Đáp án đúng là: C

Tứ giác ABCD hình thoi có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau nhưng chưa thể kết luận được ABCD là hình vuông.

Đáp án đúng là: A

Vì M′ đối xứng M qua D nên DM = DM′ (1)

Ta có: MD // AC

Mặt khác $\Delta ABC$ vuông ở A nên $AB\perp AC$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $DM\perp AB\Rightarrow MM\text{'}\perp AB$.

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM′ nên tứ giác AMBM′ là hình bình hành.

Mặt khác $MM\text{'}\perp AB$ nên AMBM′ là hình thoi. (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.)

Đáp án đúng là: D

Do MNPQ là hình thang cân nên MP = NQ. (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau). (1)

Xét các tam giác MNQ, PQN, MNP, QMP ta có:

$\text{AD =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{QN; BC =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{QN, AB =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{MP, DC =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{MP}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CD = DA.

Do đó ABCD là hình thoi. (Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.)

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có: $\text{MN // AC; MN =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AC}$ (1)

Xét tam giác ADC có: $\text{PQ // AC; PQ =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\text{MN // PQ; MN = PQ}\Rightarrow \text{MNPQ}$ là hình bình hành.

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ.

Mà $\text{MN =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AC; MQ =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BD}$

Suy ra AC = BD.

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì $AC\perp BD$ (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: $\text{AB = AD;}\hat{B}\text{=}\hat{D}\text{; BE = DF}$

Từ đó suy ra $\text{ΔABE = ΔADF}$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{{\text{A}}_1}\text{=}\widehat{{\text{A}}_{\text{4}}}$( hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\widehat{\text{BAD}}\Rightarrow \widehat{{\text{A}}_{\text{2}}}\text{=}\widehat{{\text{A}}_{\text{3}}}$ (1)

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD // CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, $\text{ED = FB}\left(\text{=}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AD =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BC}\right)$

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét $\Delta ABD$ có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm $\text{ΔABD}\Rightarrow \text{EP =}\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{BE}$

Xét $\Delta CBD$ có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm $\text{ΔCBD}\Rightarrow \text{QF =}\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{DF}$

Mà BE = DF (cmt) $\Rightarrow$EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có EP = QF, EP // QF $\Rightarrow$ EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì $EF\perp PQ$.

Mà EF // CD (do hình bình hành ABCD có AB // CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC ).

Nên $CD\perp PQ$ hay $\text{CD}\perp \text{AC}\Rightarrow \widehat{\text{ACD}}\text{= 90}°$

Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi.

C. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Câu 8. Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?

A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.

D. Hai đường chéo bằng nhau.

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

B. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

D. Tứ giác có bốn góc bằng nhau là hình thoi.

Câu 10. Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào không đủ để kết luận một hình vuông?

A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

B. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

D. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

Đáp án đúng là: D

Ta có: AH = BE = CF = DG

$\Rightarrow \text{ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG(c.g.c)}$

Do đó: EH = FE = GF = HG (1)

Lại có: $\text{ΔAEH = ΔBFE}\Rightarrow \widehat{\text{BEF}}\text{=}\widehat{\text{AHE}}$

$\Rightarrow \widehat{\text{AEH}}\text{+}\widehat{\text{BEF}}\text{= 90}°$

$\Rightarrow \widehat{\text{FEH}}\text{= 90}°\text{(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Vì EF // AD //BC

Và AE = FB = BC = CF = FD = DA

Lại có: AE // DF

$\Rightarrow$Tứ giác ADFE là hình bình hành (dhnb)

Lại có: $\hat{A}=90°$(do ABCD là hình chữ nhật)

$\Rightarrow$Tứ giác ADFE là hình chữ nhật.

Mặt khác: $\text{AD = AE =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AB}$

$\Rightarrow$ ADFE là hình vuông.

Chứng minh tương tự ta có BCFE là hình vuông

Do đó $\Delta MEF$ và $\Delta NEF$ là hai tam giác vuông cân tại M, N

Suy ra tứ giác EMFN là hình vuông.

Tứ giác AFME có: $\hat{A}\text{=}\widehat{\text{AFM}}\text{=}\widehat{\text{AEM}}\text{= 90}°$ nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác của góc $\widehat{\text{EAF}}$

Mà ta lại có: AC là phân giác $\widehat{\text{DAB}}$ (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra $M\in AC$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\text{IK = MN =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BD, KM = IN =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{CE}$

Mà BD = CE nên IK = KM = MN = IN (1)

Lại có: IK // BD, IN //CE

Mặt khác: $BD\perp CE$

$\Rightarrow IK\perp IN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra IKMN là hình vuông.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\Delta ACD=\Delta ABE$ (c.g.c)

Suy ra: CD = BE

Lại có: $\widehat{{\text{C}}_{\text{1}}}\text{=}\widehat{{\text{B}}_{\text{1}}}$

Mặt khác: $\widehat{{\text{B}}_1}$ phụ với $\widehat{\text{BEC}}$ nên $\widehat{{\text{C}}_{\text{1}}}$ phụ với $\widehat{\text{BEC}}$

Do đó: $CD\perp BE$

Theo đề bài ta có:

$\text{MN // CD, MN =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{CD}$

$\text{KI // CD, KI =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{CD}$

$\text{NI // BE, NI =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BE}$

$\text{MK // BE, MK =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{BE}$

Từ đó suy ra MN = NI = KI = MK và $MN\perp MK$

Do đó tứ giác MNIK là hình vuông.