Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chương 2 Hình học: Đa giác. Diện tích đa giác hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 8.

Lý thuyết Toán 8 Chương 2 Hình học: Đa giác. Diện tích đa giác

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa đa giác

Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

2. Mở rộng

Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng (n - 2).180⁰.

Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng

Số các đường chéo của đa giác n cạnh bằng

3. Công thức diện tích

Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = 1/2a.h.

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: S = 1/2ab.

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S = ab.

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: S = 1/2(a + b)h.

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ah.

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: S = 1/2d₁d₂.

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu chiều rộng tăng 4 lần, chiều dài giảm 2 lần ?

   A. Diện tích không đổi.

   B. Diện tích giảm 2 lần.

   C. Diện tích tăng 2 lần.

   D. Cả đáp án A, B, C đều sai.

Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

Theo giả thiết: S_{ban đầu} = a.b

Khi đó ta có: S_sau = 4b.1/2a = 2a.b = 2S_{ban đầu}

Do đó, diện tích sau tăng lên 2 lần.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho hình chữ nhật có chiều dài là 4 cm, chiều rộng là 1,5 cm. Diện tích của hình chữ nhật đó là ?

   A. 5( cm )   B. 6( cm² )

   C. 6( cm )   D. 5( cm² )

Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

Khi đó ta có: S_hcn = 4. 1,5 = 6( cm² ).

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho hình vuông có độ dài cạnh hình vuông là 4 cm. Diện tích của hình vuông đó là?

   A. 8( cm ).   B. 16( cm )

   C. 8( cm² )   D. 16( cm² )

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

Khi đó ta có S_hv = 4.4 = 16 ( cm² ).

Chọn đáp án D.

Bài 4: Cho tam giác vuông, có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm, 4cm. Diện tích của tam giác vuông đó là ?

   A. 24( cm² )   B. 14( cm² )

   C. 12( cm² )   D. 10( cm² )

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh: S = 1/2a.b.

Khi đó ta có S = 1/2. 6. 4 = 12( cm² ).

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho hình vuông có đường chéo là 6( dm ) thì diện tích là ?

   A. 12( cm² )   B. 18( cm² )

   C. 20( cm² )   D. 24( cm² )

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

Ngoài công thức này, diện tích hình vuông còn một công thức mở rộng là:

Diện tích hình vuông bằng nửa tích của hai đường chéo

Khi đó ta có : S = 1/2. 6. 6 = 18( cm² ).

Chọn đáp án B.

Bài 6: Đa giác đều là đa giác ?

   A. Có tất cả các cạnh bằng nhau.

   B. Có tất cả các góc bằng nhau.

   C. Có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

   D. Cả 3 đáp án trên đều đúng

Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Chọn đáp án C.

Bài 7: Lục giác đều có?

   A. Có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau.

   B. Có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bất kì

   C. Có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau.

   D. Có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau.

Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Lục giác đều là đa giác có 6 cạnh và 6 góc bằng nhau.

Chọn đáp án A.

Bài 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

   A. Hình vuông là đa giác đều.

   B. Tổng các góc của đa giác lồi 8 cạnh là 1080⁰.

   C. Hình thoi là đa giác đều.

   D. Số đo góc của hình bát giác đều là 135,5⁰.

Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

+ Hình vuông là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

⇒ Hình vuông là đa giác đều.

⇒ Đáp án A đúng.

+ Hình thoi là hình có 4 cạnh bằng nhau nhưng 4 góc không bằng nhau.

⇒ Hình thoi không phải là đa giác đều.

⇒ Đáp án C sai.

+ Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n - 2 ).180⁰.

Khi đó tổng các góc của đa giác lồi 8 cạnh là ( 8 - 2 ).180⁰ = 1080⁰.

⇒ Đáp án B đúng.

+ Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là (( n - 2 ).180⁰)/n.

Khi đó số đo của hình bát giác đều là (( 8 - 2 ).180⁰)/8 = 135⁰.

⇒ Đáp án D sai.

Bài 9: Một đa giác 7 cạnh thì số đường chéo của đa giác đó là ?

   A. 12.   B. 13.

   C. 14.   D. Kết quả khác.

Số đường chéo của đa giác n cạnh là (n( n - 3 ))/2.

