Với lời giải Toán 11 trang 39 Tập 1 chi tiết trong Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.19 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau

a) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $2\cos x=-\sqrt{2}$ ;

c) $\sqrt{3}\tan \left(\frac{x}{2}+15°\right)=1$ ;

d) $\cot \left(2x-1\right)=\cot \frac{\pi }{5}$ .

Lời giải:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

b) $2\cos x=-\sqrt{2}$

$\iff \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{3\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

c) $\sqrt{3}\tan \left(\frac{x}{2}+15°\right)=1$

$\iff \tan \left(\frac{x}{2}+15°\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan \left(\frac{x}{2}+15°\right)=\tan 30°$

$\iff \frac{x}{2}+15°=30°+k180°,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=30°+k360°,k\in \mathbb{Z}$  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 30° + k360°, k ∈ ℤ.

d) $\cot \left(2x-1\right)=\cot \frac{\pi }{5}$

$\iff 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ .

Bài 1.20 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Lời giải:

a) sin 2x + cos 4x = 0

⇔ cos 4x = – sin 2x

⇔ cos 4x = sin(– 2x)

⇔ cos 4x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-\left(-2x\right)\right)$

⇔ cos 4x = cos$\left(\frac{\pi }{2}+2x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \\ 4x=-\left(\frac{\pi }{2}+2x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

b) cos 3x = – cos 7x

⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=\pi +7x+k2\pi \\ 3x=-\left(\pi +7x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  và $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$.

Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$, ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải:

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

$y=\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.500}^2.{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ hay $y=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ .

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$

$\iff x\left(\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }x+\tan \alpha \right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000{\cos }^2\alpha .\tan \alpha }{49}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000\cos \alpha .\sin \alpha }{49}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}\end{array}\right.$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}=22000$ ⇔ sin 2α = $\frac{539}{625}$

Gọi $\beta \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$  là góc thỏa mãn $\sin \beta =\frac{539}{625}$ . Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\iff \left[\begin{array}{l}2\alpha =\beta +k2\pi \\ 2\alpha =\pi -\beta +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff \left[\begin{array}{l}\alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi \\ \alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Hàm số $y=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$  là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{\tan \alpha }{2.\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }}=\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\\ y_I=f\left(x_I\right)=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{\left(\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\right)}^2+\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\tan \alpha \end{array}\right.$

Hay $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\\ y_I=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}\end{array}\right.$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{\max }=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}$.

Ta có $y_{\max }=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}\le \frac{625000}{49}$ , dấu “=” xảy ra khi sin² α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.

Bài 1.22 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

$x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$.

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Lời giải:

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

$2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff \cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay $0\le \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\le 6$

$\iff -\frac{2}{3}\le k\le \frac{90-2\pi }{3\pi }$

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.