Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tài liệu tự học Toán 8, tài liệu bao gồm 483 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có

I. Lý thuyết

II. Bài tập

CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

BÀI 1: NHÂN ĐA THỨC

A. LÝ THUYẾT

VÍ DỤ 1. Tính giá trị của biểu thức \(A = {x^4} - 17{x^3} + 17{x^2} - 17x + 20\) tại \(x = 16\).

LỜI GIẢI

- Cách 1. Chú ý rằng \(x = 16\) nên \(x - 16 = 0\), do đó ta biến đổi để biểu thức chứa nhiều biểu thức dạng \(x - 16\).

\(A = {x^4} - 16{x^3} - {x^3} + 16{x^2} + {x^2} - 16x - x + 16 + 4\)

\( = {x^3}\left( {x - 16} \right) - {x^2}\left( {x - 16} \right) + x\left( {x - 16} \right) - \left( {x - 16} \right) + 4\)

\( = 4\)

- Cách 2 Trong biểu thức A, ta thay các số 17 bởi \(x + 1\), còn 20 bởi \(x + 4\).

\(A = {x^4} - {x^3}\left( {x + 1} \right) + {x^2}\left( {x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) + x + 4\)

\( = {x^4} - {x^4} - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 4\)

= 4.

VÍ DỤ 2. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy, ta được 242.

LỜI GIẢI.

Coi \(x - 1\),\(x\),\(x + 1\) là ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có

\(\begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right) + x\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 242\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 1 = 242 \Leftrightarrow {x^2} = 81\end{array}\).

Do \(x\)là số tự nhiên nên \(x = 9\). Ba số tự nhiên cần tìm là 8; 9; 10.

B. BÀI TẬP

1. Nhân đơn thức với đa thức

Bài 1. Thực hiện phép tính

1. \(3{x^n}.\left( {6{x^{n - 3}} + 1} \right) - 2{x^n}.\left( {9{x^{n - 3}} - 1} \right)\).

2. \({5^{n + 1}} - {4.5^n}\).

3. \({6^2}{.6^4} - {4^3}.\left( {{3^6} - 1} \right)\).

LỜI GIẢI

1.

\(\begin{array}{l}3{x^n}.\left( {6{x^{n - 3}} + 1} \right) - 2{x^n}.\left( {9{x^{n - 3}} - 1} \right)\\ = 18{x^{2n - 3}} + 3{x^n} - 18{x^{2n - 3}} + 2{x^n} = 5{x^n}\end{array}\).

2. \({5^{n + 1}} - {4.5^n} = {5.5^n} - {4.5^n} = {5^n}\).

3.

\(\begin{array}{l}{6^2}{.6^4} - {4^3}.\left( {{3^6} - 1} \right) = {\left( {3.2} \right)^6} - {\left( {{2^2}} \right)^3}\left( {{3^6} - 1} \right)\\ = {3^6}{.2^6} - {2^6}{.3^6} + {2^6} = {2^6}\end{array}\).

BÀI 2. Tìm \(x\), biết

1. \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right)\).

2. \(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right) = 5x + 3\left( {2x + 12} \right) + 1\).

3. \(2\left( {5x - 8} \right) - 3\left( {4x - 5} \right) = 4(3x - 4) + 11\).

4. \(5x - 3\left[ {4x - 2\left( {4x - 3\left( {5x - 2} \right)} \right)} \right] = 182\).

LỜI GIẢI

1.

\(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right)\)

\(72 - 20x - 36x + 84 = 30x - 240 - 6x - 84\)

\(156 - 56x = 24x - 324\)

\(156 + 324 = 24x + 56x\)

\(80x = 480\)

\(x = 6\)

2.

\(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right) = 5x + 3\left( {2x + 12} \right) + 1\)

\(15x + 25 - 8x + 12 = 5x + 6x + 36 + 1\)

\(7x + 37 = 11x + 37\)

\(4x = 0\)

\(x = 0\).

3.

\(2\left( {5x - 8} \right) - 3\left( {4x - 5} \right) = 4(3x - 4) + 11\)

\(10x - 16 - 12x + 15 = 12x - 16 + 11\)

\( - 2x - 1 = 12x - 5\)

\(5 - 1 = 12x + 2x\)

\(14x = 4\)

\(x = \frac{2}{7}\).

4.

\(5x - 3\left[ {4x - 2\left( {4x - 3\left( {5x - 2} \right)} \right)} \right] = 182\)

\(5x - 3\left[ {4x - 2\left( {4x - 15x + 6} \right)} \right] = 182\)

\(5x - 3\left[ {4x - 2\left( { - 11x + 6} \right)} \right] = 182\)

\(5x - 3\left[ {4x + 22x - 12} \right] = 182\)

\(5x - 78x + 36 = 182\)

\( - 73x = 182 - 36\)

\(x =  - 2\).

BÀI 3. Tính giá trị của các biểu thức

1. \(A = {x^3} - 30{x^2} - 31x + 1\) tại \(x = 31\).

2. \(B = {x^5} - 15{x^4} + 16{x^3} - 29{x^2} + 13x\) tại \(x = 14\).

3. \(C = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10\) tại \(x = 9\).

LỜI GIẢI

1. Vì \(x = 31\)nên \(x - 31 = 0\) do đó biến đổi

\(A = {x^3} - 30{x^2} - 31x + 1\)

\( = {x^3} + {x^2} - 31{x^2} - 31x + 1\)

\({x^2}\left( {x - 31} \right) + x\left( {x - 31} \right) + 1 = 1\).

