Với lời giải Toán 11 trang 56 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Cấp số nhân sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005;

b) – 9; 3; – 1; $\frac{1}{3};-\frac{1}{9}$;

c) 2; 8; 32; 64; 256.

Lời giải:

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp -$\frac{1}{10}$ lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp -$\frac{1}{3}$ số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = – 9 và công bội q= -$\frac{1}{3}$ .

c) Ta có: $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=\frac{256}{64}\ne \frac{64}{32}$

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 1: Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_n=-\frac{3}{4}{.2}^n$ ;

b) $u_n=\frac{5}{3^n}$;

c) u_n = ( – 0,75)ⁿ.

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=-\frac{3}{4}{.2}^{n+1}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(-\frac{3}{4}{.2}^{n+1}\right):\left(-\frac{3}{4}{.2}^n\right)=2$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{5}{3^{n+1}}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5}{3^{n+1}}:\frac{5}{3^n}=\frac{1}{3}$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

c) Ta có: u_n+1 = (– 0,75)ⁿ⁺¹.

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}={\left(-0,75\right)}^{n+1}:{\left(-0,75\right)}^n=-0,75$.

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 5, công bội q = 2.

a) Tìm u_n;

b) Số – 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Lời giải:

a) Ta có (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u_n = – 5.2^n-1 với mọi n ∈ ℕ^*.

b) Xét u_n = – 5.2^n-1 = – 320

⇔ 2^n-1 = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét u_n = – 5.2^n-1 = 160

⇔ 2^n-1 = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, $u_3=\frac{27}{4}$ .

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Lời giải:

a) Ta có u₃ = u₁.q²

Xét 

+) Với q = -$\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = 3.$\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}$ ; u₃ = $\frac{27}{4}$; u₄ = 3.${\left(-\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{81}{8}$ ; u₅ = 3.${\left(-\frac{3}{2}\right)}^4=\frac{243}{16}$ .

+) Với q=$\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u₁ = 3, u₂ = 3.$\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}$; u₃ = $\frac{27}{4}$; u₄ = 3.${\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{81}{8}$ ; u₅ = 3.${\left(\frac{3}{2}\right)}^4=\frac{243}{16}$ .

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = -$\frac{3}{2}$ là: $S_{10}=\frac{3\left(1-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}\approx$-68.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q=$\frac{3}{2}$ là: $S_{10}=\frac{3\left(1-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\left(\frac{3}{2}\right)}\approx$340.

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 1: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u_n là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giải sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Lời giải:

a) Ta có dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u₀ = 2 triệu dân và công sai q = 1%.

Khi đó số hạng tổng quát của u_n = 2.(1 + 1%)^n-1 (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u₁₀ = 2.(1 + 1%)^10-1 ≈ 2,19 (triệu dân).

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 1: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Lời giải:

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u₁ = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)² = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi u_n là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (u_n) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u₀ = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u_n = 800.(1 – 4%)ⁿ.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u₁₀ = 800.(1 – 4%)¹⁰ ≈ 531,87 (triệu đồng).

Bài 7 trang 56 Toán 11 Tập 1: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Lời giải:

Gọi u_n­ là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n ∈ ℕ)

Ta có: u­₀ = 100 (m).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u₁ = 100.75% (m).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: u₂ = 100.75%.75% = 100.(75%)² (m).

...

Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,75%, có công thức tổng quát u_n = 100.(0,75%)^n-1 (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

$S_{10}=\frac{100\left(1-{\left(75\%\right)}^{10}\right)}{1-75\%}\approx$377,5 (m).