Khi đó số đường chéo của đa giác 7 cạnh là (7( 7 - 3 ))/2 = 14 (đường chéo)

Chọn đáp án C.

Bài 10: Một đa giác có số đường chéo bằng số cạnh của đa giác thì đa giác có số cạnh là?

   A. 5.   B. 6.

   C. 4.   D. 7.

Số đường chéo của đa giác n cạnh là (n( n - 3 ))/2. ( n ∈ N, n ≥ 3 )

Theo giả thiết ta có (n( n - 3 ))/2 = n ⇔ n( n - 3 ) = 2n ⇔ n² - 3n - 2n = 0

⇔ n² - 5n = 0 ⇔ n( n - 5 ) = 0 ⇔ 

So sánh điều kiện ta có n = 5 thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Bài 11: Tam giác có độ dài cạnh đáy bằng a , độ dài cạnh huyền là h. Khi đó diện tích tam giác được tính bằng công thức ?

   A. a.h   B. 1/3ah

   C. 1/2ah   D. 2ah

Ta có diện tích của tam giác: S = 1/2a.h.

Trong đó: a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

Chọn đáp án C.

Bài 12: Diện tích tam giác S_AHB = ? với H là chân đường cao kẻ từ A.

   A. S_ABC - S_AHB

   B. S_AHC - S_ABC

   C. S_ABC - S_AHC

   D. S_AHC + S_ABC

Ta có: S_AHB + S_AHC = S_ABC ⇒ S_AHB = S_ABC - S_AHC

Chọn đáp án C.

Bài 13: Cho Δ ABC, có đường cao AH = 2/3BC thì diện tích tam giác là ?

   A. 2/5BC².   B. 2/3BC².

   C. 1/3BC².   D. 1/3BC.

Ta có diện tích của tam giác: S = 1/2b.h.

Trong đó: b là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

Khi đó ta có :

S = 1/2AH.BC = 1/2.2/3BC.BC = 1/3BC².

Chọn đáp án C.

Bài 14: Δ ABC có đáy BC = 6cm, đường cao AH = 4cm. Diện tích Δ ABC là ?

   A. 24cm²   B. 12cm²

   C. 24cm.   D. 14cm²

Ta có diện tích Δ ABC là S = 1/2AH.BC = 1/2.6.4 = 12( cm² ).

Chọn đáp án B.

Bài 15: Cho Δ ABC vuông tại A, có đáy BC = 5cm và AB = 4cm. Diện tích Δ ABC là ?

   A. 12cm²   B. 10cm

   C. 6cm²   D. 3cm²

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có AB² + AC² = BC² ⇒ AC = √ (BC² - AB²)

⇒ AC = √ (5² - 4²) = 3cm.

Khi đó S_ABC = 1/2AB.AC = 1/2.4.3 = 6( cm² )

Chọn đáp án C.

Bài 16: Cho Δ ABC, đường cao AH. Biết AB = 15cm, AC = 41cm, HB = 12cm. Diện tích của Δ ABC là ?

   A. 234( cm² )   B. 214( cm² )

   C. 200( cm² )   D. 154( cm² )

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

+ Xét Δ ABH có AH² + BH² = AB² ⇒ AH = √ (AB² - BH²)

⇒ AH = √ (15² - 12²) = 9 ( cm ).

+ Xét Δ ACH có AC² = AH² + HC² ⇒ HC = √ (AC² - AH²)

⇒ HC = √ (41² - 9²) = 40 ( cm ).

Khi đó S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2AH( HB + HC ) = 1/2.9.( 12 + 40 ) = 234 ( cm² ).

Chọn đáp án A.

Bài 17: Hình thang có độ dài đáy lần lượt là 2√ 2 cm, 3cm và chiều cao là 3√ 2 cm. Diện tích của hình thang là ?

   A. 2( 2 + √ 2 )cm².

   B. 3( 2 + 3/2√ 2 )cm².

   C. 3( 3 + √ 2 )cm².

   D. 3( 2 + (√ 2 )/2 )cm²

Ta có: S = 1/2( a + b ).h

Khi đó ta có:

 = 3√ 2 .( √ 2 + 3/2 ) = 3( 2 + 3/2√ 2 )cm²

Chọn đáp án B.

