Với lời giải Toán 11 trang 77 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Hàm số liên tục sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 1 trang 77 Toán 11 Tập 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x³ + x + 1 tại điểm x = 2.

Lời giải:

Hàm số f(x) = 2x³ + x + 1 xác định trên ℝ.

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x^3+x+1\right)$ = 2.2³+2+1 = 17 = f(2).

Do đó hàm số liên tục tại x = 2.

Bài 2 trang 77 Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Lời giải:

+) Hình 15a): Hàm số f(x) = x² – 2x có tập xác định D = ℝ.

Hàm số liên tục trên toàn bộ ℝ.

+) Hình 16b): Hàm số g(x)= $\frac{x}{x-1}$có tập xác định D = ℝ\{1}.

Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

+) Hình 16c):

Với x ∈ (– ∞; – 1) có f(x) = – 2x liên tục.

Với x ∈ (– 1; ∞) có f(x) = x + 1 liên tục.

Tại x = – 1 có $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }2x=-2$và f(– 1) = – 1 + 1 = 0.

Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)\ne$f(-1). Do đó hàm số liên tục tại x = – 1.

Vậy hàm số kiên tục trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; ∞).

Bài 3 trang 77 Toán 11 Tập 1: Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x₀”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Lời giải:

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀ nên $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀ nên $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne g\left(x_0\right)$.

Do đó $\underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)+g\left(x_0\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x₀.

Bài 4 trang 77 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x) = x² + sinx;

b) g(x) = x⁴ – x² + $\frac{6}{x-1}$;

c) h(x) = $\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.

Lời giải:

a) Hàm số f(x) = x² + sinx có tập xác định là ℝ.

Hàm số x² và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x² + sinx liên tục trên ℝ.

b) Hàm số g(x) = x⁴ – x² + $\frac{6}{x-1}$có tập xác định là ℝ\{1}.

Hàm số x⁴ – x² liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số $\frac{6}{x-1}$liên tục trên các khoảng ( – ∞; 1) và (1; +∞).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.

c) Hàm số h(x) = $\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$có tập xác định D = ℝ\{– 4; 3}.

Hàm số $\frac{2x}{x-3}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; 3) và (3; +∞).

Hàm số $\frac{x-1}{x+4}$ liên tục trên các khoảng ( – ∞; – 4) và (– 4; +∞).

Bài 5 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = 

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Lời giải:

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21 và f(4) = 2.0 + 1 = 1

Suy ra $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(4\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có: $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21và f(4) = 2.a + 1

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $\underset{x\to 4}{\lim }$f(x) = f(4)

⇔ 21 = 2a + 1

⇔ 2a = 20

⇔ a = 10

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) Với x ∈ (– ∞; 4) có f(x) = x² + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với x ∈ (4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Bài 6 trang 77 Toán 11 Tập 1: Hình 16 biểu thị độ cao h(m) của một quả bóng đá lên theo thời gian t(s), trong đó h(t) = – 2t² + 8t.

a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\underset{t\to 2}{\lim }\left(-2t^2+8t\right)$.

Lời giải:

a) Hàm số h(t) = – 2t² + 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì h(t) dần đến 8.

Vậy $\underset{t\to 2}{\lim }\left(-2t^2+8t\right)=8$.