5.40 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho phương trình x⁷ + x⁵ = 1. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm.

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = x⁷ + x⁵ – 1.

Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và [1; 2].

Ta có f(0) = 0⁷ + 0⁵ – 1 = – 1 < 0; f(1) = 1⁷ + 1⁵ – 1 = 1 > 0 và f(2) = 2⁷ + 2⁵ – 1 > 0.

Suy ra f(0) . f(1) < 0.

Do vậy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 0.

Từ đó suy ra f(x) = 0 hay phương trình x⁷ + x⁵ = 1 có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Tự luận

Bài 5.41 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) thỏa mãn |u_n| ≤ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n+1}$ .

Lời giải:

Đặt $v_n=\frac{u_n}{n+1}$ , ta có $\left(v_n\right)=\left(\frac{u_n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n+1}$ .

Mà $\frac{1}{n+1}\to 0$ khi n → + ∞.

Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ . Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n+1}=0$ .

Bài 5.42 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$ .

Lời giải:

Vì 1, 2, ..., n là một cấp số cộng gồm n số hạng với u₁ = 1 và công sai d = 1.

Do đó 1 + 2 + ... + n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ .

Ta có $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$$=\frac{n\sqrt{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}}{2n^2+3}=\frac{n\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{2}\left(2n^2+3\right)}$ .

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{2}\left(2n^2+3\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2}\left(2+\frac{3}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ .

Bài 5.43 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) − 0,(31);

b) 2,(121).

Lời giải:

a) Ta có − 0,(31) = – (0,31 + 0,0031 + ... + 0,00...31 + ...)

$=-\left(\frac{31}{100}+\frac{31}{{100}^2}+\mathrm{...}+\frac{31}{{100}^n}+\mathrm{...}\right)$

$=-\frac{\frac{31}{100}}{1-\frac{1}{100}}=-\frac{31}{99}$ .

b) Ta có 2,(121) = 2 + 0,121 + 0,000121 + ... + 0,000...121 + ...

$=2+\frac{121}{1000}+\frac{121}{{1000}^2}+\mathrm{...}+\frac{121}{{1000}^n}+\mathrm{...}$

$=2+\frac{\frac{121}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=2+\frac{121}{999}=\frac{2119}{999}$ .

Bài 5.44 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông H₁ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H₂. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông H₂ để được hình vuông H₃. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông H₁, H₂, H₃, ..., H_n, ... Gọi s_n là diện tích của hình vuông H_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng T = s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta có cạnh của hình vuông H₂ là

$a_2=\sqrt{{\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=a\sqrt{\frac{5}{8}}$.

Khi đó diện tích của hình vuông H₂ là $s_2={\left(a\sqrt{\frac{5}{8}}\right)}^2=\frac{5}{8}{a}^2$ .

Mà diện tích của hình vuông H₁ là s₁ = a².

Do đó, $s_2=\frac{5}{8}{a}^2=\frac{5}{8}{s}_1$ .

Lí luận tương tự, ta có $s_3=\frac{5}{8}{s}_2,\mathrm{....,}{s}_n=\frac{5}{8}{s}_{n-1}={\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}{a}^2$ .

b) Ta có T = s₁ + s₂ + ... + s_n + ... $=a^2\left(1+\frac{5}{8}+{\left(\frac{5}{8}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}\right)$ .

Vì $\mathrm{1,}\frac{5}{8},{\left(\frac{5}{8}\right)}^2\mathrm{,...,}{\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}\mathrm{,...}$ là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và công bội q = $\frac{5}{8}$ nên

$1+\frac{5}{8}+{\left(\frac{5}{8}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{5}{8}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}=\frac{1}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8}{3}$.

Vậy $T=\frac{8a^2}{3}$ .

Bài 5.45 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm a là số thực thỏa mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+1}{x^2+2x+3}+a^2+3a\right)=0$ .

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+1}{x^2+2x+3}+a^2+3a\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+a^2+3a\right)$ = 2 + a² + 3a.

Để $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+1}{x^2+2x+3}+a^2+3a\right)=0$ thì 2 + a² + 3a = 0.

Giải phương trình bậc hai a² + 3a + 2 = 0 ta được a = – 1 và a = – 2.

Vậy a ∈ {– 1; – 2} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5.46 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}{5x^3+x+7}$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-1\right)\left(2-x^5\right)$ ;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right)$ .

Lời giải:

a)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}{5x^3+x+7}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x^3\left(5+\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}\right)}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x}\right)}{5+\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}=\frac{2}{5}$.

b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-1\right)\left(2-x^5\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1-\frac{1}{x^3}\right)x^5\left(\frac{2}{x^5}-1\right)$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^8\left(1-\frac{1}{x^3}\right)\left(\frac{2}{x^5}-1\right)=-\infty$.

c)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+x^2+1-x^3}{\sqrt[3]{{\left(x^3+x^2+1\right)}^2}+x\sqrt[3]{x^3+x^2+1}+x^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{\sqrt[3]{{\left(x^3+x^2+1\right)}^2}+x\sqrt[3]{x^3+x^2+1}+x^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt[3]{{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)}^2}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}+1}=\frac{1}{3}$