Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Chương 2: Số nguyên sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 6.

Lý thuyết Toán lớp 6 Chương 2: Số nguyên

Video giải Toán 6 Chương 2: Số nguyên - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Toán lớp 6 Chương 2: Số nguyên

1. Làm quen với số nguyên âm

Số nguyên âm được ghi như sau: −1; −2; −3; … và được đọc là: âm một, âm hai, âm ba, … hoặc trừ một, trừ hai, trừ ba, …

2. Tập hợp số nguyên

Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương.

− Số nguyên dương có thể được viết là: +1; +2; +3; … hoặc thông thường bỏ đi dấu “+” và chỉ ghi là: 1; 2; 3; …

Các số −1; −2; −3; … là các số nguyên âm.

Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.

Ta kí hiệu tập hợp số nguyên là $\mathrm{\mathbb{Z}}$ . Như vậy, ta có: 

 $\mathrm{\mathbb{Z}}$= {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}.

3. Biểu diễn số nguyên trên trục số

Người ta biểu diễn các số nguyên như trong hình dưới đây.

Hình biểu diễn các số nguyên như trên gọi là trục số.

Điểm 0 (không) được gọi là điểm gốc của trục số.

Chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương, chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của trục số.

Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a.

4. Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên trên trục số nằm ở hai phía của điểm 0 và cách đều điểm 0 được gọi là hai số đối nhau.

Chú ý:

− Số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm.

− Số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương.

− Số đối của 0 là 0.

5. So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì ta nói a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a và ghi là: a < b hoặc b > a.

Nhận xét:

− Mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0.

− Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0.

− Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.

− Với hai số nguyên âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

6. Cộng hai số nguyên cùng dấu

− Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.

− Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.

− Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.

Chú ý:

Cho a, b là hai số nguyên dương, ta có:

(+a) + (+b) = a + b

(−a) + (− b) = − (a + b)

7. Cộng hai số nguyên khác dấu

a) Cộng hai số đối nhau

Tổng hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: a + (− a) = 0.

b) Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta làm như sau:

− Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.

− Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.

Chú ý: Khi cộng hai số nguyên trái dấu:

− Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.

− Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.

− Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.

8. Tính chất của phép cộng các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là: a + b = b + a

Chú ý: a + 0 = 0 + a = a.

b) Tính chất kết hợp

Phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)

Chú ý:

− Tổng (a + b) + c hoặc a + (b + c) là tổng của ba số nguyên a, b, c và viết là a + b + c; với a, b, c là các số hạng của tổng.

− Để tính tổng của nhiều số, ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các số hạng (tính giao hoán), hoặc nhóm tùy ý các số hạng (tính kết hợp) để việc tính toán được đơn giản và thuận lợi hơn.

9. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a – b = a + (−b)

Chú ý:

− Cho hai số nguyên a và b. Ta gọi a – b là hiệu của a và b (a được gọi là số bị trừ, b là số trừ).

− Phép trừ luôn thực hiện được trong tập hợp số nguyên.

Như vậy, hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b.

10. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:

• có dấu “+”, thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc

+ (a + b – c) = a + b – c

• có dấu “–”, thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc

− (a + b – c) = − a − b + c

11. Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

− Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

− Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (−) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

(+ a) . (−b) = − a . b

(− a) . (+ b) = − a . b

12. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu

− Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

− Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (−a) . (−b) = (+a) . (+b) = a . b.

• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

13. Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là:

a . b = b . a

Chú ý:

• a . 1 = 1 . a = a;

• a . 0 = 0 . a = 0.

• Cho hai số nguyên x, y:

Nếu x . y = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

b) Tính chất kết hợp

Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a . b) . c = a . (b . c)

Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:

a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c.

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép trừ:

a(b − c) = ab – ac

14. Quan hệ chia hết và phép chia trong tập hợp số nguyên

Cho $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

15. Bội và ước của một số nguyên

Cho a,b$\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b là b là ước của a.

Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hãy vẽ và biểu diễn các số −5; −3; 2; 4 trên trục số đó.

Hướng dẫn giải

Ta biểu diễn các số trên trục số như sau: 

− Biểu diễn số −5: Ta di chuyển 5 vạch về bên trái số 0.

− Biểu diễn số −3: Ta di chuyển 3 vạch về bên trái số 0.

− Biểu diễn số 2: Ta di chuyển 2 vạch về bên phải số 0. 

− Biểu diễn số 4: Ta di chuyển 4 vạch về bên phải số 0.

Khi đó, ta được trục số như sau:

Bài 2. Tìm số đối của các số nguyên sau: −25; −84; 45; 4; 0; −2022.

Hướng dẫn giải

Số đối của −25 là 25.

Số đối của −84 là 84.

Số đối của 45 là −45.

Số đối của 4 là −4.

Số đối của 0 là 0.

Số đối của −2 022 là 2 022.

Bài 3. Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa −5 và 3.

Hướng dẫn giải

Các số nằm giữa −5 và 3 là các số nằm bên phải −5 và bên trái của 3 trên trục số.

Các số nằm giữa −5 và 3 là: −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2.

Vậy có 7 số nguyên nằm giữa −5 và 3.