Bài 18: Hình thang có độ dài đáy lần lượt là 6cm, 4cm và diện tích hình thang đó là 15cm². Chiều cao hình thang có độ dài là ?

   A. 3cm.   B. 1,5cm

   C. 2cm   D. 1cm

Diện tích của hình thang là S = 1/2( a + b ).h

⇒ ( a + b ).h = 2S ⇔ h = (2S)/(a + b).

Khi đó, chiều cao của hình thang là h = (2.15)/(6 + 4) = 3( cm ).

Chọn đáp án A.

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD ( AB//CD ) có AB = CD = 4cm, độ dài đường cao hình bình hành là h = 2cm. Diện tích của hình bình hành là?

   A. 4( cm² )   B. 8( cm² )

   C. 6( cm² )   D. 3( cm² )

Ta có : S = a.h

Khi đó ta có: S = 4.2 = 8( cm² ).

Chọn đáp án B.

Bài 20: Cho hình thang vuông ABCD ( Aˆ = Dˆ = 90⁰ ), trong đó có Cˆ = 45⁰, AB = 2cm, CD = 4cm. Diện tích của hình thang vuông ABCD là

   A. 3( cm² )   B. 8( cm² )

   C. 4( cm² )   D. 6( cm² )

Xét hình thang ABCD

Từ B kẻ BH ⊥ CD, khi đó ta được hình chữ nhật ABHD ⇒ AB = DH = 2cm

⇒ HC = CD - DH = 4 - 2 = 2cm.

+ Xét Δ BDC có BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ Δ BDC là tam giác cân tại B.

Mà BCDˆ = 45⁰ ⇒ BDCˆ = 45⁰

⇒ DˆBC = 180⁰ - ( BCDˆ + BDCˆ ) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰.

⇒ Δ BDC là tam giác vuông cân tại B nên BH = 1/2DC = 2cm.

Do đó

Chọn đáp án D.

Bài 21: Công thức diện tích hình thoi là ?

   A. d₁d₂

   B. 1/2d₁d₂

   C. 2d₁d₂

   D. Cả 3 đều sai.

Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Chọn đáp án B.

Bài 22: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 8cm, 10cm. Diện tích hình thoi là?

   A. 80cm².   B. 40cm².

   C. 18cm².   D. 9cm².

Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = 1/2.8.10 = 40( cm² )

Chọn đáp án B.

Bài 23: Hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là a√ 2 ,cm, a√ 3 cm. Diện tích của hình thoi là ?

   A. a²√ 6 ( cm² )

   B. (a²√ 6 )/3( cm² )

   C. (a²√ 6 )/2( cm² )

   D. (a²√ 5 )/2( cm² )

Diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = 1/2. a√ 2 . a√ 3 = (a²√ 6 )/2( cm² )

Chọn đáp án C.

Bài 24: Cho hình thoi ABCD có AB = BC = CD = DA = 4cm và BACˆ = 60⁰. Diện tích của hình thoi ABCD là ?

   A. 8( cm² )   B. 8√ 3 ( cm² )

   C. 16( cm² )   D. 16√ 3 ( cm² )

Xét hình thoi ABCD có BACˆ = 60⁰.

Ta có ⇒ Δ ABD đều

⇒ AB = AD = BD = 4cm

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

AH² + HB² = AB² ⇒ AH = √ (AB² - HB²)

⇒ AC = 2AH = 4√ 3 ( cm )

Do đó S_ABCD = 1/2AC.BD = 1/2.4√ 3 .4 = 8√ 3 ( cm² )

Chọn đáp án B.

Bài 25: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 40cm và đường chéo BD = 8cm. Diện tích của hình thoi là ?

