Với lời giải Toán 11 trang 126 Tập 1 chi tiết trong Một vài áp dụng của toán học trong tài chính sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

HĐ1 trang 126 Toán 11 Tập 1: Số tiền của một niên kim

Bác Lan gửi đều dặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích lũy hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức lãi kép hằng tháng.

a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai.

b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n.

c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Lời giải:

a) Ta có: 5 năm = 60 tháng.

Lãi suất theo tháng là 0,5%.

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là

A₁ = 10 + 10. 0,5% = 10.(1 + 0,5%) = 10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là

A₂ = [10.(1 + 0,5%) + 10] + [10.(1 + 0,5%) + 10].0,5%

= [10.(1 + 0,5%) + 10](1 + 0,5%) = 10.(1 + 0,5%)² + 10.(1 + 0,5%)

= 20,15025 (triệu đồng).

b) Tiếp tục làm như trên ta thấy số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n là

A_n = 10.(1 + 0,5%)ⁿ + 10.(1 + 0,5%)^{n – 1} + ... + 10.(1 + 0,5%) (triệu đồng).

c) Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng là

A = A₅₉ + 10 = [10.(1 + 0,5%)⁵⁹ + 10.(1 + 0,5%)⁵⁸ + ... + 10.(1 + 0,5%)] + 10

= 10 + 10.(1 + 0,5%) + 10.(1 + 0,5%)² + ... + 10.(1 + 0,5%)⁵⁹

Đây là tổng của 60 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên a = 10 và công bội q = 1 + 0,5%, nên ta có:

A =$10.\frac{1-{\left(1+0,5\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,5\%\right)}=10.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{60}-1}{0,5\%}$ ≈ 697,7 (triệu đồng).

Vận dụng 1 trang 126 Toán 11 Tập 1: Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

Lời giải:

Gọi R (triệu đồng) là số tiền anh Bình cần đầu tư hằng tháng.

Ta có: 2 năm = 24 tháng. Suy ra n = 24.

Lãi suất theo tháng là 0,5%, suy ra i = 0,5%.

Ta có: A_f = 200 (triệu đồng).

Từ công thức $A_f=R\frac{{\left(1+i\right)}^n-1}{i}$ , ta suy ra $R=\frac{A_f.i}{{\left(1+i\right)}^n-1}$ , thay số ta được:

$R=\frac{200.0,5\%}{{\left(1+0,5\%\right)}^{24}-1}=7,\mathrm{864122051...}$ (triệu đồng).

Vậy anh Bình cần đầu tư mỗi tháng khoảng 7,865 triệu đồng hay 7 865 000 đồng mỗi tháng để có 200 triệu đồng sau 2 năm.

(Thà dư chứ không để thiếu nên số tiền mỗi tháng anh Bình cần đầu tư phải lớn hơn R mà ta tìm được).

2. Giá trị hiện tại của một niên kim

HĐ2 trang 126 Toán 11 Tập 1: Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền

Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý.

a) Tính lãi suất i trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm.

b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vỗn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó.

Lời giải:

a) Một năm có 4 quý nên lãi suất trong mỗi quý là i = 6% : 4 = 1,5%.

Số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm là 5 . 4 = 20.

b) Giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó là

A_p = 100 . (1 + 1,5%)^-20 ≈ 74,25 (triệu đồng).