Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề: Phương trình đại số, tài liệu bao gồm 56 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO

A. Kiến thức cần nhớ

Để giải phương trình đa thức bậc cao chúng ta thường chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích.

Phương trình tích

- Phương trình có dạng: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\); trong đó \(A\left( x \right),\) \(B\left( x \right)\) là các đa thức của biến x.

- Phương pháp chung: Muốn giải phương trình \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\) ta giải hai phương trình \(A\left( x \right) = 0\) và \(B\left( x \right) = 0\), rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\).

- Mở rộng:   \(A\left( x \right).B\left( x \right)....M\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( x \right) = 0}\\{B\left( x \right) = 0}\\{...}\\{M\left( x \right) = 0}\end{array}} \right.\)

B. Một số ví dụ minh hoạ

I. Phương trình bậc 3.

1) Lý thuyết.

Phương trình bậc 3 là phương trình có dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\)  \(\left( {a \ne 0} \right)\)  (1)

Phương pháp giải. Thông thường để giải được phương trình (1) chúng ta phải tìm được một nghiệm \({x_0}\) của phương trình, sau đó phân tích thành nhân tử và chuyển về giải phương trình bậc 2.

\(\begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left( {m{x^2} + nx + p = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0}}\\{m{x^2} + nx + p = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

 (*)

Phương trình (*) là phương trình bậc 2 chúng ta đã biết cách giải tổng quát theo \(\Delta \).

Mấu chốt của việc giải phương trình bậc (3) là tìm được một nghiệm \({x_0}\) của phương trình đó, chúng ta có một số chú ý về cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc 3 như sau:

- Nếu tổng các hệ số của phương trình (1) bằng 0 tức là \(a + b + c + d = 0\) thì phương trình (1) nghiệm \({x_0} = 1\). Chẳng hạn: \(4{x^3} - {x^2} + 2x - 5 = 0\) ta có: \(4 - 1 + 2 - 5 = 0\)

- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ của phương trình (1) bằng 0 tức là \(a - b + c - d = 0\) thì phương trình (1) có nghiệm \({x_0} =  - 1\). Chẳng hạn: \({x^3} - 5{x^2} + 3x + 9 = 0\)ta có \(1 + 5 + 3 - 9 = 0\).

- Nếu a, b, c, d là các số nguyên và \({x_0} = \frac{m}{n}\) là nghiệm hữu tỷ của (1) thì m là ước của d và n là ước của a. Đặc biệt trường hợp a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm \({x_0}\) là ước của d.

*Thí dụ 1. Giải phương trình:

a) \({x^3} - 3x + 2 = 0\)

b) \(3{y^3} - 7{y^2} - 7y + 3 = 0\)

c) \({x^3} - {x^2} + 3x - 10 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy \(a + b + c + d = 1 + 0 - 3 + 2 = 0\) nên phương trình có một nghiệm \(x = 1\).

PT \( \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + {x^2} - x - 2x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{{x^2} + x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;2} \right\}\)

b) Ta thấy \(a - b + c - d = 3 + 7 - 7 - 3 = 0\) nên phương trình có nghiệm \(y =  - 1\).

PT\( \Leftrightarrow 3{y^3} + 3{y^3} - 10{y^2} - 10y + 3y + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{y^2}\left( {y + 1} \right) - 10y\left( {y + 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {3{y^2} - 10y + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {3y - 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\end{array}\).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + 1 = 0}\\{3y - 1 = 0}\\{y - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y =  - 1}\\{y = \frac{1}{3}}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;\frac{1}{3};3} \right\}\)

c) Ta có \(d =  - 10\) ta nhầm các số là ước của 10 thì thấy x =2 là nghiệm của phương trình.

\({x^3} - {x^2} + 3x - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + {x^2} - 2x + 5x - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}.\left( {x - 2} \right) + x.\left( {x - 2} \right) + 5.\left( {x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} + x + 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 2\)

Do \({x^2} + x + 5 > 0\)  \(\forall x\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

*Thí dụ 2. Giải phương trình:

a) \(8{x^3} - 4{x^2} + 1 = 0\)

b) \(3{x^3} - 7{x^2} + 17x - 5 = 0\)

c) \({x^3} + \sqrt 2 {x^2} - 5x + \sqrt 2  = 0\).

Hướng dẫn giải

b) Ta có \(a = 8,d = 1\) nên phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ sẽ có dạng \({x_0} =  \pm \frac{1}{n}\) với n là ước 8. Ta thử các giá trị \( \pm \frac{1}{2}; \pm \frac{1}{4}; \pm \frac{1}{8}\) nhận thấy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình do đó ta tách phương trình theo nhân tử \((2x - 1)\).

\(8{x^4} - 4x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {8{x^3} - 1} \right) - \left( {4x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^3} + 2x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}} \right\}\)

b) Ta có \(a = 3,d =  - 5\) nên phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ sẽ có dạng \({x_0} = \frac{m}{n}\) với m là ước -5 và n là ước của 3. Ta thứ các giá trị \( \pm \frac{1}{3}; \pm \frac{5}{3}\) nhận thấy \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm của phương trình do đó ta tách phương trình theo nhân tử \(\left( {3x - 1} \right)\).