   A. 16( cm² )

   B. 8√ 21 ( cm² )

   C. 16√ 21 ( cm² )

   D. 8( cm² )

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

⇒ HB = HD = 4( cm )

Theo giải thiết ta có:

P_ABCD = AB + BC + CD + DA = 40

⇒ AB = BC = CD = DA = 10( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có :

AH² + HB² = AB² ⇒ AH = √ (AB² - HB²) = √ (10² - 4²) = 2√ 21 ( cm )

⇒ AC = 2AH = 4√ 21 ( cm )

Do đó S_ABCD = 1/2.BD.AC = 1/2.4√ 21 .8 = 16√ 21 ( cm² )

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận

1. Nhận biết – Thông hiểu

Bài 1: Cho đa giác đều có 14 cạnh. Tính :

a) Tổng số đo góc của đa giác đó

b) Số đo một góc của đa giác

c) Số đường chéo của đa giác.

Hướng dẫn:

a) Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n - 2 ).180⁰.

Tổng số đo của đa giác 14 cạnh là ( 14 - 2 ).180⁰ = 2160⁰.

b) Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là

Số đo một góc của đa giác 14 cạnh là

c) Số đường chéo của đa giác n cạnh là

Số đường chéo của đa giác 14 cạnh làđường chéo

Bài 2: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu :

a) Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng không đổi

b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần.

c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần.

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật lần lượt là a,b

Diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b.

a) Nếu chiều dài tăng lên 2 lần, chiều rộng không đổi thì khi đó chiều dài, chiều rộng mới là là 2a và b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 2a.b = 2S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 2 lần.

b) Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 3a,3b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 3a.3b = 9S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 9 lần.

c) Nếu chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm đi 4 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 4a, 1/4b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 4a. 1/4b = ab = S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật không đổi.

Bài 3: Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật biết rằng

a) Bình phương độ dài một cạnh là 16cm và diện tích hình chữ nhật là 28cm².

b) Tỉ số các cạnh là 4:9 và diện tích của nó là 144cm².

Hướng dẫn:

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a,b ( a > 0, b > 0 ). Khi đó diện tích của hình chữ nhật là S_hcn = a.b

a) Theo bài ra ta có: x.y = 28    ( 1 ) và x² = 16 = 4² ⇔ x = 4 (vì x > 0 ), trường hợp y² = 16 tương tự.

Thay x = 4 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: 4y = 28 ⇔ y = 7.

Với x = 4,y = 7 thỏa mãn yêu cầu điều kiện.

Vậy hai kích thức của hình chữ nhật là 4cm, 7cm

b) Theo bài ra ta có x/y = 4/9    ( 2 ) và x.y = 144    ( 3 )

Nhân theo vế đẳng thức ( 2 ) với ( 3 ) ta được x² = 8² ⇔ x = 8 (vì x > 0 )

Thay x = 8 vào đẳng thức ( 3 ) ta được 8y = 144 ⇔ y = 18.

Với x = 8,y = 18 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy kích thức của hình chữ nhật là 8cm,18cm.

Bài 4: Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy là a, cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Hướng dẫn:

Xét Δ ABC cân tại A có AB = AC = b, BC = a.

Từ A kẻ AH ⊥ BC.

Ta có BH = HC = 1/2BC = a/2

Khi đó ta có: S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.a.AH

Áp dụng định lý Py – to – go ta có:

AC² = AH² + HC² ⇒ AH = √ (AC² - HC²) .

Khi đó S_ABC = 1/2AH.BC

Do đó diện tích của tam giác đều các cạnh bằng a là

Bài 5: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm ), đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Hướng dẫn:

Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

AB = √ (AH² + HB²) = √ (20² + 15²) = 25( cm )

Kẻ BK ⊥ AC, giờ ta phải tính BK = ?

Ta có : S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.20.30 = 300 ( cm² )

Mặt khác S_ABC = 1/2BK.AC = 1/2.BK.25

Do đó, ta có 1/2BK.25 = 300 ⇔ BK = (2.300)/25 = 24( cm ).

Bài 6: Tính diện tích mảnh đất hình thang ABED có AB = 23cm, DE = 31cm và diện tích hình chữ nhật ABCD là 828cm².

Hướng dẫn:

Theo bài ra ta có S_ABCD = AB.BC = 23.BC = 828 ⇒ BC = 36 ( cm )

Khi đó ta có

Vậy diện tích hình thang ABED là 972( cm² )

Bài 7: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 10cm, 12cm. Tính diện tích của hình thoi đó ?

Hướng dẫn:

Công thức diện tích của hình thoi là S = 1/2d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ là độ dài của hai đường chéo.

