Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề 4 - Giá trị nguyên của biến, giá trị của biểu thức, tài liệu bao gồm 3 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Kiến thức vận dụng và bài tập vận dụng về các giá trị nguyên của biến, giá trị của biểu thức.

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến, giá trị của biểu thức

1. Các kiến thức vận dụng:

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số, số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng, một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2. Bài tập vận dụng:

* Tìm x,y dưới dạng nghiệm của đa thức

Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y =2000

b) Tìm số tự nhiên x, y biết 7(x – 2004)²=23 – y²

c) Tìm x,y nguyên biết xy +3x – y=6

d) Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: x² – 2y²=1

HD: a) Từ 51x+26y=2000

\( \Rightarrow \)17.3.x=2.(1000 – 13y) do 3,17 là số NT nên x \( \vdots \)2 mà x NT \( \Rightarrow \)x=2. Lại có 1000 – 13y\( \vdots \)51, 1000 – 13y >0 và y NT \( \Rightarrow \)y=

b) Từ 7(x – 2004)²=23 – y²(1)

do 7(x – 2004)²\( \ge \)0 \( \Rightarrow 23 - {y^2} \ge 0 \Rightarrow {y^2} \le 23 \Rightarrow y \in {\rm{\{ }}0,2,3,4\} \)

Mặt khác 7 là số NT \( \Rightarrow 13 - {y^2} \vdots 7\)vậy y=3 hoặc y=4 thay vào (1)

Suy ra: x=2005, y=4 hoặc x=2003, y=4

b) Ta có xy+3x – y=6 \( \Leftrightarrow (x - 1)(y + 3) = 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y + 3 = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 1\\y + 3 =  - 3\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\y + 3 = 1\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 3\\y + 3 =  - 1\end{array} \right.\)

c) x² – 2y²=1 \( \Leftrightarrow \)x² – 1 =2y²

\( \Leftrightarrow \)(x -1) (x +1)=2y²

do VP=2y² chia hết cho 2 suy ra x>2, mặt khác y nguyên tố

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 2y\\x - 1 = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)

Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: x – y +2xy =7

b) Tìm \(x,y \in \mathbb{N}\)biết: 25 – y²=8(x – 2012)²

HD: a) Từ x – y +2xy =7 \( \Leftrightarrow \) 2x – 2y +2xy =7

\( \Leftrightarrow \)(2x – 1)(2y+1)=13

b) Từ 25 – y²=8(x – 2012)²

\( \Rightarrow {y^2} \le 25\)và 25 – y² chia hết cho 8, suy ra y=1 hoặc y=2 hoặc y=5, từ đó tìm x

Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}\)

b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn:

a³ + 3a²+5 = 5^b và a+3=5^c

HD: a) Từ \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \Rightarrow 59x + y) = xy(*) \Rightarrow xy \vdots 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \vdots 5\\y \vdots 5\end{array} \right.\)

+ Với x chia hết cho 5, đặt x= 5 q( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

5q+y=qy \( \Rightarrow \)5q=(q -1)y. Do q =1 không thỏa mãn, nên với q khác 1 ta có \(y = \frac{{5q}}{{q - 1}} = 5 + \frac{5}{{q - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow q - 1 \in \)Ư(5), từ đó tìm được y, x

b) a³ + 3a²+5 = 5^b\( \Rightarrow \)a²(a+3)=5^b – 5, mà a +3 =5^c \( \Rightarrow \)a².5^c=5.(5^b-1 – 1)

\( \Rightarrow {a^2} = \frac{{{5^{b - 1}} - 1}}{{{5^{c - 1}}}}\) Do a, b, c nguyên dương nên c=1 (vì nếu c>1 thì 5^b-1 – 1 không chia hết cho 5 do đó d không là số nguyên.). Với c=1 \( \Rightarrow \)a=2 và b=2

Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn:

\({5^{2p}} + 2013 = {5^{2{p^2}}} + {q^2}\)

HD: \({5^{2p}} + 2013 = {5^{2{p^2}}} + {q^2} \Rightarrow 2013 - {q^2} = {25^{{p^2}}} - {25^p}\)

\( \Rightarrow 2013 - {q^2} = {25^p}({25^p} - 1)\)

Do p nguyên tố nên \(2013 - {q^2} \vdots {25^2}\)và 2013 – q²>0 từ đó tìm được q

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2ⁿ – 1 chia hết cho 7

HD: Với n<3 thì 2ⁿ không chia hết cho 7

Với n\( \ge \)3 khi đó n=3k hoặc n= 3k+1 hoặc n= 3k+2 (\(k \in {\mathbb{N}^*}\))

Xét n=3k, khi đó 2ⁿ – 1= 2^3k – 1= 8^k – 1=(7+1)^k – 1 = 7.A +1 – 1 = 7.A \( \vdots \)7

Xét n=3k+1, khi đó 2ⁿ – 1= 2^3k+1 – 1= 2.8^3k – 1=2.(7A+1) – 1 = 7.A +1 không chia hết cho 7

Xét n=3k+2, khi đó 2ⁿ – 1= 2^3k+2 – 1= 4.8^3k – 1=4.(7A+1) – 1 = 7.A +3 không chia hết cho 7. Vậy n=3k với \(k \in {\mathbb{N}^*}\)

* Tìm x, y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:

Bài 1: Tìm số nguyên m để:

a) Giá trị của biểu thức m – 1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m +1

b)|3m – 1|<3

HD: a) Cách 1: Nếu m>1 thì m – 1 <2m+1, suy ra m – 1 không chia hết cho 2m+1

Nếu m< - 2 thì |m – 1|<|2m+1|, suy ra m – 1 không chia hết cho 2m+1

Vậy \(m \in {\rm{\{ }} - 2; - 1;0;1\} \)

Cách 2: Để \(m - 1 \vdots 2m + 1 \Rightarrow 2(m - 1) \vdots 2m + 1 \Rightarrow (2m + 1) - 3 \vdots 2m + 1\)

b)|3m – 1| <3 \( \Rightarrow \)- 3 <3m – 1<3 \( \Rightarrow \frac{{ - 2}}{3} < m < \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\) vì m nguyên

Bài 2 a) Tìm x nguyên để \(6\sqrt x  + 1\)chia hết cho \(2\sqrt x  - 3\)

b) Tìm \(x \in \mathbb{Z}\)để \(A \in \mathbb{Z}\)và tìm các giá trị đó.

\(A = \frac{{1 - 2x}}{{x + 3}}\)

HD: \(A = \frac{{1 - 2x}}{{x + 3}} = \frac{{1 - 2(x + 3)}}{{x + 3}} = \frac{7}{{x + 3}} - 2\)

Bài 3: Tìm x nguyên để \(\frac{{2012\sqrt x  + 5}}{{1006\sqrt x  + 1}}\)

HD: \(\frac{{2012\sqrt x  + 5}}{{1006\sqrt x  + 1}} = \frac{{2(1006\sqrt x  + 1) + 2009}}{{1006\sqrt x  + 1}} = 2 + \frac{{2009}}{{1006\sqrt x  + 1}}\)

để\(\frac{{2012\sqrt x  + 5}}{{1006\sqrt x  + 1}} \Rightarrow 2009 \vdots 1006\sqrt x  + 1 \Rightarrow \)x là số CP.

Với x>1 và x là số CP thì \(1006\sqrt x  + 1 > 2012 > 2009\)suy ra 2009 không chia hết cho \(1006\sqrt x  + 1\)

Với x=1 thay vào không thỏa mãn

Với x=0 thì \(2009:1006\sqrt x  + 1 = 2009\)