\(3{x^3} - 7x + 17x - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{x^3} - {x^2} - 6{x^2} + 2x + 15x - 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {3x - 1} \right) - 2x\left( {3x - 1} \right) + 5\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{3}\)

b) Phương trình chứa hệ số \(\sqrt 2 \) nên ta đoán có nghiệm dạng \({x_0} = a\sqrt 2 \) nên ta đặt \(x = a\sqrt 2 \) nhằm triệt tiêu hệ số \(\sqrt 2 \) khi đó phương trình có dạng:

\(2\sqrt 2 {a^3} + 2\sqrt 2 {a^2} - 5\sqrt 2 a + \sqrt 2  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^3} + 2{a^2} - 5a + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {2{a^2} + 4a - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{2{a^2} + 4a - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{a =  - 1 \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 }\\{x =  - \sqrt 2  \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  \pm \sqrt 3 } \right\}\)

*Thí dụ 3. Giải phương trình:

a) \({\left( {z + 3} \right)^3} - {\left( {z + 1} \right)^3} = 98.\)

b) \({\left( {4x + 3} \right)^3} - {\left( {2x - 5} \right)^3} = {\left( {2x + 8} \right)^3}\);

\(c){\left( {3x + 2016} \right)^3} + {\left( {3x - 2019} \right)^3} = {\left( {6x - 3} \right)^3};\)

d) \({\left( {2x - 7} \right)^3} + {\left( {9 - 2x} \right)^3} = 152\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \( \Leftrightarrow {z^3} + 9{z^2} + 27z + 27 - {z^3} - 3{z^2} - 3z - 1 = 98\)

\( \Leftrightarrow 6{z^2} + 24z - 72 = 0\)

\( \Leftrightarrow {z^2} + 4z - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {z^2} + 6z - 2z - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {z + 6} \right)\left( {z - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z + 6 = 0}\\{z - 2 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z =  - 6}\\{z = 2}\end{array}} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình (1) là \(S = \left\{ { - 6;2} \right\}\).

* Nhận xét: Ta có cách giải khác:

Do \(z + 2\) là trung bình cộng của \(z + 1\) và \(z + 3\) nên ta đặt \(z + 2 = y\) phương trình trở thành \({\left( {y + 1} \right)^3} - {\left( {y - 1} \right)^3} = 98\)

\( \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 - {y^3} + 3{y^2} - 3y + 1 = 98 \Leftrightarrow 6{y^2} = 96\)

\( \Leftrightarrow {y^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4}\\{y =  - 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z + 2 = 4}\\{z + 2 =  - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 2}\\{z =  - 6}\end{array}} \right.\)

Tập nghiệm của phưởng trình (1) là \(S = \left\{ { - 6;2} \right\}\).

b) Đặt \(y = 4x + 3;\) \(z = 2x - 5\); thì \(y - z = 2x + 8\). Ta có:

\[\begin{array}{l}{y^3} - {z^3} = {\left( {y - z} \right)^3} \Leftrightarrow {y^3} - {z^3} = {y^3} - {z^3} - 3yz\left( {y - z} \right)\\ \Leftrightarrow 3yz\left( {y - z} \right) \Leftrightarrow 3yz\left( {y - z} \right) = 0\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{z = 0}\\{y - z = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 3 = 0}\\{2x - 5 = 0}\\{2x + 8 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 0,75}\\{x = 2,5}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 4; - 0,75;2,5} \right\}\)

c) Đặt \(u = 3x + 2016\); \(v = 3x - 2019\) thì \(u + v = 6x - 3\).

Phương trình trên trở thành \({u^3} + {v^3} - {\left( {u + v} \right)^3} = 0\) hay

\({u^3} + {v^3} - \left[ {{u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow  - 3uv\left( {u + v} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{v = 0}\\{u + v = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2016 = 0}\\{3x - 2019 = 0}\\{6x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 672}\\{x = 673}\\{x = 0,5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 672;0,5;673} \right\}\)

d) \({\left( {2x + 7} \right)^3} + {\left( {9 - 2x} \right)^3} = 152\).

Đặt \(2x - 8 = y\) thì \(2x - 7 = y + 1\); \(9 - 2x = 1 - y\).

Do đó phương trình trở thành \({\left( {y + 1} \right)^3} + {\left( {1 - y} \right)^3} = 152\)

Khai triển, rút gọn (hoặc dùng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3}\) ta được

\(\begin{array}{l}6{y^2} + 2 = 152 \Leftrightarrow 6{y^2} - 150 = 0\\ \Leftrightarrow 6\left( {y + 5} \right)\left( {y - 5} \right) = 0.\end{array}\)

- Với \(y + 5 = 0\) thì \(2x - 8 + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1,5\)

- Với \(y - 5 = 0\) thì \(2x - 8 - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 6,5\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1,5;6,5} \right\}\)

Lưu ý: Trong các bài toán xuất hiện các dạng \({\left( {a + b} \right)^3}\); \({\left( {a - b} \right)^3}\) và \({a^3} \pm {b^3}\).

Ta có: \({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm {b^3} \pm 3ab\left( {a \pm b} \right)\) và \({a^3} \pm {b^3} = \left( {a \pm b} \right)\left( {{a^2} \mp ab + {b^2}} \right)\)

* Thí dụ 4. Giải phương trình:

a) \({x^3} - 3{x^2} + 3x - 4 = 0\).

b) \(2{x^3} + 3{x^2} - 6x + 4 = 0\)