Khi đó diện tích hình thoi cần tìm là: S = 1/2.10.12 = 60( cm² )

Vậy diện tích hình thoi cần tìm là 60( cm² )

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Tìm số cạnh của một đa giác, biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn:

Nhận thấy: Hình vuông và hình ngũ giác đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ta chứng minh đa giác có số cạnh lớn hơn 5 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại đa giác AA₁A₂ ... A_n với n ≥ 6 có các đường chéo có độ dài bằng nhau.

⇒ A₁A₄ = A₂A₅ vì chúng là các đường chéo.

Xét tứ giác A₁A₂A₄A₅, có các đoạn thẳng A₁A₄,A₂A₅ là các đường chéo; còn A₁A₅,A₂A₄ là các cạnh của tứ giác nên tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Hay A₁A₅ + A₂A₄ < A₁A₄ + A₂A₅ mẫu thuẫn với giải thiết quy nạp vì A₁A₅,A₂A₄ cũng là hai đường chéo của đa giác.

⇒ Giả thiết đưa ra là sai.

Vậy đa giác có số cạnh lớn hơn 5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua E là một điểm bất kỳ nằm trrên đường chéo AC, kẻ hai đường chéo FG//AD và HK//AB ( F ∈ AB, G ∈ DC, H ∈ AD, K ∈ DC ). Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.

Hướng dẫn:

Theo giả thiết ta có FG//AD, HK//AB nên HE//AF và AH//EF.

Xét tứ giác AFEH có:

⇒ AFEH là hình bình hành.

Mà Aˆ = 90⁰ ⇒ AFEH là hình chữ nhật.

⇒ Δ AFE = Δ AHE ( c - g - c ) → S_AFE = S_AHE.

Tương tự: S_EKC = S_EGC; S_ABC = S_ADC

⇒ S_ABC - S_AFE - S_EKC = S_ADC - S_AHE - S_EGC hay S_EFBK = S_EHDG.

Bài 3: Trung tuyến AD và BE của Δ ABC cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:

S_DEG = 1/2S_CEG = 1/3S_CED = 1/4S_ABG = 1/6S_ABE = 1/12S_ABC.

Hướng dẫn:

Đặt S_DEG = a. Ta cần chứng minh:

S_CEG = 2a; S_CED = 3a; S_ABG = 4a; S_ABE = 6a; S_ABC = 12a

Đường trung tuyến AD và BE cứt nhau tại G nên G là trọng tâm của Δ ABC

⇒ Khoảng cách từ G đến các đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài các đường trung tuyến tương ứng.

Ta có S_BDG = 2S_DGE = 2a (vì chung đường cao kẻ từ D xuống BE và BG = 2GE )

S_BDG = S_CGD = 2a (vì chung đường cao kẻ từ G xuống BC và BD = DC )

Do đó S_BDC = S_BDG + S_CGD = 2a + 2a = 4a.

Lại có S_CEG = 1/2S_BGC = 1/2.4a = 2a (vì chung đường cao kẻ từ C xuống BE và BG = 2GE )

+ S_EDC = S_EBD = 2a + a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống BC và BD = DC )

+ S_AGB = 2S_GBD = 4a (vì chung đường cao kẻ từ B xuống AD và AG = 2GD )

+ S_AEB = 3/2S_AGB = 3/2.4a = 6a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BE và BE = 3/2BG )

+ S_ABC = 2S_ABE = 2.6a = 12a.

Bài 4: Trên 3 cạnh AB, BC, CA của Δ ABC lấy ba đoạn AD, BE, CF mỗi đoạn dài bằng 1/3 độ dài của cạnh tương ứng. Chứng minh S_ABC = 3S_DEF.

Hướng dẫn:

Đặt S_ABC = 9a. Ta có:

+ S_ABE = 1/3S_ABC = 1/3.9a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BC và BC = 3BE )

+ S_ADE = 1/3S_ABE = 1/3.3a = a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống AB và AB = 3AD )

Do đó S_BDE = S_ABE - S_ADE = 3a - a = 2a.

Tương tự: S_ADF = S_CEF = 2a

Vậy S_DEF = 9a - 6a = 3a hay S_ABC = 3S_DEF.

