Giải Toán 11 trang 108 Tập 1 Cánh diều

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 22-10-2023 Lớp 11

Với lời giải Toán 11 trang 108 Tập 1 chi tiết trong Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng AB = A’B’.

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A ∈ (R) và A ∈ (P) nên A là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

A’ ∈ (R) và A’ ∈ (P) nên A’ là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q);

(R) ∩ (P) = AA’;

(R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

III. Định lí Thales

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{A B}{A B_{1}}, \frac{B C}{B_{1} C^{'}}$ và $\frac{C A}{C^{'} A};$ $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}}, \frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}}$ và $\frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ .

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{A B}{A^{'} B^{'}}, \frac{B C}{B^{'} C^{'}}$ và $\frac{C A}{C^{'} A^{'}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

B₁ ∈ (ACC’) và B₁ ∈ (Q) nên B₁ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB₁.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

(ACC’) ∩ (Q) = BB₁;

(ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB₁ // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

(AA’C’) ∩ (P) = AA’;

(AA’C’) ∩ (Q) = B₁B’.

Suy ra B₁B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB₁ // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A B}{A C} = \frac{A B_{1}}{A C^{'}}$ , suy ra $\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ ;

• $\frac{B C}{A C} = \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}}$ , suy ra $\frac{B C}{B_{1} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ .

Do đó $\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A}$ .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét AA’C’có: B₁B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A B_{1}}{A C^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}}$ , suy ra $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ ;

• $\frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}}$ , suy ra $\frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ .

Do đó $\frac{A B_{1}}{A^{'} B^{'}} = \frac{B_{1} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{C^{'} A}{C^{'} A^{'}}$ .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

• $\frac{A B}{A C} = \frac{A B_{1}}{A C^{'}}$ và $\frac{A B_{1}}{A C^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}}$ nên $\frac{A B}{A C} = \frac{A^{'} B^{'}}{A^{'} C^{'}} (= \frac{A B_{1}}{A C^{'}})$

Do đó $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}}$ .

• $\frac{B C}{A C} = \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}}$ và $\frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}}$ nên $\frac{B C}{A C} = \frac{B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}} (= \frac{B_{1} C^{'}}{A C^{'}})$