Bài 4. So sánh các cặp số sau:

a) – 15 và 0;

b) 7 và −8;

b) −21 và −6.

Hướng dẫn giải

a) – 15 < 0 (số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0);

b) 7 > −8 (số nguyên dương lớn hơn số nguyên âm);

b) Số đối của số −21 và −6 lần lượt là 21 và 6.

Vì 21 > 6 nên −21 < −6.

Vậy −21 < −6.

Bài 5. Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần.

3; − 4; 5; 4; 12; 0; − 1; − 10; − 8.

Hướng dẫn giải

* Ta chia các số đã cho thành các nhóm rồi so sánh:

Nhóm 1: Nhóm các số nguyên dương: 3; 5; 4; 12.

Ta có 3 < 4 < 5 < 12.

Khi đó 0 < 3 < 4 < 5 < 12. 

Nhóm 2: Các số nguyên âm: – 4; – 1; – 10; – 8.

Số đối của các số – 4; – 1; – 10; – 8 lần lượt là 4; 1; 10; 8.

Vì 10 > 8 > 4 > 1 nên – 10 < – 8 < – 4 < – 1 < 0.

Khi đó – 10 < – 8 < – 4 < – 1 < 0.

Do đó ta có: – 10 < – 8 < – 4 < – 1 < 0 < 3 < 4 < 5 < 12.

Vậy các số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:

– 10; – 8; – 4; – 1; 0; 3; 4; 5; 12.

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:

a) 88 + 45;

b) (−48) + (−64);

c) 2 032 + (−2 032);

d) 47 + (−33).

Hướng dẫn giải

a) 88 + 45 = 133;

b) (−48) + (−64) = − (48 + 64) = − 112;

c) 2 032 + (−2 032) = 0;

d) 47 + (−33) = (47 – 33) = 14.

Bài 7. Sắp xếp các số − 5; 4; −2; 0; 2 theo thứ tự tăng dần.

Hướng dẫn giải

Ta xếp các số thành các nhóm rồi so sánh:

Nhóm 1: Các số nguyên âm: – 5 và – 2.

Số đối của – 5 và – 2 lần lượt là 5 và 2.

Vì 5 > 2 nên – 5 < – 2.

Do đó – 5 < – 2 < 0.

Nhóm 2: Các số nguyên dương: 4 và 2.

Ta có 2 < 4. Khi đó 0 < 2 < 4.

Do đó: – 5 < – 2 < 0 < 2 < 4.

Vậy các số đã cho được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: –5; –2; 0; 2; 4.

Bài 8. Tổng của số nguyên âm nhỏ nhất có ba chữ số và số nguyên dương nhỏ nhất có bốn chữ số là số là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Số nguyên dương nhỏ nhất có bốn chữ số là: 1000.

Sô nguyên âm nhỏ nhất có ba chữ số là: − 999.

Tổng của số nguyên âm nhỏ nhất có ba chữ số và số nguyên dương nhỏ nhất có bốn chữ số là số là:

(−999) + 1000 = 1000 – 999 = 1.

Vậy tổng của số nguyên âm nhỏ nhất có ba chữ số và số nguyên dương nhỏ nhất có 4 chữ số là 1.

Bài 9. Một chiếc máy bay cất cánh từ mặt đất bay lên cao 7650m so với mặt đất. Do thời tiết xấu nên máy bay bay cao hơn 2357m và sau một thời gian nó lại hạ xuống 1320m. Hỏi sau hai lần thay đổi, máy bay ở độ cao nào so với mặt đất?

Hướng dẫn giải

Độ cao của máy bay lần thứ nhất là:

7650 + 2357 = 10007 (m)

Độ cao của máy bay lần thứ hai là:

10007 – 1320 = 8687 (m)

Vậy độ cao máy bay sau hai lần thay đổi là 8687 m.

Bài 10. Tính: 

a) (−3) . 8;

b) (−14) . (−25);

c) (+12) . (−40);

Hướng dẫn giải

a) (−3) . 8 = − (3 . 8) = − 24;

b) (−14) . (−25) = 14 . 25 = 350;

c) (+12) . (−40) = − (12 . 40) = −480.

Bài 11: Tìm x, biết:

30(x + 2) − 6(x − 5) − 22x = 100.

Hướng dẫn giải

30(x + 2) − 6(x − 5) − 22x = 100

(30x + 60) − (6x − 30) − 22x = 100

30x + 60 − 6x + 30 − 22x = 100

30x – 6x − 22x = 100 – 60 − 30

2x = 10

x = 5

Vậy x = 5.

Bài 12. Tìm số nguyên a để 5 ⋮ (a – 1).

Hướng dẫn giải

 Để 5 ⋮ (a – 1) () thì  a – 1 $\in$ Ư(5) = {−5; −1; 1; 5}.

Ta có bảng sau:

Vậy để 5 ⋮ (a – 1) thì a $\in$ {− 4; 0; 2; 6}.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 6 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Số tự nhiên

Lý thuyết Chương 2: Số nguyên

Lý thuyết Chương 3: Hình học trực quan và hình học phẳng trong thực tiễn

Lý thuyết Chương 4: Một số yếu tố thống kê

Lý thuyết Chương 5: Phân số