Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 3 - Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y, tài liệu bao gồm 4 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x,y

1. Kiến thức vận dụng:

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối: |A|\( \ge \)0 với mọi A; \(|A| = \left[ \begin{array}{l}A,A \ge 0\\ - A,A < 0\end{array} \right.\)

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

\(|A| + |B| \ge |A + B|\) dấu ‘=’ xẩy ra khi \(AB \ge 0;|A - B| \ge |A| - |B|\)dấu ‘=’ xẩy ra khi A,B>0

\(\begin{array}{l}|A| \ge m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A \ge m\\A \le  - m\end{array} \right.(m > 0);|A| \le m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \le m\\A \ge  - m\end{array} \right.(hay - m \le A \le m)\end{array}\) với m>0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực: A²ⁿ\( \ge \)0 với mọi A; \( - {A^{2n}} \le 0\)với mọi A

\({A^m} = {A^n} \Leftrightarrow m = n;{A^n} = {B^n} \Rightarrow A = B\)( nếu n lẻ) hoặc \(A =  \pm B\)(nếu n chẵn)

\(0 < A < B \Leftrightarrow {A^n} < {B^n};\)

2. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Các bài toán cơ bản

Bài 1: Tìm x biết

a) x +2x +3x +4x+ …+ 2011x = 2012.2013

b) \(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

HD: a) x +2x +3x +4x+ …+ 2011x = 2012.2013

\( \Rightarrow \)x( 1+ 2 +3 +…+ 2011) = 2012.2013

\( \Rightarrow x.\frac{{2011.2012}}{2} = 2012.2013 \Rightarrow x = \frac{{2.2013}}{{2011}}\)

b) Nhận xét: 2012 =2011 +1 =2010 +2 = 2009 +3 =2008 +4

Từ \(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{(x - 2012) + 2011}}{{2011}} + \frac{{(x - 2012) + 2010}}{{2010}} + \frac{{(x - 2012) + 2009}}{{2009}}\\ = \frac{{(x - 2012) + 2008}}{{2008}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 2012}}{{2011}} + \frac{{x - 2012}}{{2010}} + \frac{{x - 2012}}{{2009}} - \frac{{x - 2012}}{{2008}} =  - 2\)

\( \Rightarrow (x - 2012)(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} + \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}}) =  - 2\)

\( \Rightarrow x =  - 2:(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} + \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}}) + 2012\)

Bài 2: Tìm x nguyên biết

a)\(\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2x - 1)(2x + 1)}} = \frac{{49}}{{99}}\)

b) 1 – 3 + 3² – 3³+ … + (-3)^x \( = \frac{{{9^{1006}} - 1}}{4}\)

Dạng 2: Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối

Dạng: |x+a| = x+b và \(|x + a| \pm |x + b| = x + c\)

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh – a và – b)

Bài 1: Tìm x biết:

a)| x – 2011|= x – 2012

b) |x – 2010|+ |x – 2011| =2012

HD: a)| x – 2011|= x – 2012 (1) do $\text{VT}=|x-2011|\ge 0,\forall x$

Nên $\text{VP=x-2012}\ge 0\Rightarrow x\ge 2012(*)$

Từ (1) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2011 = x - 2012\\x - 2011 = 2012 - x\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2011 = 2012(voly)\\x = (2011 + 2012):2\end{array} \right.\)

Kết hợp (*) \( \Rightarrow \)x=4023:2

b) |x – 2010| + |x – 2011 |=2012 (1)

Nếu \(x \le 2010\)từ (1) suy ra: 2010 – x +2011 – x =2012

\( \Rightarrow \)x=2009:2 (lấy)

Nếu 2010<x<2011 từ 91) suy ra: x – 2010+2011 – x =2012

hay 1= 2012 (loại)

Nếu \(x \ge 2011\) từ (1) suy ra: x – 2010+ x – 2011=2012

\( \Rightarrow \)x=6033:2 (lấy)

Vậy giá trị x là: 2009 : 2 hoặc 6033:2

Một số bài tương tự:

Bài 2:a) Tìm x biết |x -1 |+| x + 3| = 4

b) Tìm x biết: | x²+|6x – 2||=x²+4

c) Tìm x biết: |2x+3| - 2|4 – x| =5

Bài 3: a) Tìm các giá trị của x để : |x+3|+|x+1|=3x

b) Tìm x biết : |2x – 3 | - x =|2 – x|

Bài 4: Tìm x biết:

a) \(|x - 1| \le 4\)

b)\(|x - 2011| \ge 2012\)

Dạng: Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1: a) Tìm x nguyên biết: |x – 1|+|x – 3| +|x – 5| +|x – 7| =8

b) Tìm x biết: |x – 2010|+|x – 2012| +|x – 2014|=2

HD: a) Ta có|x – 1|+|x – 3| +|x – 5| +|x – 7|

\( \ge \)|x – 1 +7 – x| +|x – 3 +5 – x| =8 (1)

