Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 01-12-2023 Lớp 11

2.8 K

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 1 sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1

Giải SBT Toán 11 trang 31

Bài 63 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều dương). Khi đó, số đo của góc lượng giác (OA, OC) bằng:

A. $\frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

B. $- \frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

C. $\frac{π}{3} + k 2 π$ .

D. $- \frac{π}{3} + k 2 π$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều dương)

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

$\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O F} = \hat{F O A} = \frac{360 °}{6} = 60 ° = \frac{π}{3}$ .

Khi đó, ta có: $(O A, O C) = \frac{π}{3} + \frac{π}{3} + k 2 π = \frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

Bài 64 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α = 2. Giá trị của biểu thức $A = \frac{3 \sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ bằng:

Lời giải:

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos α ta được:

$A = \frac{3 \sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ $= \frac{3 \tan α + 1}{\tan α - 1} = \frac{3.2 + 1}{2 - 1} = \frac{7}{1} = 7$ .

Giải SBT Toán 11 trang 32

Bài 65 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)² bằng:

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)²

= 4sin² x – 4sin x cos x + cos² x + 4cos² x + 4cos x sin x + sin² x

= 5sin² x + 5cos² x

= 5(sin² x + cos² x)

= 5 . 1 = 5.

Bài 66 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu hai góc a và b có tan a = $\frac{1}{3}$ và tan b = $\frac{1}{2}$ thì giá trị của tan(a – b) bằng:

A. $\frac{1}{7}$ .

B. $- \frac{1}{5}$ .

C. $- \frac{1}{7}$ .

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{3} . \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = - \frac{1}{7}$ .

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos 2 α = \frac{\sqrt{3}}{6}$ thì giá trị của biểu thức $\cos (α + \frac{π}{3}) \cos (α - \frac{π}{3})$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

B. $\frac{- 3 + \sqrt{3}}{12}$ .

C. $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

D. $\frac{3 + \sqrt{3}}{12}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos (α + \frac{π}{3}) \cos (α - \frac{π}{3})$

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1

$= \frac{1}{2} (\cos 2 α + \cos \frac{2 π}{3})$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + \sqrt{3}}{12}$ .

Bài 68 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cos 2x = 0 có các nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

D. $x = k π (k \in ℤ)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cos 2x = 0 $\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

Bài 69 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ có các nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

D. $x = - \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\tan (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ nên tan x = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \tan x = \tan (- \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

Bài 70 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°) = sin 15°;

b) $\tan \frac{9 π}{20} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ .

Lời giải:

a) Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

= sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP (đpcm).

b) Ta có $\tan \frac{9 π}{20} = \tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{5}) = \frac{\tan \frac{π}{4} + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{4} . \tan \frac{π}{5}} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ .

Vậy $\tan \frac{9 π}{20} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ (đpcm).

Bài 71 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin(45°– α) = $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ .

a) Chứng minh rằng $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ .

b) Tính sin 2α.

Lời giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \cos (90 ° - 2 α)}{2} = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ .

Vậy $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ (đpcm).

b) Vì sin(45°– α) = $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ nên sin²(45°– α) = ${(\frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{8}$ .

Theo câu a) ta có $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ , do đó $\frac{1 - \sin 2 α}{2} = \frac{1}{8}$ .

Từ đó suy ra $\sin 2 α = \frac{3}{4}$ .

Bài 72 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ ;

b) $\sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

c) $\cos (2 x + \frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

d) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$ ;

e) $\sqrt{3} \tan (2 x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$ ;

g) cot(3x + π) = – 1.

Lời giải:

a) Do $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{6}) = \sin (- \frac{π}{6})$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

b) Do $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \sin \frac{π}{3}$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

c) Do $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos (2 x + \frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{5}) = \cos \frac{π}{4}$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

d) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{5 π}{6}$ (do $\cos \frac{5 π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ )

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

e) $\sqrt{3} \tan (2 x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \tan (2 x + \frac{π}{3}) = \tan \frac{π}{6}$ (do $\tan \frac{π}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow 2 x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

g) Do $\cot (- \frac{π}{4}) = - 1$ nên cot(3x + π) = – 1 $\Leftrightarrow \cot (3 x + π) = \cot (- \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow 3 x + π = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow 3 x = - \frac{5 π}{4} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{5 π}{12} + k \frac{π}{3} (k \in ℤ)$ .

Giải SBT Toán 11 trang 33

Bài 73 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ;

b) $\cos (x + \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$ ;

c) $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = \cos^{2} (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$ ;

d) $\cot 3 x = \tan \frac{2 π}{7}$ .

Lời giải:

a) $\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin (3 x - \frac{π}{6})$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

b) $\cos (x + \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

c) Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = \cos^{2} (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \frac{1 + \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = \frac{1 + \cos (3 x + \frac{π}{2})}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{3}) = \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

d) Sử dụng quan hệ phụ nhau của hai góc lượng giác, ta có:

$\cot 3 x = \tan \frac{2 π}{7}$

$\Leftrightarrow \cot 3 x = \cot (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{7})$

$\Leftrightarrow \cot 3 x = \cot \frac{3 π}{14}$

$\Leftrightarrow 3 x = \frac{3 π}{14} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{14} + k \frac{π}{3} (k \in ℤ)$ .

Bài 74 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách h (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức h = |y|, trong đó $y = a \sin (\frac{π}{5} t)$ với t là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây (t ≥ 0) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí A (Hình 16).

a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?

b) Tìm giá trị của a.

c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm

Lời giải:

a) Xét h = 0 hay |y| = 0, suy ra y = 0, tức là $a \sin (\frac{π}{5} t) = 0$ $\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{π}{5} t = k π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow t = 5 k (k \in ℤ, k \geq 0)$ (do t ≥ 0).

Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.

b) Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi t = 2,5 giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại t = 2,5 ta có y = |y| = h = 5 (do bằng bán kính). Khi đó, $a \sin (\frac{π}{5} .2,5) = 5$ $\Leftrightarrow a = 5$ .

Vậy a = 5.

c) Từ kết quả câu b, ta có: $y = 5 \sin (\frac{π}{5} t)$ .

Do h = 2,5 cm và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên y = – 2,5.

Với y = – 2,5, ta có: $5 \sin (\frac{π}{5} t) = - 2,5$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = \sin (- \frac{π}{6})$

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm

Với vòng quay đầu tiên thì 0 ≤ t ≤ 10, do đó $t = \frac{35}{6}, t = \frac{55}{6}$ .

Vậy tại thời điểm $t = \frac{35}{6}$ giây, $t = \frac{55}{6}$ giây thì chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.