2. Vì \(x = 14\) nên \(x - 14 = 0\) do đó ta biến đổi

\(B = {x^5} - 15{x^4} + 16{x^3} - 29{x^2} + 13x\)

\( = {x^5} - 14{x^4} - {x^4} + 14{x^3} + 2{x^3} - 28{x^2} - {x^2} + 14x - x\)

\( = {x^4}\left( {x - 14} \right) - {x^3}\left( {14 - x} \right) + 2{x^2}\left( {x - 14} \right) + x\left( {14 - x} \right) - x\)

\( =  - x =  - 14\).

3. Trong biểu thức C, ta thay các số 10 bởi \(x + 1\)

\(C = {x^{14}} - \left( {x + 1} \right){x^{13}} + \left( {x + 1} \right){x^{12}} - \left( {x + 1} \right){x^{11}} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + (x + 1)\)

\( = {x^{14}} - {x^{14}} - {x^{13}} + {x^{13}} + {x^{12}} - {x^{12}} - {x^{11}} + ... - {x^2} - x + x + 1\)

\( = 1\)

BÀI 4. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách thay số bởi chữ một cách hợp lý

\(A = 2\frac{1}{{315}}.\frac{1}{{651}} - \frac{1}{{105}}.3\frac{{650}}{{651}} - \frac{4}{{315.651}} + \frac{4}{{105}}\)

LỜI GIẢI

\(A = 2\frac{1}{{315}}.\frac{1}{{651}} - \frac{1}{{105}}.3\frac{{650}}{{651}} - \frac{4}{{315.651}} + \frac{4}{{105}}\)

\( = \frac{{2.315 + 1}}{{315}}.\frac{1}{{651}} - \frac{3}{{315}}.\frac{{3.651 + 650}}{{651}} - \frac{4}{{315.651}} + \frac{{4.3}}{{315}}\)

\( = \left( {2 + \frac{1}{{315}}} \right).\frac{1}{{615}} - 3\frac{1}{{315}}\left( {4 - \frac{1}{{651}}} \right) - 4.\frac{1}{{315}}.\frac{1}{{651}} + 12.\frac{1}{{315}}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{315}}}\\{b = \frac{1}{{651}}}\end{array}} \right.\).

Khi đó biểu thức có dạng

\(A = \left( {2 + a} \right)b - 3a\left( {4 - b} \right) - 4ab + 12a\)

\( = 2b + ab - 12a + 3ab - 4ab + 12a\)

\( = 2b = \frac{2}{{651}}\)

2. Nhân đa thức với đa thức

BÀI 5. Thực hiện phép tính

1. \(A = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\).

2. \(B = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^5} + {x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)\).

LỜI GIẢI

1. Ta có

\(A = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\)

\( = \left( {{x^6} + {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x} \right) - \left( {{x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\)

\( = {x^6} - 1\)

2. Ta có

\(B = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^5} + {x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)\)

\( = \left( {{x^7} - {x^6} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - {x^2} + x} \right) + \left( {{x^6} - {x^5} + {x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)\)

\( = {x^7} + 1\).

BÀI 6. Tìm \(x\), biết

1. \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\).

2. \(\left( {3x + 2} \right)\left( {2x + 9} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {6x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right) - \left( {x - 6} \right)\).

3. \(3\left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {9x - 1} \right) = 0\)

LỜI GIẢI

1.

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\)

\(\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 10} \right) = 6\)

\(2x + 16 = 6\)

\(2x =  - 10\)

\(x =  - 5\).

2.

\(\left( {3x + 2} \right)\left( {2x + 9} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {6x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right) - \left( {x - 6} \right)\)

\(\left( {6{x^2} + 31x + 18} \right) - \left( {6{x^2} + 13x + 2} \right) = 7\)

\(18x + 16 = 7\)

\(18x =  - 9\)

\(x =  - \frac{1}{2}\).

3.

\(3\left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {9x - 1} \right) = 0\)

\(3\left( {6{x^2} - 5x + 1} \right) - \left( {18{x^2} - 29x - 3} \right) = 0\)

\(\left( {18{x^2} - 15x + 3} \right) - \left( {18{x^2} - 19x - 3} \right) = 0\)

\(14x = 0\)

\(x = 0\).

BÀI 7. Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng M=N=P với \(M = a\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\); \(N = b\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)\); \(P = c\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\).

LỜI GIẢI

Vì \(a + b + c = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - b}\\{b + c =  - a}\\{a + b =  - c}\end{array}} \right.\)

Do đó

\(M = a\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = a\left( { - c} \right)\left( { - b} \right) = abc\)   (1).

\(N = b\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right) = b\left( { - a} \right)\left( { - c} \right) = abc\)     (2)

\(P = c\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right) = c\left( { - b} \right)\left( { - a} \right) = abc\)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra M = N = P.

BÀI 8. Chứng minh rằng các hằng đẳng thức

1. \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab.\)

2. \((x + a)(x + b)(x + c) = {x^3} + \left( {a + b + c} \right){x^3} + \left( {ab + bc + ca} \right)x + abc.\)

LỜI GIẢI

Thực hiện phép toán nhân đa thức biến đổi VT thành VP.

BÀI 9. Cho \(a + b + c = 2p\). Chứng minh hằng đăng thức

\(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2} = 4p\left( {p - a} \right)\).

Xem thêm