Mà |x – 1|+|x – 3| +|x – 5| +|x – 7| =8 suy ra (1) xẩy ra dấu “=”

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 7\\3 \le x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow 3 \le x \le 5\)do x nguyên nên \(x \in \left\{ {3;4;\left. 5 \right\}} \right.\)

b) Ta có x – 2010|+|x – 2012| +|x – 2014|

\( \ge \)|x – 2010 +2014 – x |+|x – 2012| \( \ge \)2(*)

Mà |x – 2010|+|x – 2012| +|x – 2014|=2 nên (*) xẩy ra dấu “=”

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2012 = 0\\2010 \le x \le 2014\end{array} \right. \Rightarrow x = 2012\)

Các bài tương tự

Bài 2 : Tìm x nguyên biết : |x –1|+|x – 2| +…+|x – 100| =2500

Bài 3 : Tìm x biết |x+1|+|x+2|+…+|x+100|=605x
Bài 4 : Tìm x, y thoả mãn: |x – 1| +| x – 2| +| y – 3|+|x – 4| =3

Bài 5: Tìm x, y biết: \(|x - 2006y| + |x - 2012| \le 0\)

HD: Ta có \(|x - 2006y| \ge 0\)với mọi x,y và \(|x - 2012| \ge 0\) với mọi x

Suy ra \(|x - 2006y| + |x - 2012| \ge 0\) với mọi x,y

mà \(|x - 2006y| + |x - 2012| \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow |x - 2006y| + |x - 2012| = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 2012 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 2012,y = 2\end{array}\)

Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn

2004=|x – 4| + |x – 10| +|x+101|+|x+990|+|x+1000|

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 5^x+5^x+2=650

b)3^x-1+5.3^x-1=162

HD:

a) 5^x+5^x+2=650\( \Rightarrow \)5^x(1+5²)=650

5^x=25\( \Rightarrow \)x=2

b)3^x-1+5.3^x-1=162\( \Rightarrow \)3^x-1(1+5)=162

\( \Rightarrow \)3^x-1=27\( \Rightarrow \)x=4

Bài 2: Tìm các số tự nhiên x, y biết:

a) 2^x+1.3^y=12^x

b)10^x:5^y=20^y

HD: 2^x+1.3^y=12^x\( \Rightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{{{2^{x + 1}}}} = \frac{{{3^y}}}{{{3^x}}} \Rightarrow {2^{x - 1}} = {3^{y - x}}\)

Nhận thấy: (2,3)=1 \( \Rightarrow \) x – 1= y – x =0\( \Rightarrow \)x=y=1

b) 10^x:5^y=20^y\( \Rightarrow \)10^x=10^2y\( \Rightarrow \)x=2y

Bài 3: Tìm m,n nguyên dương thỏa mãn:

a) 2^m+2ⁿ=2^m+n

b) 2^m - 2ⁿ=256

HD: a) 2^m+2ⁿ=2^m+n\( \Rightarrow \)2^m+n - 2^m - 2ⁿ=0\( \Rightarrow \)2^m(2ⁿ – 1) – (2ⁿ – 1) =1

\( \Rightarrow \)(2^m – 1)(2ⁿ – 1)=1 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^n} - 1 = 1\\{2^m} - 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow m = n = 1\)

b)2^m – 2ⁿ=256\( \Rightarrow \)2ⁿ(2^m-n – 1) = 2⁸

Dễ thấy m\( \ne \)n, ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu m – n =1 \( \Rightarrow \)n=8, m=9

+ Nếu m – n \( \ge \)2 thì 2^m-n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xảy ra: vậy n=8, m=9

Bài 4: Tìm x, biết (x – 7)^x+1 – (x – 7)^x+11=0

HD: (x – 7)^x+1 – (x – 7)^x+11=0

\( \Leftrightarrow \)(x – 7)^x+1[1 – (x – 7)¹⁰]=0

\( \Leftrightarrow \)(x – 7)^(x+1)[1 – (x – 7)¹⁰]=0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{(x + 7)^{x + 1}} = 0\\1 - {(x - 7)^{10}} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\\{(x - 7)^{10}} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Bài 5: Tìm x,y biết: |x – 2011y|+(y – 1)²⁰¹²=0

HD: ta có \(|x - 2011y| \ge 0\)với mọi x,y và \({(y - 1)^{2012}} \ge 0\) với mọi y

Suy ra: \(|x - 2011y| + {(y - 1)^{2012}} \ge 0\)với mọi x,y +. Mà |x – 2011y|+(y – 1)²⁰¹²=0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2011y = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 2011,y = 1\)

Các bài tập tương tự:

Bài 6: Tìm x, y biết:

a) |x+5|+(3y – 4)²⁰¹²=0

b) (2x – 1)²+|2y – x| - 8 =12 – 5. 2²