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

Gọi diện tích ABC, ABH,BCH,CAH lần lượt là S,S₁,S₂,S₃.

Ta có S = S₁ + S₂ + S₃.

+ Các tam giác ABC và ABH có chung đáy AB nên tỉ số đường cao bằng tỉ số diện tích:

+ Tương tự:

Khi đó ta có

Bài 6: Chứng minh rằng với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh là a,b ?

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABC có BC = a, AC = b

Kẻ AH ⊥ BC thì AH và AC lần lượt là đường xiên.

Đường vuông góc kẻ từ A ở ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng đó nên đường AH là đường ngắn nhất hay AH ≤ AC.

Khi đó ta có:

Mặt khác ta có:

+ 4ab = ( a + b )² - ( a - b )² ≤ ( a + b )²    ( 1 )

+ 2( a² + b² ) = ( a + b )² + ( a - b )² ≥ ( a + b )²     ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có: 4ab ≤ 2( a² + b² ) ⇒ 

hay(đpcm)

Bài 7: Tính diện tích hình thang, biết hai đường chéo của nó vuông góc với nhau và có độ dài tương ướng là 3,6dm và 6dm.

Hướng dẫn:

Xét hình thang ABCD ( AB//CD ) có AC ⊥ BD và AC = 6dm, BD = 3,6dm.

Kẻ đường cao BH của hình thang.

Ta có

Kẻ BE//AC thì BD ⊥ BE thì hình thang ABEC có hai cặp cạnh đối song song → ABEC là hình bình hành.

Do đó, ta có: CD + AB = CD + CE = DE

Khi đó ta có

⇒ S là diện tích của tam giác DBE vuông tại B.

Khi đó S = 1/2BD.BE = 1/2.3,6. 6 = 10,8( dm² )

Vậy diện tích của hình thang là 10,8( dm² )

Bài 8: Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp án ?

Hướng dẫn:

Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) và AD = BC = 6( cm )

Từ A kẻ các đường cao AH,AK.

Khi đó ta có:

+ S_hbh = AH.CD = 8.AH

+ S_hbh = AK.BC = 6.AK

Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:

8.5 = 6.AK ⇔ AK = (8.5)/6 = 20/3( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:

8.AH = 6.5 ⇔ AH = (6.5)/8 = 15/4( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Vậy bài toán này có hai đáp số

Bài 9: Tính diện tích hình thoi có cạnh là 17cm và tổng hai đường chéo là 46cm.

Hướng dẫn:

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Theo giải thiết ta có: AC + BD = 46( cm )

⇔ ( HB + HD ) + ( HC + HA ) = 46

⇔ 2HB + 2HA = 46 ⇔ HA + HB = 23

Khi đó ta có: HA + HB = 23 ⇔ ( HA + HB )² = 23²

⇔ HA² + 2HA.HB + HB² = 23²    ( 1 )

Mặt khác, theo định lí Py – to – go ta có: AH² + HB² = AB² = 17²    ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có: 17² + 2HA.HB = 23² ⇒ HA.HB = (23² - 17²)/2 = 120.

Hay AC/2.BD/2 = 120 ⇔ 1/2.AC.BD = 240 ⇒ S_ABCD = 240( cm² )

Vậy diện tích hình thoi là 240cm².

Bài 10: Cho hình thoi ABCD có AB = 6cm, Aˆ = 60⁰. Tính diện tích của hình thoi?

Hướng dẫn:

Diện tích của hình thoi ABCD là

S = 1/2AC.BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

 ⇒ S = 2OA.OB

Từ giả thiết ta có hình thoi ABCD có Aˆ = 60⁰ nên Δ ABD đều

Do đó Δ ABO là nửa tam giác đều có BO = 1/2BD = 6/2 = 3( cm ).

Áo dụng định lí Py – to – go ta có:

AB² = AO² + BO² ⇒ AO = √ (AB² - BO²) = √ (6² - 3²) = 3√ 3 ( cm )

Khi đó ta có: S = 2OA.OB = 2.3√ 3 .3 = 18√ 3 ( cm² )

Vậy diện tích hình thoi là 18√ 3 ( cm² )