Với lời giải Toán 11 trang 60 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Cấp số nhân sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Thực hành 3 trang 60 Toán 11 Tập 1: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) trong các trường hợp sau:

a) u₁ = 10⁵; q = 0,1; n = 5;

b) u₁ = 10; u₂ = – 20; n = 5.

Lời giải:

a) (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 10⁵ và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là: u_n = u₁.q^n-1 = 10⁵.(0,1)^{n – 1} .

Khi đó ta có: u₅ = 10⁵.(0,1)^{5 – 1} = 10⁵_.(0,1)⁴ = 10.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) là:

$S_5=\frac{5\left({10}^5+10\right)}{2}=250025$.

b) (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 10 và công bội q = $\frac{u_2}{u_1}=\frac{-20}{10}=-2$ nên có số hạng tổng quát là: u_n = u₁.q^n-1 = 10.(– 2)^{n – 1} .

Khi đó ta có: u₅ = 10.(– 2)^{5 – 1} = 10_.(– 2)⁴ = 160.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) là:

$S_5=\frac{5\left(10+160\right)}{2}=425$.

Vận dụng 4 trang 60 Toán 11 Tập 1: Trong bài toán ở hoạt động khởi động đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Lời giải:

Dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 120 và công sai $q=\frac{1}{2}$.

Khi đó công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân này là: u_n = 120.${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Độ cao của quả bóng sau lần rơi thứ 10 là u₁₀ = 120.${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10-1}$= $\frac{15}{64}$.

Tổng độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:

$S_{10}=\frac{10\left(120+\frac{15}{64}\right)}{2}\approx 601,2$.

Bài tập

Bài 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) u_n = 3.(– 2)ⁿ;

b) u_n = (– 1)ⁿ.7ⁿ;

c) 

Lời giải:

a) Ta có:

u₁ = 3.(0 – 2)¹ = 3.(– 2) = – 6.

u_n+1 = 3.(– 2)ⁿ⁺¹ = 3.(– 2)ⁿ.(– 2) = u_n.( – 2).

Vậy dãy số u_n = 3.(– 2)ⁿ là một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = – 6 và công sai d = – 2.

b) Ta có:

u₁ = (– 1)¹.7¹ = – 7;

u_{n + 1} = (– 1)ⁿ⁺¹.7ⁿ⁺¹ = (– 1)ⁿ.(– 1).7ⁿ.7 = u_n.(– 7).

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = – 7 và công sai d = – 7.

c) Ta có: <$u_n=1$; u_n+1 = 5; u_n+2 = 13, ...

Dãy số này không phải cấp số nhân vì $u_{n+1}\ne \sqrt{u_n.u_{n+2}}$.

Bài 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

a) ;

b) .

Lời giải:

a) 

Xét 

Vì u₅ ≠ 0 nên loại q = 0 do đó q = $\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

$\Rightarrow$u₁ =  = 15 $\iff$ u₁ = $\frac{48}{13}$.

Vậy dãy số có số hạng đầu là $u_1=\frac{48}{13}$ và công sai q = $\frac{3}{2}$.

b) 

Lấy vế với vế của (1) chia cho (3) ta được

$\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\frac{1}{5}\iff 5-5q^2+5q^4=1+q^6$.

⇔ q⁶ – 5q⁴ + 5q² – 4 = 0

⇔ q⁶ – 4q⁴ – q⁴ + 4q² + q² – 4 = 0

⇔ q⁴(q² – 4) – q²(q² – 4) + q² – 4 = 0

⇔ (q² – 4)(q⁴ – q² + 1) = 0

⇔ 

⇔ q = $\pm$2 hoặc q⁴ – q² + 1 = 0 (vô lí)

Với q = 2 thì u₁ = 5.

Với q = – 2 thì u₁ = 5.

Vậy cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là u₁ = 5 và công bội là q = 2 hoặc số hạng đầu là u₁ = 5 và công bội là q = – 2.

Bài 3 trang 60 Toán 11 Tập 1: a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Gọi số đo bốn góc của một tứ giác được lập thành một cấp số nhân có công bội q theo thứ tự từ bé đến lớn là: α; β; γ; φ.

Ta có: β = αq, γ = α.q², φ = α.q³_.

Ta lại có: φ = 8α nên q³ = 8 ⇔ q = 2.

Do đó cấp số cộng trên trở thành: α; 2α; 4α; 8α.

Tổng bốn góc trong tứ giác bằng 360° nên α + 2α + 4α + 8α = 360°

⇔ 15α = 360°

⇔ α = 24°

Vậy số đo của các góc trong tứ giác lần lượt là 24°; 48°; 72°; 96°.

b) Cấp số nhân đã cho có u₁ = – 2 và u₈ = 256.

Ta có: u₈ = u₁q⁷ = (– 2).q⁷ = 256

⇔ q = – 2

Suy ra các số hạng xen giữa hai số – 2 và 256 là: 4; – 8; 16; – 32; 64; – 128.

Số hạng thứ 15 của dãy là: u₁₅ = (– 2).( – 2)¹⁴ = (– 2)¹⁵ = 0 – 32 768.

Bài 4 trang 60 Toán 11 Tập 1: Ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có: $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ là một cấp số cộng nên ta có:

$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\iff$ (-a-b)(b-c) = (b+c)(b-a)

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² – ab + bc – ac

⇔ 2b² – 2ac = 0

⇔ b² = ac.

Bài 5 trang 60 Toán 11 Tập 1: Tính các tổng sau:

a) $S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}$;

Lời giải:

Dãy số $1;\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\mathrm{...};\frac{1}{3^n}$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = $\frac{1}{3}$.

Khi đó tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:

$S_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}{2}=\frac{\left(3^n+1\right)n}{{2.3}^n}$.

Bài 6 trang 60 Toán 11 Tập 1: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân (u_n), với số hạng đầu u₁ = 1, công bội q = 2.

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 2^n-1.

Vậy sau 20 phút số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm là: u₂₀ = 2¹⁹ (vi khuẩn).